Énergie cinétique et Vitesse dans les systèmes MHS

Énergie cinétique d'un oscillateur

L'énergie cinétique d'un oscillateur est associée à l'énergie nécessaire à son mouvement. L'unité d'énergie cinétique est le joule ((\mathrm J)\) ou le newton-mètre ((\mathrm N\;\mathrm m)\). Il est important de noter que l'énergie cinétique est une quantité scalaire et non une quantité vectorielle, ce qui signifie qu'elle a une magnitude, mais qu'elle ne dépend pas d'une direction donnée. La vitesse est un vecteur, mais la magnitude de la vitesse est une quantité scalaire. Pour trouver l'expression de l'énergie cinétique d'un oscillateur, nous devons d'abord trouver la vitesse d'un oscillateur. Nous savons que l'énergie cinétique d'une particule est liée à sa masse et au carré de sa vitesse, et qu'elle est donnée par la formule suivante

$$K=\frac12mv^2.$$

Dans un article précédent, nous avons dérivé l'expression de l'énergie potentielle d'un oscillateur :

$$U=\frac12\omega^2mx^2,$$

où \(\omega\) est la fréquence angulaire de l'objet en radians par seconde \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\).

Nous avons également indiqué que l'énergie est conservée dans un mouvement harmonique simple. Cela signifie qu'à deux moments quelconques d'un cycle d'oscillation, la somme des énergies cinétique et potentielle doit être égale :

$$\begin{array}{rcl}K_i+U_i&=&K_f+U_f,\\\frac12mv_i^2+\frac12\omega^2mx_i^2&=&\frac12mv_f^2+\frac12\omega^2mx_f^2.\end{array}$$

Initialement, nous sommes au déplacement maximum, donc, \N(v_i=0,\N;x_i=A,v_f=v,\N;et\N;x_f=x\N). Nous remplaçons les valeurs dans l'équation ci-dessus et résolvons la vitesse :

$$\begin{array}{rcl}\frac12\omega^2mA^2&=&\frac12mv^2+\frac12\omega^2mx^2,\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2),\\v&=&\omega\sqrt{A^2-x^2}.\end{array}$$

Maintenant que nous connaissons l'expression de la vitesse de l'objet soumis à un mouvement harmonique simple, nous pouvons déterminer l'équation de l'énergie cinétique des oscillateurs harmoniques simples :

$$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12mv^2,\\K&=&\frac12m\omega^2(A^2-x^2).\end{array}$$

Comme nous pouvons le voir dans l'équation ci-dessus, de nombreux paramètres dans un système entreprenant un mouvement harmonique simple peuvent affecter l'énergie cinétique. L'énergie cinétique est liée à la masse de l'objet oscillant, à sa fréquence angulaire, à son amplitude et à sa position par rapport au point d'équilibre à tout moment. La façon la plus simple de le prouver expérimentalement est de mettre en place un système masse-ressort.

Une autre façon d'exprimer l'énergie cinétique d'un oscillateur consiste à utiliser la définition de la position d'un objet dans un système de mouvement harmonique simple,

$$x=A\cos\à gauche(\omega t+\phi\à droite).$$

Nous remplaçons l'équation ci-dessus par notre expression de l'énergie cinétique,

$$begin{array}{rcl}K&=&\frac12m\omega^2\left(A^2-A^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right),\K&=&\frac12m\omega^2A^2\left(1-\cos^2\left(\omega t+\phi\right)\right).\end{array}$$$.

Où nous utilisons l'identité trigonométrique \ (\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)=1\). Nous avons donc maintenant une expression pour l'énergie cinétique qui consiste en une fonction sinusoïdale élevée au carré. Remarque que la mise au carré de la fonction sinusoïdale signifie que l'énergie cinétique prendra toujours des valeurs positives, comme nous le prévoyons, même lorsque la fonction sinusoïdale elle-même est négative. L'énergie cinétique d'un système soumis à un mouvement harmonique simple est donnée par ,

$$K=\frac12m\omega^2A^2\sin^2\gauche(\omega t+\phi\droite).$$