Formule de l'énergie cinétique de rotation
La formule de l'énergie cinétique de translation (Et) est la suivante, où m est la masse et v la vitesse de translation.
\[E_t = \frac{1}{2} \cdot m[kg] \cdot v^2 [m/s]^2\]
Bien que la formule de l'énergie cinétique de rotation soit très similaire à celle de l'énergie cinétique de translation, elles diffèrent en ce qui concerne la composante de vitesse de l'équation.
Figure 1. Un manège et les planètes du système solaire sont des exemples d'objets ayant une énergie cinétique de rotation.
Lorsque nous étudions le mouvement de rotation des objets, nous pouvons observer que la vitesse linéaire est différente pour chaque point du cycle de rotation d'un corps autour de son axe. La raison en est que la vitesse linéaire est une quantité vectorielle qui, dans un mouvement de rotation, est toujours tangente au cercle du mouvement. Elle change donc toujours de direction. C'est ce que montre la figure 2 ( ), où la vitesse d'un corps varie (v1, v2) à deux moments différents (t1, t2).
Figure 2. Vitesse de translation dans un mouvement de rotation. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Par conséquent, une nouvelle variable, appelée vitesse angulaire, est nécessaire pour décrire plus précisément le mouvement de rotation. Cette variable est liée à la magnitude de la vitesse de translation v et au rayon r, comme le montre l'équation ci-dessous. Il est également utile de noter que la vitesse angulaire peut aussi être exprimée en termes de période T en secondes ou de fréquence f en Hertz. Cette dernière relation est particulièrement utile pour les mouvements périodiques.
\[v = \omega \cdot r \quad \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi ƒ\]
Figure 3. Vitesse angulaire dans un mouvement de rotation. Source : Oğulcan Tezcan, StudySmarter.
Pour obtenir l'énergie cinétique de rotation (Er), nous devons substituer la vitesse angulaire dans la formule de l'énergie cinétique (Et), où m est la masse, ω est la vitesse angulaire, r est le rayon et v est la vitesse de translation.
\[E_t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
La relation entre la vitesse de translation et la vitesse angulaire peut être exprimée comme suit :
\[v=\oméga \cdot r\]
Si nous remplaçons la vitesse de translation par la relation donnée, nous obtenons :
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (\omega r)^2\]
En développant les parenthèses, nous obtenons ce qui suit pourEr:
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot m [kg] \cdot \omega^2 [rad/s]^2 \cdot r^2 [m]^2\]
Moment d'inertie et énergie cinétique de rotation
Dans le cas d'un corps fixe en rotation, où l'on peut supposer que la masse est concentrée en un seul point tournant autour d'un axe fixe, on peut utiliser le moment d'inertie comme équivalent à sa masse.
Le moment d'inertie (I) est la résistance d'un corps au mouvement de rotation, qui peut être exprimée comme le produit de sa masse m et de la distance perpendiculaire r de l'axe de rotation, comme indiqué ci-dessous.
\[I = m[kg] \cdot r^2[m]^2\]
Nous pouvons encore simplifier la formule de l'énergie cinétique de rotation dérivée ci-dessus en remplaçant la masse et le rayon par le moment d'inertie. L'équation ci-dessous montre que les formules de l'énergie cinétique linéaire et de l'énergie cinétique de rotation ont la même forme mathématique.
\[E_r [J] = \frac{1}{2} \cdot m[kg] \cdot r^2[m]^2 \cdot \omega^2 [rad/s]^2 = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2\]
Rapport entre l'énergie cinétique de rotation et l'énergie cinétique de translation
Le rapport entre l'énergie cinétique de rotation et l'énergie cinétique de translation est l'énergie cinétique de rotation sur l'énergie cinétique de translation, comme indiqué ci-dessous, oùEt est l'énergie cinétique de translation tandis queEr est l'énergie de rotation. L'énergie cinétique totale d'un système qui se déplace à la fois linéairement et en rotation est la somme de l'énergie cinétique linéaire et de l'énergie de rotation.
\[E_{total} = E_r + E_t\]
Ce rapport est utilisé dans les cas où un objet roule ou se déplace de façon linéaire avec une énergie cinétique de translation et également de façon rotative avec une énergie cinétique de rotation. Pour trouver la fraction de l'énergie cinétique d'un objet qui est rotationnelle, nous devons diviser l'énergie cinétique de rotation sur l'énergie cinétique totale. Pour trouver la fraction de l'énergie cinétique qui est de translation, nous divisons l'énergie de translation sur l'énergie cinétique totale.
\[E_r = \frac{E_r}{E_r + E_t} ; \space E_t = \frac{E_t}{E_r + E_t}\]
Un ventilateur pesant 10 kg possède trois pales, où chaque pale mesure 0,5 m de long et pèse 1 kg. Les pales tournent autour d'un axe perpendiculaire à leur longueur. Le moment d'inertie de chaque pale peut être trouvé en utilisant la formule d'une tige mince, où m est la masse et l est la longueur de chaque tige.
\[I_{lame} = \frac{m_{lame} \cdot r^2}{3}\]
a) Quelle est l'énergie cinétique de rotation des pales lorsqu'elles tournent à une vitesse de 70 tr/min ?
b) Quelle est l'énergie cinétique de translation du ventilateur lorsqu'il se déplace horizontalement à 0,5 m/s ? Trouve le rapport entre l'énergie cinétique de translation et l'énergie cinétique de rotation.
Solution (a)
Nous utilisons la formule de l'énergie cinétique de rotation dérivée ci-dessus.
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2\]
Cependant, la vitesse de rotation a été indiquée en tr/min au lieu de rad/s, comme l'exige la formule. Par conséquent, la vitesse de rotation doit être convertie en rad/s. Une rotation par minute est égale à 2π radians par 60 secondes.
\[\noméga = \frac{70 rpm}{1 min} \cdot \frac{2 \pi rad}{1 rev} \cdot \frac{1 min}{60 s} = 7,33 rad/s\].
Nous pouvons ensuite calculer le moment d'inertie de chaque pale à l'aide de la formule fournie.
\[I_{lame} = \frac{m \cdot r^2}{3} = \frac{1 kg \cdot (0,5 m)^2}{3} = 0,0833 kgm^2\]
Nous multiplions par le nombre de pales pour trouver le moment d'inertie de toutes les pales.
\[I = 3 \cdot 0,0833 kgm^2 = 0,25 kgm^2\]
Enfin, nous substituons la valeur trouvée dans l'expression de l'énergie cinétique de rotation.
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \comega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 kgm^2 \cdot (7.33 s^{-1})^2 = 6.72 J\]
Solution (b )
Nous substituons les valeurs données dans l'équation de l'énergie cinétique de translation.
\[E_t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 kg \cdot (0,5 m/s)^2 = 1,25 J\]
Pour trouver le rapport entre l'énergie de translation et l'énergie de rotation, nous divisons l'énergie de translation par l'énergie de rotation.
\[\frac{E_t}{E_r} = \frac{1,25 J}{6,72J} = 0,186\]
Ce rapport indique que la majeure partie de l'énergie cinétique du ventilateur est utilisée pour faire tourner ses pales.
Exemples d'énergie cinétique de rotation
Un disque d'un rayon de 0,5 m et d'une masse de 2 kg tourne à une vitesse de translation de 18 m/s. Trouve le moment d'inertie et l'énergie cinétique de rotation.
Nous commençons par utiliser la relation concernant les vitesses de translation et les vitesses linéaires afin de trouver la vitesse angulaire.
\[v = \oméga \cdot r\]
Si nous remplaçons les variables données dans l'équation ci-dessus, nous obtenons la valeur suivante pour la vitesse angulaire :
\[\noméga = \frac{v}{r} = \frac{18 m/s}{0,5 m} = 36 rad/s\].
Pour calculer l'énergie cinétique de rotation, nous calculons d'abord le moment d'inertie du disque :
\[I = mr^2 = 2 kg \cdot (0,5 m)^2 = 0,5 kgm^2\].
En substituant le moment d'inertie dans la formule de l'énergie cinétique de rotation, on obtient :
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \comega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 kgm^2 \cdot (36 rad/s)^2 = 324 J\]
Une balle de 0,3 kg est lancée en l'air avec une vitesse horizontale de 10,0 m/s. Elle tourne à une vitesse de 5 rad/s. La formule du moment d'inertie de la balle est donnée par la formule ci-dessous, où m est la masse, et r le rayon de la balle qui est égal à 0,4 m.
\[I_{ball} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2\]
Quelle est l'énergie totale de la balle lorsqu'elle quitte la main ?
Nous utilisons la formule du moment d'inertie.
\[I_{ball} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 = \frac{2}{5} \cdot 0,3 kg \cdot (0,4 m)^2 = 0,0192 kgm^2\]
L'énergie cinétique de rotation est trouvée en substituant le moment d'inertie dans la formule.
\[E_r = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \comega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,0192 kgm^2 \cdot (5 rad/s)^2 = 0,24 J\]
L'énergie cinétique de translation est trouvée en substituant les valeurs données de la masse et de la vitesse de translation dans la formule de l'énergie de translation.
\[E_t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,3 kg \cdot (10 m/s)^2 = 15J\]
L'énergie totale est trouvée par la somme de l'énergie de rotation et de l'énergie de translation.
\[E_{total} = E_r + E_t = 0,24 J + 15 J = 15,24 J\]
Énergie cinétique de rotation - Principaux points à retenir
L'énergie cinétique de rotation est l'énergie d'un corps en rotation.
L'équation de l'énergie cinétique de rotation a la même forme que l'équation de l'énergie cinétique linéaire.
L'énergie cinétique de rotation peut également être exprimée en termes de moment d'inertie d'un corps.
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