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Le mouvement harmonique simple est l'oscillation périodique où l'accélération d'un oscillateur est proportionnelle au déplacement mais agit dans la direction opposée.
L'énergie cinétique est l'énergie acquise lorsqu'une masse m est en mouvement, tandis que l'énergie potentielle est l'énergie stockée dans l'oscillateur lorsqu'il a été déplacé de sa position d'équilibre. L'énergie cinétique potentielle peut se présenter sous la forme de :
- Énergie potentielle gravitationnelle, comme dans le cas d'une masse sur un pendule qui se trouve dans une position différente de l'équilibre.
- Énergie potentielle élastique, comme dans le cas d'une masse sur un ressort.
Quelle est l'énergie d'un système harmonique simple ?
L'énergie nette d'un système harmonique simple est constante et est égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
Cela peut être interprété comme suit :
- Comme les deux formes d'énergie s'échangent continuellement, lorsqu'une forme augmente, l'autre diminue. Par conséquent, lorsqu'une forme d'énergie atteint son point maximum, l'autre forme atteint sa valeur minimum (zéro).
- Si l'énergie est constante, le système oscille.
Supposons que nous ayons une masse sur un pendule qui commence à osciller à partir de sa position d'équilibre. La séquence du mouvement est illustrée dans la figure 1 ci-dessous, où le pendule passe de la position initiale à la position maximale à droite du point d'équilibre, qui est considérée comme la position positive maximale.
Le pendule reviendra à son point d'équilibre mais avec le sens opposé de l'accélération. Le pendule se déplacera alors jusqu'à la position maximale à gauche du point d'équilibre, qui est considérée comme la position négative maximale.
La forme d'énergie du pendule dépend de sa position. Le pendule acquiert initialement de l'énergie cinétique dès qu'il commence à osciller, tandis que l'énergie potentielle est à son minimum (0). Lorsque le pendule atteint son amplitude maximale, il s'arrête momentanément de bouger. L'énergie cinétique diminue jusqu'à 0, tandis que l'énergie potentielle atteint son maximum.
Lorsque le pendule continue à se déplacer dans la direction opposée, l'énergie cinétique commence à augmenter tandis que l'énergie potentielle diminue. Lorsque le pendule atteint son point d'équilibre, accomplissant un cycle périodique, l'énergie cinétique atteint son maximum et l'énergie potentielle atteint à nouveau son minimum.
Conservation de l'énergie mécanique dans un mouvement harmonique simple
Dans un oscillateur idéal, l'énergie mécanique est conservée dans un mouvement harmonique simple. Cela signifie que les forces extérieures, telles que le frottement, la résistance de l'air, etc. sont ignorées. Si l'énergie n'est pas perdue à cause des forces extérieures, elle est conservée dans le système. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle et elle est constante. L'énergie passe continuellement d'une forme à l'autre dans un mouvement harmonique simple, comme nous l'avons déjà mentionné.
On peut donc conclure que :
- KE = KEmax à l'équilibre ou x = 0.
- PE = PEmax aux amplitudes maximales
- Lorsque KE = KEmax, PE = 0
- Lorsque PE = PEmax, KE = 0
Graphique de l'énergie en fonction du temps dans un mouvement harmonique simple
La conservation de l'énergie mécanique est illustrée par le graphique de l'énergie en fonction du temps dans le mouvement harmonique simple de la figure 2. On peut en déduire les propriétés suivantes :
- Lorsque l'énergie potentielle est égale à 0, l'énergie cinétique est à son point maximum et vice versa.
- Les énergies cinétique et potentielle sont toutes deux représentées par des fonctions périodiques (sinus ou cosinus).
- Les deux fonctions périodiques varient dans des directions opposées.
- L'énergie est toujours positive.
- L'énergie totale est représentée par une droite horizontale à la valeur maximale de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
- Au cours d'une période d'oscillation, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle effectuent deux cycles complets, car une période atteint deux fois le point d'amplitude maximale (négatif et positif).
L'énergie moyenne d'un oscillateur effectuant un mouvement harmonique simple est l'énergie totale de l'oscillateur au cours d'une période de temps, c'est-à-dire le temps qu'il faut à l'oscillateur pour revenir à sa position d'équilibre initiale après avoir atteint une fois les deux points d'amplitude.
Graphique de l'énergie en fonction du déplacement dans un mouvement harmonique simple
Un autre graphique qui peut être réalisé à partir du principe de conservation mécanique de l'énergie est le graphique de l'énergie en fonction du déplacement de la figure 3, où l'énergie totale est indiquée ainsi que l'énergie aux points d'amplitude maximale. Un modèle d'interchangeabilité peut être vu dans le graphique.
- Le déplacement étant une grandeur vectorielle, le graphique présente des valeurs de déplacement positives et négatives.
- L'énergie potentielle est maximale à la position d'amplitude maximale, où x = ±Xmax, et à 0 à la position d'équilibre, où x = 0.
- Elle est représentée par une courbe en forme de U.
- L'énergie totale est représentée par une ligne droite horizontale au-dessus des courbes, et elle est constante.
- L'énergie cinétique est maximale à la position d'équilibre, où x = 0, et à 0 à la position d'amplitude x = ±Xmax.
- Ceci est représenté par une courbe en forme de U renversé.
Équation énergétique du mouvement harmonique simple
L'équation énergétique du mouvement harmonique simple fournit la magnitude numérique de l'énergie d'un oscillateur. Cette équation de l'énergie cinétique peut être dérivée en commençant par l'équation de l'énergie dans un mouvement de translation (voir ci-dessous), où KE est l'énergie cinétique, m est la masse et V est la vitesse.
\KE = 0,5 \cdot m \cdot v^2\]
En substituant l'équation de la vitesse du mouvement harmonique simple à un moment donné, nous obtenons ce qui suit, où Xmax est l'amplitude maximale, tandis que x est la position actuelle d'un objet à un moment donné.
Si la position de l'objet est l'équilibre, l'énergie cinétique est maximale et proportionnelle à l'amplitude maximale.
\[v = \sqrt{\pm \omega (X_{max}^2 - x^2)} \qquad v^2 = \omega^2(X_{max}^2 - x^2) \qquad KE = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \comega^2 (X^2_{max} - x^2) \cquad KE_{max} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \comega^2 \cdot X_{max}^2\]
Où \(\omega = 2\pi f\)
Pour l'énergie potentielle, nous utilisons également l'énergie cinétique mais nous la remplaçons par la constante du ressort. L'équation de l'énergie potentielle est présentée ci-dessous, où PE est l'énergie potentielle, k est la constante du ressort, et ω et t sont respectivement la fréquence angulaire et le temps.
Si la position de l'objet est l'équilibre, l'énergie potentielle est maximale et proportionnelle à l'amplitude maximale.
\[k = m \omega^2 PE = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (X_{max}^2 - x^2) \cquad PE_{max} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot X_{max}^2\]
L'énergie totale peut être déterminée par la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, ce qui est illustré ci-dessous, où k est la constante du ressort mesurée en N/m, et x est le déplacement mesuré en m.
\[E_{total}[J] = KE + PE\]
Une masse de 5 kg effectue un SHM. Sa position [m] est donnée par l'équation \(x(t) = 10 \sin(2t)\). Détermine l'énergie cinétique maximale.
Comme l'objet ne semble pas avoir de phase, nouscommençons par utiliser l'équation de l'énergie cinétique maximale et nous substituons les valeurs de la fréquence angulaire, de la masse et de l'amplitude de l'équation donnée.
\(KE = 0,5 \cdot m \cdot X_{max}^2 \cdot \cdot \omega^2\)
Nous utilisons l'équation donnée, et en la comparant à la formule du déplacement à un moment donné, nous pouvons en déduire que l'amplitude maximale est égale à 10, tandis que ω est égale à 2.
\(x(t) = 10 \sin(2t) \qquad X_{max} = 10 m \text{ and } \Nomega = 2s^{-1}\N)
Enfin, nous substituons l'amplitude et la vitesse angulaire maximales trouvées dans l'équation de l'énergie ci-dessus et nous obtenons :
\(KE_{max} = 0,5 \cdot 5 kg \cdot (10 m)^2 \cdot (2s^{-1})^2 = 1000J\).
L'énergie dans le mouvement harmonique simple - Principaux enseignements
- L'énergie harmonique simple est l'énergie que possède un oscillateur lorsqu'il effectue un mouvement harmonique simple.
- Au cours du mouvement harmonique simple, l'énergie est continuellement échangée entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
- Comme l'énergie mécanique est conservée dans le mouvement harmonique simple, l'énergie totale est constante.
- Les énergies cinétique et potentielle ne peuvent pas être négatives.
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