Énergie potentielle de pesanteur

Calcule le travail fourni pour monter un objet de masse \(5500\,g\) d'une hauteur de \(200\,cm\) dans le champ de pesanteur Terrestre.

On sait que :

la masse \( m = 5500\,g = 5{,}5\, kg \)

la hauteur \( h = 200 \,cm = 2\,m \)

l'intensité de la pesanteur \( g = 9,8 N/kg \)

\[ \textbf{E}_{\textbf{pp}} = mgh = 5{,}5 \times 9{,}8 \times 2 = \textbf{107,8 J}\]

L'énergie potentielle de pesanteur de l'objet a augmenté de \(107{,}8\, \textrm J\), ce qui correspond également au travail fourni pour faire monter l'objet.

Si une personne qui pèse \(75 kg \) monte des escaliers pour atteindre une hauteur de \(100 m \), calcule :

(i) l'augmentation de l'\(E_{pp}\)

(ii) le travail fourni par la personne pour monter les marches de l'escalier.

Fig. 2 - Le travail fourni pour monter les marches d'escalier est égal à la variation de l'énergie potentielle de pesanteur.

D'abord, calcule l'augmentation de l'énergie potentielle de pesanteur lorsque la personne a monté les escaliers. Cela se trouve en utilisant la formule précédente.

\[ \begin{align} E_{pp} &= mgh \\ &= 75 \times 100 \times 9{,}8 \\ &= \textbf{73500 J = 735 kJ } \end{align} \]

Travail à fournir pour monter les marches :

Tu sais déjà que le travail fourni est égal à l'augmentation de l'énergie potentielle lorsque la personne a monté toutes les marches de l'escalier.

Travail = Force x Distance = \( E_{pp} \) = 735 kJ

La personne fournit un travail de 735 kJ pour monter toutes les marches.

Combien de marches est-ce qu'une personne qui pèse 54 kg doit monter pour brûler 2000 calories ? La hauteur de chaque marche est de 15 cm.

Tu dois d'abord convertir les grandeurs dans les unités de l'équation :

1000 calories = 4184 J

2000 calories = 8368 J

15 cm = 0.15 m

D'abord, calcule le travail fourni lorsque la personne monte une marche.

\[ mgh = 54 \times 9{,}8 \times 0{,}15 = \textbf{79,38 J} \]

Maintenant, calcule le nombre de marches à monter pour brûler 2000 calories, c'est-à-dire 8368 J :

\[ \begin{align} \textrm{Nombre de marches} &= \frac{8368}{79{,}38} \\ &= 105{,}416 \textrm{ marches} \end{align} \]

Une personne qui pèse 54 kg doit monter 106 marches pour brûler 2000 calories, dis donc !

Si une pomme de 500 g tombe d'une hauteur de 100 m du sol, à quelle vitesse est-ce qu'elle frappe le sol ? Ignore les effets de la résistance de l'air.

Fig. 3 - La vitesse d'une pomme en chute libre augmente par l'effet de l'accélération due à la gravité. La vitesse est maximale au moment de l'impact avec le sol. StudySmarter Originals.

L'énergie potentielle de pesanteur de l'objet est convertie en énergie cinétique au fur et à mesure que l'objet chute et prend de la vitesse. Ainsi, l'énergie potentielle tout en haut est égale à l'énergie cinétique à l'impact.

L'énergie totale de la pomme à tout instant est donnée par :

\[ E_{total} = E_c + E_{pp} \]

Lorsque la pomme est à une hauteur de 100 mètres, la vitesse est nulle et ainsi \(E_c = 0\). Alors l'énergie totale vaut \[E_{totale} = E_{pp} \] Lorsque la pomme s'apprête à toucher le sol, l'énergie potentielle est nulle et l'énergie totale vaut donc : \[ E_{total} = E_c \] Tu peux trouver la vitesse au moment de l'impact en identifiant \(E_c\) avec \(E_{pp}\). Au moment de l'impact, l'énergie cinétique de l'objet est égale à l'énergie potentielle de la pomme au moment où elle est lâchée.

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\] \[gh = \frac{1}{2} v^2 \] \[ v = \sqrt{2gh} \] \[ v= \sqrt{ 2 \times 9{,}8 \times 100 } \] \[ v = 44{,}27\; m/s \]

La pomme a une vitesse de 44,27 m/s lorsqu'elle frappe le sol.

Une grenouille de masse 30 g saute au-dessus d'une pierre de 15 cm. Calcule la variation de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}\) de la grenouille et la vitesse verticale avec laquelle la grenouille saute pour bondir.

Fig. 4 - L'énergie potentielle d'une grenouille change constamment lors d'un saut. Elle vaut zéro au moment de sauter et augmente jusqu'à atteindre la hauteur maximale, où l'énergie potentielle est également maximale. Ensuite, l'énergie potentielle diminue et est convertie en énergie cinétique lors de la chute.

Tu peux trouver la variation d'énergie de la grenouille lors du bond comme cela :

\[ \begin{align} \Delta E &= 0{,}15 \times 0{,}03 \times 9{,}8 \\ &= 0{,}0066 \;\textrm J \end{align} \] Pour calculer la vitesse verticale au moment de bondir, on sait que l'énergie totale de la grenouille vaut à tout instant : \[ E_{totale} = E_c + E_{pp} \] Lorsque la grenouille commence à sauter, son énergie potentielle est nulle, et l'énergie totale vaut donc : \[ E_{totale} = E_c \] Lorsque la grenouille est à une hauteur de 0,15 m, l'énergie totale est l'énergie potentielle de pesanteur : \{ E_{totale} = E_{pp} \] La vitesse verticale au début du bond peut être trouvée en identifiant \(E_{pp} \) et \(E_c\) : \[ mgh = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ gh = \frac{1}{2} v^2 \] \[ v= \sqrt{2gh} \] \[v = \sqrt{2\times 9{,}8\times 0{,}15 }\] \[v = 1{,}71 m/s \]

La grenouille saute avec une vitesse verticale initiale de 1,71 m/s.