Énergie cinétique de rotation

Un ventilateur pesant 10 kg possède trois pales, où chaque pale mesure 0,5 m de long et pèse 1 kg. Les pales tournent autour d'un axe perpendiculaire à leur longueur. Le moment d'inertie de chaque pale peut être trouvé en utilisant la formule d'une tige mince, où m est la masse et l est la longueur de chaque tige.

\[I_{lame} = \frac{m_{lame} \cdot r^2}{3}\]

a) Quelle est l'énergie cinétique de rotation des pales lorsqu'elles tournent à une vitesse de 70 tr/min ?

b) Quelle est l'énergie cinétique de translation du ventilateur lorsqu'il se déplace horizontalement à 0,5 m/s ? Trouve le rapport entre l'énergie cinétique de translation et l'énergie cinétique de rotation.

Solution (a)

Nous utilisons la formule de l'énergie cinétique de rotation dérivée ci-dessus.

\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2\]

Cependant, la vitesse de rotation a été indiquée en tr/min au lieu de rad/s, comme l'exige la formule. Par conséquent, la vitesse de rotation doit être convertie en rad/s. Une rotation par minute est égale à 2π radians par 60 secondes.

\[\noméga = \frac{70 rpm}{1 min} \cdot \frac{2 \pi rad}{1 rev} \cdot \frac{1 min}{60 s} = 7,33 rad/s\].

Nous pouvons ensuite calculer le moment d'inertie de chaque pale à l'aide de la formule fournie.

\[I_{lame} = \frac{m \cdot r^2}{3} = \frac{1 kg \cdot (0,5 m)^2}{3} = 0,0833 kgm^2\]

Nous multiplions par le nombre de pales pour trouver le moment d'inertie de toutes les pales.

\[I = 3 \cdot 0,0833 kgm^2 = 0,25 kgm^2\]

Un disque d'un rayon de 0,5 m et d'une masse de 2 kg tourne à une vitesse de translation de 18 m/s. Trouve le moment d'inertie et l'énergie cinétique de rotation.

Nous commençons par utiliser la relation concernant les vitesses de translation et les vitesses linéaires afin de trouver la vitesse angulaire.

\[v = \oméga \cdot r\]

Si nous remplaçons les variables données dans l'équation ci-dessus, nous obtenons la valeur suivante pour la vitesse angulaire :

\[\noméga = \frac{v}{r} = \frac{18 m/s}{0,5 m} = 36 rad/s\].

Pour calculer l'énergie cinétique de rotation, nous calculons d'abord le moment d'inertie du disque :

\[I = mr^2 = 2 kg \cdot (0,5 m)^2 = 0,5 kgm^2\].

En substituant le moment d'inertie dans la formule de l'énergie cinétique de rotation, on obtient :

\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \comega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 kgm^2 \cdot (36 rad/s)^2 = 324 J\]

Une balle de 0,3 kg est lancée en l'air avec une vitesse horizontale de 10,0 m/s. Elle tourne à une vitesse de 5 rad/s. La formule du moment d'inertie de la balle est donnée par la formule ci-dessous, où m est la masse, et r le rayon de la balle qui est égal à 0,4 m.

\[I_{ball} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2\]

Quelle est l'énergie totale de la balle lorsqu'elle quitte la main ?

Nous utilisons la formule du moment d'inertie.

\[I_{ball} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 = \frac{2}{5} \cdot 0,3 kg \cdot (0,4 m)^2 = 0,0192 kgm^2\]

L'énergie cinétique de rotation est trouvée en substituant le moment d'inertie dans la formule.

\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \comega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,0192 kgm^2 \cdot (5 rad/s)^2 = 0,24 J\]

L'énergie cinétique de translation est trouvée en substituant les valeurs données de la masse et de la vitesse de translation dans la formule de l'énergie de translation.

\[E_t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,3 kg \cdot (10 m/s)^2 = 15J\]

L'énergie totale est trouvée par la somme de l'énergie de rotation et de l'énergie de translation.

\[E_{total} = E_r + E_t = 0,24 J + 15 J = 15,24 J\]