Définition de la dynamique de rotation
Commençons par clarifier ce que nous appelons la dynamique rotationnelle.
Ladynamique de rotation est l'étude du mouvement de rotation résultant de forces externes et de leurs couples.
Ce domaine de la mécanique est très vaste, mais nous allons essayer d'en donner un aperçu général.
Dynamique de rotation Mouvement
Nous pouvons décrire le mouvement de rotation à l'aide de quatre grandeurs physiques principales : la vitesse angulaire, l'accélération angulaire, le déplacement angulaire et le temps. Si nous avons une notion intuitive du temps, les autres variables du mouvement de rotation ne te sont peut-être pas si familières, alors commençons par définir chacune d'entre elles.
Ledéplacement angulaire, \( \Delta \theta \), est la différence entre une position angulaire initiale et une position angulaire finale autour d'un axe donné.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$\Delta \theta= \theta_f - \theta_i.$$
Le déplacement angulaire a une unité SI de radians (\(\mathrm{rad}\)).
Lavitesse angulaire, \( \oméga \), est le taux de variation du déplacement angulaire d'un objet par rapport au temps.
La formule mathématique de la vitesse angulaire moyenne est la suivante
$$\omega=\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}},$$
où \( \Delta\theta \) est le déplacement angulaire et \( t \) est le temps. La vitesse angulaire a une unité SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \). Cependant, pour la vitesse angulaire instantanée, nous utilisons
$$\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.$$
L'accélération angulaire, \( \alpha \), est la variation de la vitesse angulaire d'un objet par rapport au temps.
On peut calculer l'accélération angulaire moyenne comme suit
$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}},$$
et pour l'accélération angulaire instantanée
$$ \alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{ d}t} .$$
L'accélération angulaire a une unité de \( \mathrm{\frac{rad}{s^2}} \).
En plus de comprendre ces définitions et les formules correspondantes, il faut maintenant connaître la relation entre ces quantités. La vitesse angulaire est la dérivée première du déplacement angulaire par rapport au temps, \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \), tandis que l'accélération angulaire est la dérivée première de la vitesse angulaire par rapport au temps, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) ainsi que la dérivée seconde du déplacement angulaire \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}. \)
Etant donné la fonction de position angulaire, \( \theta(t)=\left(5\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t -6\;\mathrm{rad}, \) calculer les fonctions de vitesse angulaire et d'accélération angulaire.
Solution
Pour trouver la fonction de vitesse angulaire, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction de position angulaire par rapport au temps.
\begin{align}\omega(t)&=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\\\omega(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(5\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{\frac{rad}{s}\right)t -6\ ;\mathrm{rad}\right)\\\omega(t)&=\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\end{align}
De même, puisque l'accélération angulaire est la dérivée seconde de la fonction de position angulaire, nous pouvons la trouver en calculant la dérivée de la fonction de vitesse angulaire.
\begin{align}\\\alpha(t)&=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\\\alpha(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\\alpha(t)&=10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\\\end{align}
Mesure des angles avec les radians
Un radian est une mesure d'angle fréquemment utilisée dans un mouvement circulaire.
Un radian est l'angle correspondant à une longueur d'arc égale au rayon du cercle.
Fig. 1 - Schéma illustrant la définition d'un radian.
Si nous voulons convertir des radians en degrés, nous pouvons utiliser la formule suivante ,
$$\theta_\text{degrees}=\theta_\text{radians}\left(\frac{180^\circ}{\pi\;\mathrm{rad}} \right). $$
D'autre part, pour convertir les degrés en radians, nous pouvons appliquer la formule :
$$\theta_\text{radians}=\theta_\text{degrés}\left(\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}\right).$$ Vérifions notre compréhension à l'aide d'un exemple rapide.
Convertis les quantités suivantes :
- 5,00 radians en degrés
- 275 degrés en radians
Solution
Nous utilisons la formule correspondante en fonction des unités de l'angle donné.
\begin{align}\theta_\text{degrees}&=\theta_\text{radians}\left(\frac{180^\circ}{\pi\;\mathrm{rad}} \right)\\\theta_\text{degrees}&=5.00\,\text{rad}\left(\frac{180^\circ}{\pi\,\mathrm{rad}}\right)\\\theta_\text{degrees}&=\frac{(5.00)180^\circ}{3.14}\\\theta_\text{degrees}&=286^\circ\\\end{align}
\begin{align}\theta_\text{radians}&=\theta_\text{degrees}\left(\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}\right)\\\theta_\text{radians}&=275^\circ\left(\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{180^\circ}\right)\\\theta_\text{radians}&=\frac{(275^\circ)(\pi\;\mathrm{rad})}{180^\circ}\\\theta_\text{radians}&=4.80\,\text{radians}\\\end{align}
Note que \N( 1\N,\Ntext{radian} \Napprox 57.3^\Ncirc.\N)
Couple et inertie de rotation
Le couple est l'équivalent rotatif d'une force. Pour qu'un objet subisse une accélération angulaire, il doit être affecté par un couple.
Lecouple, \( \tau \), est une quantité vectorielle qui quantifie l'effet de rotation d'une force appliquée à un objet.
L'unité SI du couple est \( \mathrm{N\,m.} \).
Selon la convention, une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre indique un couple positif, et une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre indique un couple négatif. L'importance du couple appliqué à un objet dépend de la force appliquée mais aussi de la distance perpendiculaire de l'endroit où la force est appliquée, par rapport à l'axe de rotation.
Pour qu'un système soit en équilibre de rotation, la somme de tous les couples agissant sur un système doit être égale à zéro.
$$\sum \tau=0$$$
La somme de tous les couples agissant sur un système peut être nulle si les couples agissent dans des directions opposées, s'annulant ainsi.
L'équilibre rotationnel est défini comme un état dans lequel ni l'état de mouvement d'un système ni son état d'énergie interne ne changent en fonction du temps.
Et nous avons aussi une quantité qui joue le rôle de la masse dans le mouvement de translation. Pour les mouvements de rotation, nous utilisons le moment d'inertie ou inertie de rotation.
L'inertie de rotation est une mesure quantitative de la résistance d'un objet à l'accélération angulaire.
L'inertie de rotation varie en fonction de la forme de l'objet et de la répartition de sa masse par rapport à l'axe de rotation.
Équations de la dynamique de rotation
Parlons maintenant des équations des concepts utilisés dans le mouvement de rotation et de la façon dont nous pouvons les utiliser.
Équations cinématiques du mouvement de rotation
Parfois, il suffit de travailler avec les équations de la cinématique de rotation lorsqu'on étudie le mouvement de rotation.
Lacinématique de rotation fait référence à l'étude du mouvement de rotation sans tenir compte des forces extérieures.
Nous pouvons utiliser les équations cinématiques suivantes lorsque nous avons affaire à une accélération angulaire constante.
Équation de la vitesse angulaire :
$$\omega=\omega_{o} + \alpha{t}.$$
Équation du déplacement angulaire :
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2.$$
Équation de la vitesse angulaire au carré :
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}.$$
Dans les équations ci-dessus, \(\oméga\) est la vitesse angulaire finale, \(\oméga_0\) est la vitesse angulaire initiale, \(\alpha\) est l'accélération angulaire, \(t\) est le temps, et \(\Delta \theta\) est le déplacement angulaire.
Lien entre la cinématique de rotation et la cinématique linéaire
Maintenant que nous avons discuté de la dynamique de rotation et de son lien avec la cinématique de rotation, nous devons nous assurer de reconnaître et de comprendre la relation entre la cinématique de rotation et la cinématique linéaire. Ces relations apparaissent dans le tableau ci-dessous, où \( r \) est le rayon du mouvement circulaire.
| Variable | Abréviation linéaire | Unités SI linéaires | Abréviation angulaire | Unités SI angulaires | Relation |
| accélération | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}$$ | $$\alpha$$ | $$\frac{rad}{s^2}$$ | $$a=\alpha{r}, \alpha=\frac{a}{r}$$ |
| vitesse | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | $$\oméga$$ | $$\frac{rad}{s}$$ | $$v=\omega{r}, \omega=\frac{v}{r}$$ |
| déplacement | $$x$$ | $$m$$ | $$\Delta \theta$$ | $$rad$$ | $$x=\theta{r}, \theta=\frac{x}{r}$$ |
| temps | $$t$$ | $$s$$ | $$t$$ | $$s$$ | $$t=t$$ |
Pour mieux comprendre ces relations, examinons le diagramme ci-dessous.
Fig. 2 - Diagramme illustrant la relation entre les variables cinématiques linéaires et les variables cinématiques rotatives où \( v=\text{velocity},\N) \(r=\text{radius},\N) \( X=\text{déplacement linéaire},\N) \( \Delta \theta=\text{déplacement angulaire},\N) et \( \omega=\text{vitesse angulaire.} \N)
Équations pour le couple
Le couple peut être calculé à l'aide de trois formules différentes.
- Formule du produit en croix
- Formule de l'amplitude
- Formule de la deuxième loi de Newtons
Formule du produit en croix
La définition du produit en croix du couple est exprimée par l'équation suivante
$$\tau=\vec{r} \time \vec{F}$$
où \( \vec{r} \) est le déplacement par rapport à l'axe de rotation et \( \vec{F} \) est la force appliquée.
Le produit en croix est également connu sous le nom de produit vectoriel. Son résultat est une autre quantité vectorielle dont la direction est perpendiculaire aux deux arguments vectoriels et au plan défini par eux. Le vecteur couple est parallèle à l'axe de rotation.
Formule de l'amplitude
Si nous ne nous intéressons qu'à l'ampleur du couple, \( | \vec{\tau} | = \tau, \) nous pouvons la calculer à l'aide de la formule suivante :
$$ \tau = | \vec r \times \vec F | = r F \sin\theta.$$
où \( r \) est la magnitude du déplacement par rapport à l'axe de rotation, \( F \) est la magnitude de la force appliquée, et \( \theta \) est l'angle entre les deux.
Nous pouvons également écrire l'équation ci-dessus sous la forme suivante
$$ \tau = Fr_\perp,$$
où \( r_\perp = r\sin\theta ,\) est la distance perpendiculaire de l'axe de rotation à la ligne d'action de la force, appelée bras de levier.
Fig. 3 - Diagramme de couple montrant la force appliquée, la distance par rapport à l'axe de rotation, l'angle qu'ils forment et le bras de levier.
Forme de la deuxième loi de Newton
L'équation du couple peut être écrite sous la même forme que celle de la deuxième loi de Newton, \( F=ma \).
$$\tau=I\alpha$$.
Ici, \( I \) est le moment d'inertie et \( \alpha \) est la magnitude de l'accélération angulaire.
Équation de l'inertie de rotation
Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle située à une distance de \(r\) de l'axe de rotation est le suivant
$$I=mr^2.$$
Cette formule est importante parce que nous pouvons l'utiliser pour dériver des formules pour le moment d'inertie de systèmes complexes puisque les objets peuvent être considérés comme étant composés d'ensembles de masses ponctuelles. L'inertie totale de rotation d' un ensemble d'objets est calculée par la formule suivante
$$I_{\mathrm{total}}= \sum I_i=\sum m_ir_{i}^2.$$
Prenons un exemple rapide.
Une masse ponctuelle de 2,1 kg est placée à 0,89 m de l'axe de rotation. Calcule son moment d'inertie.
Solution
On nous donne à la fois la masse et le rayon. Nous pouvons donc appliquer directement la formule du moment d'inertie pour une masse ponctuelle.
$$\begin{align}I&=mr^2\\I&=(2.1\,\mathrm{kg})(0.89\,\mathrm{m})^2\\I& = 1.7\,\mathrm{kg\,m^2}\\\end{align}$$
Si notre système est un corps de taille finie, nous pouvons le modéliser comme étant composé d'une infinité de masses différentielles \( \mathrm{d}m \). Chacune de ces masses contribue au moment d'inertie de l'objet, mais au lieu de les additionner, nous devons les intégrer pour trouver le moment d'inertie total de l'objet :
$$I=\int{r^2}dm,$$
où \( r \) est la distance perpendiculaire des masses différentielles, \( dm,\) à l'axe de rotation.
Équations pour d'autres grandeurs utiles du mouvement de rotation
Nous avons encore beaucoup d'autres contreparties à celles du mouvement de translation. Parlons brièvement de quelques-unes d'entre elles.
Énergie cinétique de rotation
Tout comme la vitesse, l'énergie cinétique est utilisée pour calculer l'énergie cinétique,
$$K=\frac{1}{2}mv^2,$$
nous pouvons quantifier l'énergie cinétique de rotation d'un système en connaissant sa vitesse angulaire
$$K_{\text{rot}}= \frac{1}{2}I\omega^2.$$
Moment angulaire et impulsion
Lemoment angulaire est une quantité vectorielle définie comme le produit de la vitesse angulaire et de l'inertie de rotation.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$L=I\oméga,$$$
où \( \Noméga \N) est la vitesse angulaire mesurée en \N( \Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}, \N) et \N( I \N) est l'inertie mesurée en \N( \Nmathrm{kg\N,m^2}. \NLe moment cinétique a une unité SI de \N( \Nmathrm{kg\N,\Nfrac{m^2}{s}} \N).
Cette formule ne peut être utilisée que lorsque le moment d'inertie est constant.
Nous avons également une définition de l'impulsion angulaire qui décrit comment le couple, l'analogue rotatif de la force, affecte un système par rapport au temps.
L'impulsion angulaire est définie comme le produit du couple exercé sur un système pendant un intervalle de temps spécifique.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$\Delta \vec{J}_{rot}= \int_{t_o}^{t}\vec{\tau}(t)dt,$$
ce qui peut être simplifié en
$$J=\tau\Delta{t},$$
lorsque \( \tau \) ne varie pas avec le temps. Puisque \( \tau \r) est mesuré en \( \mathrm{N\rm,m} \r) et \( t \r) en \( \mathrm{s}, \r) l'unité d'impulsion angulaire dans le système SI est \( \mathrm{N\rm, \frac{m}{s}}. \r).
L'impulsion angulaire et le moment cinétique sont liés par le théorème de l'impulsion et du moment cinétique :
$$ J=\Delta{L} .$$
Expérience sur la dynamique de rotation
Pour démontrer le concept de dynamique rotationnelle en laboratoire, on peut réaliser une expérience impliquant un bras en rotation. Dans cette expérience, l'appareil se compose d'un bras rotatif relié à un capteur de mouvement rotatif qui mesure la vitesse angulaire. Sur le bras rotatif, deux masses seront attachées pour le ralentir en augmentant son inertie de rotation. Plus les masses sont éloignées, plus le bras a du mal à tourner. L'axe du bras rotatif sera ensuite attaché à une ficelle qui est également attachée à une poulie avec une masse suspendue. Cette configuration permet d'appliquer un couple constant au bras, en raison de la tension exercée par la ficelle, ce qui le fait tourner. Le couple peut ensuite être mesuré et varier continuellement en utilisant différentes masses suspendues.
Exemples de dynamique de rotation
Pour résoudre les problèmes de dynamique de rotation, on peut utiliser une combinaison des équations que nous avons explorées précédemment. Appliquons nos nouvelles connaissances sur la dynamique de rotation aux deux exemples suivants.
La roue qui tourne a une vitesse angulaire initiale de \N 5,0\N,\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}}.\N Si son accélération angulaire est donnée comme \N 2,1\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2} \Net son déplacement angulaire comme \N 10,6\Nmathrm{rad},\Nquelle est la vitesse angulaire finale de la Grande Roue ? Combien de temps faut-il pour atteindre cette vitesse ?
Solution
Note que nous disposons des informations suivantes :
- vitesse angulaire initiale
- accélération angulaire
- déplacement angulaire
Par conséquent, nous pouvons identifier et utiliser l'équation,
$$\oméga^2={\oméga_o}^2+ 2\alpha\Delta\theta,$$
pour résoudre la première partie de ce problème. Nos calculs sont donc les suivants :
$$\begin{aligned} \omega^2 &= \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta\\\N- \omega^2&=\left( 5.0\,\mathrm{\frac{rad}{s}} \right)^2+ 2\left( 2.1 \mathrm{\frac{rad}{s^2} \rright) \left( 10.6\N,\mathrm{rad}\rright)\N \Nomega^2&=25 + 44.52\N \Nomega^2&=69.52\N \Nomega&=8.3\N,\mathrm{\frac{rad}{s} \N-END{aligned}}$$
Maintenant, en utilisant ces informations et l'équation,\N( \Delta\theta=\frac{\omega + \omega_o}{2}{t}, \N) nous pouvons calculer le temps qu'il faut pour atteindre cette valeur de vitesse finale comme suit :
$$\begin{align}\Delta\theta&=\frac{\omega + \omega_o}{2}{t}\\N10.6,\mathrm{rad}&=\frac{8.3,\mathrm{\frac{rad}{s} + 5.0\frac{rad}{s}}}{2}(t)\\10.6&= 6.7(\mathrm{t})\\t&= \frac{10.6}{6.7}=1.6\,\mathrm{s}\\\end{align}$$
La roue qui tourne atteint sa vitesse angulaire finale de 8,3 \Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}} \Nà 1,6 \Nmathrm{s} \Nt.
Essayons maintenant un autre exemple.
Un ballon de football, initialement au repos, est mis en rotation et après \N2,4 \Nmathrm{s} \Nest en rotation avec une vitesse angulaire de \N4,5 \Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}}. \NCalcule l'accélération angulaire du ballon. Si le rayon est égal à \N( 0,7\N,\Nmathrm{m}, \N), calcule le couple exercé sur le ballon. Note qu'un ballon de football est considéré comme une fine coquille sphérique avec une formule d'inertie rotative correspondante de \( I=\frac{2}{3}mr^2. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N).
Solution
D'après le problème, on nous donne
- la vitesse angulaire initiale et finale
- temps
Nous pouvons donc appliquer notre équation, \(\omega = \omega_0 + \alpha t\), pour résoudre la première partie de ce problème. Tout d'abord, nous devons réarranger notre équation pour résoudre l'accélération angulaire. \begin{align*} \omega &= \omega_0 + \alpha t \\N- \alpha t &= \omega - \omega_0 \N- \alpha &= \frac{\omega - \omega_0}{t} \Nend{align*} Nous pouvons maintenant insérer nos variables et résoudre comme suit : \begin{align*} \alpha &= \frac{\omega - \omega_0}{t} \\ &= \frac{4.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{2.4\,\mathrm{s}} \\ &= 1.9\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2} \Nend{align*} Pour la deuxième partie de ce problème, nous devons appliquer l'équation,\( \tau=I{alpha}.\r}) Tout d'abord, nous devons réécrire l'équation du couple en utilisant l'équation donnée pour le moment d'inertie, $$\begin{align}\tau&=\left(\frac{2}{3}mr^2\right)\alpha\end{align}$$ et maintenant, nous pouvons insérer nos valeurs. $$\begin{align}\tau&=\left(\frac{2}{3}mr^2\right)\alpha\\\tau&=\left(\frac{2}{3}(5\,\mathrm{kg})(0.7\,\mathrm{m})^2\right)1.9\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}\\\tau&=3.1\,\mathrm{N\,m}\\\end{align}$$
Dynamique de la rotation - Points clés
- La dynamique de rotation est l'étude du mouvement et des forces qui font tourner les objets autour d'un axe.
- Le mouvement de rotation est le mouvement circulaire d'objets autour d'un axe et il est décrit à l'aide de quatre variables principales : la vitesse angulaire, l'accélération angulaire, le déplacement angulaire et le temps.
- La cinématique de rotation étudie le mouvement de rotation sans analyser les forces qui agissent sur le système.
- Il existe trois équations de cinématique de rotation :
- L'équation de la vitesse angulaire \( \omega=\omega_{o} + \alpha{t}, \).
- L'équation du déplacement angulaire \( \Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2, \)
- L'équation de la vitesse angulaire au carré \N( \omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\Ntheta}.\N)
- Le couple est une quantité vectorielle qui quantifie l'effet de rotation d'une force appliquée à un objet.
- Nous pouvons calculer le couple à l'aide de trois formules différentes :
- \( \tau=\vec{r} \times \vec{F} \)
- \N( \Ntau=rF\Nsin\Ntheta\N)
- \N( \Ntau=I\Nalpha\N)
- Le moment d'inertie est la mesure de la résistance d'un objet à l'accélération angulaire.
- La formule d'inertie d'un objet peut être exprimée par \N( I=mr^2 \N) pour une masse ponctuelle et \N( I=\Nint{r^2}dm \N) pour un système de taille finie.
- L'équilibre rotationnel est défini comme un état dans lequel ni l'état de mouvement d'un système ni son état d'énergie interne ne changent en fonction du temps.
- L'équilibre rotationnel est atteint lorsque la somme de tous les toques d'un système est nulle.
- Le moment cinétique est une quantité vectorielle définie comme le produit de la vitesse angulaire et de l'inertie de rotation. Sa formule correspondante est \( L=I\oméga. \)
- L'impulsion angulaire est définie comme le produit du couple exercé sur un système pendant un intervalle de temps spécifique.
Références
- Fig. 1 - Diagramme du radian, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Diagramme des relations entre les variables cinématiques, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Diagramme de couple, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Appareil de dynamique de rotation, StudySmarter Originals
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