Signification des équations cinématiques
Les équations cinématiques sont un ensemble de trois équations qui décrivent le mouvement des objets sans tenir compte des forces qui les font bouger. Nous pouvons les dériver de la deuxième loi de Newton en considérant le mouvement des projectiles en présence d'un champ gravitationnel constant. Cet ensemble d'équations peut répondre à toutes les questions ci-dessus et à bien d'autres encore. Les trois équations cinématiques sont l'équation cinématique linéaire
\N-[v_x = v_{x0} + a_xt,\N]
l'équation cinématique quadratique
\[x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2,\]
et l'équation cinématique indépendante du temps
\[v_x^2 = v_{x0}^2 + 2a_x(x-x_0).\]
Dans ces équations, \N(t\N) est le temps, \N (x\N) est la position, \N (v_x\N) est la vitesse et \N (a_x\N) est l'accélération. Nous utilisons l'indice \ (_0\) pour indiquer la valeur initiale de la quantité. Remarque que, par convention, les équations cinématiques représentent le mouvement dans la direction \(x\). Cependant, elles sont applicables à n'importe quelle direction spatiale.
Equations cinématiques en accélération constante
Ces équations ne s'appliquent qu'aux situations où l'accélération est constante. Cette condition signifie que le taux de changement de la vitesse est constant. Ainsi, la vitesse ressemble à une ligne droite lorsque nous regardons le graphique de la vitesse en fonction du temps. Remarque que cela ne signifie pas nécessairement que la pente est égale à 0. En effet, le diagramme ci-dessous illustre une situation d'accélération constante non nulle :
Graphique de la vitesse en fonction du temps montrant une accélération constante, StudySmarter Originals
Peux-tu deviner ce qui se passe physiquement en te basant sur le graphique ci-dessus ? Notre vitesse commence par être positive, ralentit jusqu'à zéro, puis devient négative.
L'un des exemples les plus courants d'accélération constante est l'accélération due au champ gravitationnel de la Terre, où \(a = g = -9,8 \;\text{m}/\text{s}^2\). Le signe moins provient du choix d'un cadre de référence dans lequel l'accélération pointe vers le bas. Nous supposons également que la résistance de l'air est négligeable.
Applications des équations cinématiques
Les applications peuvent être variées et complexes, utiliser une, deux ou trois dimensions et décrire une forme de mouvement de projectile. Parmi les exemples, on peut citer le jeu d'attrape, le tir d'une flèche ou le lâcher d'une balle du haut de l'Empire State Building. Nous examinerons ici le cas unidimensionnel le plus simple et un cas bidimensionnel plus compliqué.
Mouvement de projectile en une dimension
Considère la question que nous avons posée plus tôt et dans laquelle nous avons fait tomber nos clés. Ignore la résistance de l'air et suppose une hauteur de \(135;\text{cm}\). Tes clés tombent de l'endroit où elles se trouvent dans ta main. Combien de temps faut-il pour que les clés touchent le sol ?
La première étape de la résolution de tout problème de physique consiste à dessiner un diagramme comprenant toutes les informations pertinentes.... Dans ce cas, nous avons un diagramme assez simple. Nous avons une hauteur \ (135;\text{cm}\), une vitesse initiale de \ (0;\text{m}/\text{s}\), et nous supposons que l'accélération est due à la gravité de la Terre.
Schéma du problème de la chute des clés, StudySmarter Originals
Nous pouvons maintenant appliquer notre formule. Nous avons déjà une vitesse initiale, un déplacement et une accélération. Nous aimerions résoudre la question du temps. Nous pouvons donc utiliser l'équation cinématique quadratique :
\[x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.\N].
Nous l'appliquons d'abord à notre mouvement dans la direction \(y\), puis nous la réarrangeons pour obtenir une équation du temps en termes de nos variables données.
\N- [\N- Début{align} y &= v_{y0}t + \Nfrac{1}{2}a_yt^2 \N- 0 &= \Nfrac{1}{2}a_yt^2 + v_{y0}t - y.\NFin{align}\N]
Nous pouvons reconnaître la dernière ligne comme un cas d'équation quadratique. Applique la formule quadratique pour résoudre \(t\N). Rappelle-toi que les racines de la formule quadratique sont
\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4Ac}}{2A}\]
où \ (A\), \ (b\), et \ (c\)sont nos coefficients. Note qu'ici, nous avons écrit une majuscule à \ (A\) pour ne pas confondre le coefficient quadratique avec l'accélération. Ensuite, nous pouvons introduire nos coefficients :
\[\begin{align}t_{1,2} &= \frac{-(v_{y0}) \pm \sqrt{(v_{y0})^2 - 4\left(\frac{1}{2}a_y\right)(-y)}}{2\left(\frac{1}{2}a_y\right)}\= \frac{-v_{y0} \pm \sqrt{v_{y0}^2 + 2a_yy}}{a_y}\end{align}\]
Nous pouvons maintenant introduire nos valeurs numériques :
\[t_{1,2} = \frac{-(0 \text{m}/\text{s}) \pm \sqrt{(0 \text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot (9.8 \text{m}/\text{s}^2)(1.35 \text{m})}}{9.8 \text{m}/\text{s}^2}.\]
En simplifiant ce qui précède, on obtient
\[\begin{align} t_{1,2} &= \pm \frac{\sqrt{26,46 \;\text{m}^2/\text{s}^2}}{9,8 \;\text{m}/\text{s}^2}\N &= \pm \frac{5.14 \;\text{m}/\text{s}}}{9,8 \;\text{m}/\text{s}^2}\\ &= \pm 0,52 \;\text{s}.\N-nd{align}\N]
Note que nous avons deux solutions : \N(t_1 = -0,52 \N;\Ntext{s}\N) et \N(t_2 = 0,52 \N;\Ntext{s}\N). Cependant, seule l'une d'entre elles a un sens physique, nous écartons donc le temps négatif et nous nous retrouvons avec notre réponse.
\N- [\N-Boxed{t = 0,52 \N ; \N-text{s}.}]
Il faut à nos clés \(0,52\) secondes pour toucher le sol. En guise de dernière vérification, assure-toi toujours que la réponse a un sens physique. Si nous avions obtenu une solution d'une heure, nous saurions que quelque chose ne va pas. Par contre, une demi-seconde a un sens physique. Nous savons donc d'emblée que nous n'avons pas commis d'erreur grave.
Réfléchis bien aux équations cinématiques à appliquer en fonction des valeurs que le problème te donne.
Mouvement de projectile en deux dimensions
Ensuite, nous allons nous pencher sur un problème plus difficile. Supposons qu'au lieu de laisser tomber tes clés, tu les jettes à un ami. Il se trouve à \(4\;\text{m}\) de distance et tu lances les clés à un angle de \(30^{\circ}\). À quelle vitesse dois-tu lancer les clés pour qu'elles atteignent ton ami ?
Comme toujours, la première étape consiste à dessiner un diagramme avec toutes les informations pertinentes.
Diagramme pour un problème de mouvement de projectile en deux dimensions, StudySmarter Originals
Il s'agit d'un problème plus difficile, alors décomposons-le en problèmes plus simples. La première chose à faire est de réaliser que nous avons affaire à une direction \ (x) et à une direction \ (y), et que ces deux directions sont indépendantes l'une de l'autre, de sorte que nous pouvons les traiter séparément.
Considérons d'abord la direction \ (y\)-. Note que nous devrons décomposer notre vitesse initiale en ses composantes. Pour la composante \ (y\)-, nous utilisons la trigonométrie pour obtenir
\N[v_{y0} = v_y\sin(\Nthêta).\N]
Considérons maintenant que les touches s'élèvent. À leur apogée, elles changent de direction, ce qui nous donne une vitesse finale de
\N[v_{y} = 0 \N;\Ntext{m}/\Ntext{s}.\N]
Maintenant, nous appliquons ces informations aux équations cinématiques.
\[\N- Début{alignement}v_y &= v_{y0} + a_yt_r \\N0 &= v_0\sin(\theta) + a_yt_r \Nv_0 &= \frac{-a_yt_r}{\sin(\theta)}. \N- [Fin{align}\N]
Nous avons mis en indice \(t\) avec un \(r\) pour nous rappeler qu'il s'agit seulement du temps qu'il faut pour atteindre le sommet pendant qu'il s'élève. Pour connaître le temps total passé en l'air, nous devons le doubler.
\[\N- Début{align}t &= 2t_r \N- T_r &= \Nfrac{1}{2}t. \N- Fin{align}\N]
En substituant ceci, nous obtenons une équation pour notre vitesse initiale en termes de \(t\N) :
\[v_0 = \frac{-a_yt}{2\sin(\theta)}.\]
Voyons si nous pouvons trouver \ (t\N) en utilisant la direction \N (x\N). Dans la direction \ (x\), aucune force n'agit sur notre objet. La gravité n'agit que dans la direction \N (y\N). Cela signifie que notre accélération est de \ (0 \;\text{m}/\text{s}^2\). Ainsi
\N- [\N- Début{aligned}v_x &= v_{x0} + a_xt \N- &= v_{x0}.\NFin{aligned}]
Comme notre vitesse dans la direction \ (x\) ne change pas, nous pouvons laisser tomber l'indice de la vitesse initiale. Nous introduisons ces informations et voyons si nous pouvons résoudre \N(t\N).
\[\begin{aligned}x &= x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2 \\ &= 0 + v_xt + 0 \\ &= v_xt.\end{aligned}\]
En utilisant à nouveau la trigonométrie, nous obtenons que la composante \(x\) de notre vitesse est
\[v_x = v_0\cos(\theta),\]
ce qui nous permet de résoudre la question de \N(t) en termes de \N(v_0) :
\[\begin{aligned}x &= v_xt \\ &= v_0\cos(\theta)t \\ t &= \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\end{aligned}\]
Ensuite, nous revenons en arrière et nous ajoutons ceci à notre équation de vitesse :
\[\begin{aligned} v_0 &= \frac{-a_yt}{2\sin(\theta)}\ &= \frac{-a_y}{2\sin(\theta)}\cdot \frac{x}{v_0\cos(\theta)}.\end{aligned}\]
Notez que nous avons \(v_0\) des deux côtés, nous pouvons donc le multiplier du côté gauche et prendre la racine carrée :
\[\begin{aligned} v_0^2 &= \frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}\ v_0 &= \pm \sqrt{\frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}}.\n- end{aligned}\]
Voici notre équation, en termes de variables connues, pour la vitesse initiale avec laquelle nous devons lancer nos clés pour qu'elles atteignent notre ami. Note que l'accélération due à la gravité est négative d'après notre choix de coordonnées, donc la valeur sous la racine carrée ne posera pas de problème. Enfin, nous introduisons nos chiffres.
\[\begin{aligned} v_0 &= \pm \sqrt{\frac{-a_yx}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}\\N- \pm \sqrt{\frac{-(-9.8 \N;\text{m}/\text{s}^2)\cdot 4 \N;\text{m}}{2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ)} }} \N- &= \Npm \N-sqrt{\Nfrac{39.2\N;\Ntext{m}^2/\Ntext{s}^2}{2\Ncdot 0.5 \Ncdot 0.87}} \N- &= \Npm \Nsqrt{45.5 \N;\Ntext{m}^2/\Ntext{s}^2} \N- &= \Npm 6,7 \N;\Ntext{m}/\Ntext{s}.\Nend{aligned}\N]
Ici, nous pouvons écarter la valeur négative car nous savons qu'elle n'a pas de sens physique dans cette situation. Notre valeur finale est donc
\N-[\Nboxed{v_0 = 6,7\N;\Ntext{m}/\Ntext{s}}.\N]
Nous devons lancer nos clés sur \(6.7\;\text{m}/\text{s}\) pour qu'elles atteignent notre ami.
Exemple indépendant du temps
Un dernier exemple. Considérons un problème qui nécessite l'équation cinématique indépendante du temps. Supposons que tu descendes à ski une colline dont l'angle d'inclinaison est de \(30^\circ;\). Tu pars du repos au sommet et tu accélères à un taux de \(0,5\;\text{m}/\text{s}^2\). Si ta vitesse finale est de \(9\;\text{m}/\text{s}\), quelle est la hauteur de la colline ?Comme d'habitude, nous commençons par faire un dessin.
Configuration du problème du skieur sur une pente pour l'équation cinématique indépendante du temps, StudySmarter Originals.
Ensuite, nous disposons de toutes les informations nécessaires pour appliquer notre formule, alors introduisons les chiffres.
$$\begin{aligned} v_x^2 &= v_{x0}^2+2a_x(x-x_0) \\N- (9\;\text{m}/\text{s})^2 &= (0\;\text{m}/\text{s})^2 + 2\cdot 0.5\;\text{m}/\text{s}^2(x-x_0) \\N- x-x_0 &= \frac{(9\;\text{m}/\text{s})^2}{2\cdot 0.5\;\text{m}/\text{s}^2} \\N- x-x_0 &= \Nfrac{81\N;\N-text{m}^2/\N-text{s}^2}{2cdot 0.5\N;\N-text{m}/\N-text{s}^2} \\N- x-x_0 &= 81\N;\Ntext{m}\Nend{aligned}$$
Remarque que cette distance correspond à la distance parcourue le long de la colline, mais nous cherchons la hauteur de la colline, nous devons donc utiliser un peu de trigonométrie pour obtenir notre réponse finale.
$$\begin{aligned} \sin(30^\circ) &= \frac{h}{81\\N;\text{m}} \\N- h &= 81\N;\N-text{m}\Ncdot\Nsin(30^\circ) \N- h &= 40.5\N;\N-text{m}\N-end{aligned}$$
La hauteur finale de la colline est donc
$$\boxed{h=40.5\;\text{m}}$$
Dérivation des équations cinématiques
Ci-dessous, nous expliquons brièvement comment dériver chacune des trois équations cinématiques.
Dérivation de l'équation cinématique linéaire
Nous pouvons dériver les équations cinématiques à partir de la deuxième loi de Newton. Cependant, il faut pour cela résoudre des équations différentielles. Une autre méthode consiste à les dériver algébriquement en utilisant nos connaissances du monde qui nous entoure pour élaborer un point de départ. Pour ce faire, nous notons que l'accélération est la variation de la vitesse sur la variation du temps, donc
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
où \(\Delta v = v - v_0\), et nous désignons notre cadre temporel par \(t\). Ainsi, nous avons :
\[a = \frac{v - v_0}{t}.\]
Pour finir de dériver notre première équation cinématique, nous considérons la direction \ (x\), et nous réarrangeons nos termes :
\[\N- Début{alignement} a_x &= \frac{v_x - v_{x0}}{t}]. \N- a_xt &= v_x - v_{x0}. [\N-END{align}\N]
Par conséquent, nous arrivons à l'équation cinématique linéaire.
\[\Boxed{v_x = v_{x0} + a_xt.}\N-]
Dérivation de l'équation cinématique quadratique
Note que de la même façon, nous avons que la vitesse moyenne est le changement de position sur le changement de temps.
\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]
où \ (\Delta x = x - x_0\). Nous pouvons également exprimer la vitesse moyenne comme la moyenne de la vitesse initiale et de la vitesse finale. Nous ajoutons cela à notre équation et résolvons \N(v_x\N) :
\[\N- Début{alignement} v_{text{avg}} &= \Nfrac{x - x_0}{t} \\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N - x_0}{t} \\N- v_x &= \frac{2(x - x_0)}{t} - v_{x0}. \N- [end{align}\N]
Nous pouvons introduire ceci dans l'équation cinématique linéaire :
\[\begin{align} v_x &= v_{x0} + a_xt \\\frac{2(x-x_0)}{t} - v_{x0} &= v_{x0} + a_xt \\frac{2(x-x_0)}{t} &= 2v_{x0} + a_xt \Nx - x_0 &= v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.\Nend{align}\N]
Enfin, en réarrangeant, on obtient l'équation cinématique quadratique.
\[\boxed{x = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2.}\]
Dérivation de l'équation cinématique indépendante du temps
Enfin, nous pouvons dériver notre troisième équation en résolvant la première équation pour \ (t\) et en l'insérant dans la deuxième équation.
Résous \(t\),
\N-[\N- Début{aligned}v_x &= v_{x0} + a_xt \Nt &= \frac{v_x - v_{x0}}{a_x},\Nend{aligned}\N]
et l'insérer dans l'équation cinématique quadratique :
\[\N- x &= x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_xt^2 \N &= x_0 + v_{x0}\left(\frac{v_x - v_{x0}{a_x}\right) + \frac{1}{2}a_x\left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\right)^2.\N- end{aligned}\N].
L'étape suivante consiste à retirer le facteur commun de l'expression et à simplifier les fractions :
\[\begin{aligned} x - x_0 &= \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\right)\left(v_{x0} + \frac{1}{2}a_x\left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\r}) \\N &= \frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\rright)\left(\frac{2v_{x0}}{2} + \frac{v_x - v_{x0}}{2}\rright) \N & = \left(\frac{v_x - v_{x0}{2}\r}) \N &= \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\right)\left(\frac{2v_{x0} + v_x - v_{x0}}{2}\right) \left(\frac{v_x - v_{x0}}{a_x}\right)\left(\frac{v_{x0} + v_x}{2}\right).\N- [end{aligned}\N]
Multiplie les facteurs du côté droit et remarque que les termes de vitesse non quadratique s'annulent :
\[\begin{aligned} x - x_0 &= \left(\frac{v_x^2 + v_xv_{x0} - v_{x0}v_x - v_{x0}^2}{2a_x}\right) \\ &= \frac{v_x^2 - v_{x0}^2}{2a_x} \N- [end{aligned}\N]
donc
\N- 2a_x(x-x_0) = v_x^2 - v_{x0}^2.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
En réarrangeant cette dernière ligne, on obtient l'équation cinématique indépendante du temps :
\[\boxed{v_x^2 = v_{x0}^2 + 2a_x(x-x_0).}\]
Ceci complète la dérivation des équations cinématiques.
Equations cinématiques angulaires
Dans la cinématique de rotation, il existe un analogue aux équations cinématiques dont nous avons parlé. Ces équations ont une forme identique, sauf que le déplacement, \(x\), est remplacé par l'angle, \(\theta\), la vitesse, \(v\), est remplacée par la vitesse angulaire, \(\omega\), et l'accélération, \(a\), est remplacée par l'accélération angulaire, \(\alpha\). L'équation cinématique angulaire linéaire est donc la suivante
\[\omega = \omega_0+\alpha t.\]
L'équation quadratique de la cinématique angulaire est la suivante
\[\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2,\]
et enfin, l'équation cinématique angulaire indépendante du temps est la suivante
\[\N-omega^2 = \N-omega_0^2 + 2\N-alpha (\Ntheta - \Ntheta_0).\N]
Équations cinématiques - Points clés à retenir
- Il existe trois équations cinématiques.
- Les équations cinématiques peuvent être appliquées au mouvement dans des problèmes unidimensionnels et bidimensionnels ou tridimensionnels.
- Les équations cinématiques sont utilisées pour décrire le mouvement d'un objet soumis à une accélération constante.
- Les équations cinématiques sont dérivées de la deuxième loi du mouvement de Newton, mais elles peuvent aussi être dérivées expérimentalement.
- Il existe un ensemble d'équations cinématiques de rotation qui sont analogues aux équations cinématiques linéaires.
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