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Définition du déplacement angulaire
Qu'est-ce que le déplacement angulaire ? Commençons par une définition simple.
Dans un mouvement circulaire, le déplacement angulaire est défini comme le changement d'angle d'un corps par rapport à sa position angulaire initiale.
C'est tout à fait analogue à la façon dont le déplacement linéaire est défini comme la distance qu'un corps parcourt par rapport à sa position initiale. Le déplacement angulaire est une quantité vectorielle, c'est-à-dire qu'il a à la fois une magnitude et une direction.
Le choix de la direction pour le déplacement positif est simplement une convention. Il n'y a aucune raison physique qui explique pourquoi il en est ainsi.
Jette un coup d'œil à l'exemple ci-dessous. Il y a un cercle avec deux points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) marqués sur le graphique. Nous voulons calculer le déplacement angulaire lorsque nous nous déplaçons du point \(\mathrm{A}\) à \(\mathrm{B}\). Pour ce faire, il suffit de mesurer l'angle de chaque point par rapport à l'axe \(x\), comme indiqué sur la gauche. Comme tu peux le voir ci-dessous, le point \(\mathrm{A}\) est à \(20^{\circ}\) et le point \(\mathrm{B}\) à \(80^{\circ}\). Le déplacement angulaire est le suivant : [\Delta\theta=\theta_{B}-\theta_{A} = 80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}\].
Si un danseur fait un tour et une rotation complète pendant qu'il danse, l'angle subit sera de \(360^{\circ}\) ; on peut donc dire que le déplacement angulaire est de \(360^{\circ}\) alors que pour une demi-rotation, l'angle sera de \(180^{\circ}\).
Fig. 2 - Un danseur montrant un mouvement angulaire et définissant un déplacement angulaire.
Radians et degrés
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons utilisé l'unité des degrés \( (^\circ) \) pour calculer le déplacement angulaire. Cette unité t'est peut-être très familière, puisque tu l'as utilisée pour la plupart de tes calculs jusqu'à présent. Cependant, il existe une autre unité utilisée pour les angles et les déplacements angulaires, qui est souvent beaucoup plus simple et beaucoup plus élégante. Cette unité est le radian ((\mathrm{rad}\)).
Un radian est une unité de mesure angulaire telle qu'un angle d'un radian est sous-tendu par un secteur circulaire dont l'arc de cercle est égal à son rayon.
Cette définition peut sembler un peu verbeuse, alors décomposons-la. Prenons un cercle, nous pouvons tracer deux rayons distincts du centre du cercle à deux points quelconques de la circonférence. La section de la circonférence du cercle entre les deux points des rayons s'appelle un arc. Un angle d'un radian produit un arc d'une longueur égale au rayon du cercle. L'image ci-dessous illustre clairement cette idée.
Fig.3- Le radian est une unité plus appropriée pour le déplacement angulaire car il est intrinsèquement lié aux propriétés d'un cercle.
À l'aide de cette définition, nous pouvons calculer quelques conversions simples entre les degrés et les radians. Considérons un cercle de rayon \(r\), nous savons qu'il y a \( 360\ ; ^{\circ} \) dans un cercle. Nous savons également que la circonférence (longueur totale de l'arc) d'un cercle est de \N 2\pi r \N, ce qui signifie qu'une circonférence complète définit un angle de \N 2\N 2\pi\N;\Nmathrm{rad} \N. Ainsi, \N 360\N;^{\circ} \N degrés doivent être égaux à \N(2\pi\N) radians. De même, \(180\;^{\circ}=\pi \;\mathrm{rad}\). Nous pouvons convertir les degrés en angles à l'aide des équations pratiques suivantes.
| Degrés en radians | Radians en degrés |
| \(\theta_\mathrm{radians}=\frac{2\pi\;\mathrm{rad}}{360^\circ}\theta_\mathrm{degrees}\) | \(\theta_\mathrm{degrees}=\frac{360^\circ}{2\pi\;\mathrm{rad}}\theta_\mathrm{radians}\) |
Formule de déplacement angulaire
Les radians sont très utiles pour mesurer les déplacements angulaires, car ils nous permettent de faire le lien avec le déplacement linéaire par l'intermédiaire de la longueur d'arc. En fait, en mesurant le déplacement angulaire en radians, nous pouvons immédiatement dériver une formule pour le déplacement angulaire en termes de longueur d'arc de la distance parcourue.
\[\begin{aligned}\text{Angular displacement (radians)}&=\frac{\text{arc length (meters)}}{\text{radius of circular motion (meters)}\\\\NDelta\theta&=\frac{s}{r}\end{aligned}\]
Ici, la longueur de l'arc est la distance linéaire parcourue par l'objet pendant son mouvement circulaire, et le rayon du mouvement circulaire est la distance la plus courte entre l'objet et son axe de rotation.
Il est important de garder à l'esprit qu'un radian définit une mesure d'angle, mais qu'il s'agit d'une unité sans dimension ! Nous pouvons le voir dans la formule ci-dessus, car \N( s \N) et \N( r \N) ont les mêmes unités de longueur. Les unités s'annulent donc lors du calcul de leur quotient.
Fig. 4 - Secteur d'un cercle de rayon \(r\), de longueur d'arc \(s\) et d'angle \(\theta\).
Voyons comment cela s'applique dans un contexte réel.
Alice court sur une piste circulaire qui a un diamètre de \N(8\N,\Nmathrm{m}\N). Si elle fait le tour complet de la piste sur une distance de \(80\,\mathrm{m}\), quel est son déplacement angulaire ?
Solution :
D'après la question, la distance linéaire totale d'Alice est de \(80\,\mathrm{m}\) donc \(s=80\,\mathrm{m}\). Le diamètre de la piste est de \(d=8\N,\Nmathrm{m}\N), donc le rayon est de \(r=\frac{d}{2}=4\N,\Nmathrm{m}\N). En introduisant ceci dans l'équation du déplacement angulaire, on obtient ,
\[\Delta\theta=\frac{80\;\mathrm{m}}{4\;\mathrm{m}}=20\,\mathrm{rad}\]
Si nous voulons trouver le déplacement angulaire d'Alice par rapport à sa position initiale, nous voulons seulement tenir compte de la distance qu'elle a parcourue sur la piste plutôt que du nombre de tours qu'elle a effectués. Cela signifie que nous voulons trouver le reste de \N(20\N,\Nmathrm{rad}\N) après avoir divisé par un multiple entier de \N(2\pi\N). Pour cela, divise d'abord \(20\N,\Nmathrm{rad}\N) par \N(2\Npi\N).
\[\frac{20}{2\pi}=3.18\]
L'arrondi à 3, l'entier le plus proche, nous indique qu'Alice a fait trois tours complets. Le déplacement angulaire de ces trois tours est \N(3\cdot2\pi=6\pi\N,\mathrm{rad}\N). En déduisant cette valeur du déplacement angulaire total, on obtient le reste ou le déplacement angulaire d'Alice par rapport à sa position initiale. \[20\;\mathrm{rad}-6\pi\;\mathrm{rad}=1.15\;\mathrm{rad}\]
Relation entre le déplacement angulaire et le déplacement linéaire
Comme nous pouvons le voir dans la formule précédente, le déplacement angulaire et le déplacement linéaire sont étroitement liés.
\[\Delta\theta=\frac{s}{r}\]
En fait, ils sont directement proportionnels. Cela signifie que lorsque le déplacementangulaire augmente ou diminue, le déplacement linéaire fait de même. Cependant, la formule indique également que le déplacement angulaire est inversement proportionnel à la distance radiale par rapport à l'axe de rotation. Cela signifie que si deux objets tournent avec le même déplacement angulaire, celui qui tourne le plus loin de l'axe de rotation couvrira une plus grande distance linéaire que celui qui tourne le plus près. C'est ce que montre le graphique ci-dessous.
Fig.5 - Les deux segments forment le même angle \N(\Ntheta\N) mais comme \N(r_a\N) est plus petit que \N(r_b\N), \N(s_a\N) est plus petit que \N(s_b\N).
Il est important de se rappeler que l'équation du déplacement angulaire inclut la distance radiale. Deux objets peuvent parcourir la même distance linéaire mais avoir des déplacements angulaires très différents et vice versa.
Deux compas sont utilisés pour tracer des arcs de longueur \(20\,\mathrm{cm}\). Si le premier compas a un rayon de \(5.0\,\mathrm{cm}\) et le second un rayon de \(3.0\,\mathrm{cm}\), quel angle doit parcourir chaque compas ?
En utilisant la formule du déplacement angulaire (\Delta\theta=\frac{s}{r}\) nous avons,
\[\Delta\theta_1=\frac{20\,\mathrm{cm}}{5.0\;\mathrm{cm}}=4.0\;\mathrm{rad}\]
\[\Delta\theta_2=\frac{20\,\mathrm{cm}}{3.0\;\mathrm{cm}}=6.7\;\mathrm{rad}\]
Le second compas doit tourner sur \(2,7\\N;\Nmathrm{rad}) de plus pour dessiner la même longueur d'arc !
Graphique de déplacement angulaire
Tout comme pour le déplacement linéaire normal, nous pouvons utiliser les graphiques de mouvement pour trouver le déplacement angulaire d'objets se déplaçant de façon circulaire. En traçant un graphique de la position angulaire en fonction du temps d'un objet, nous pouvons trouver son déplacement angulaire entre deux moments spécifiques en calculant le changement vertical entre les points avec les coordonnées temporelles correspondantes.
Fig.6 - Trouver le déplacement angulaire d'un objet entre \(1\,\mathrm{s}\) et \(4\,\mathrm{s}\), StudySmarter Originals
Nous pouvons utiliser le graphique ci-dessus pour trouver la vitesse angulaire \N(\Noméga\N) de l'objet.
Lavitesse ang ulaire \(\oméga\) est le taux de changement du déplacement angulaire par rapport au temps.
Nous avons mesuré la vitesse angulaire en \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\).
Par conséquent, nous pouvons trouver la vitesse angulaire en calculant la pente du graphique.
La pente d'un graphique peut être calculée en utilisant
\[ \text{pente} = \frac{\text{Changement dans la direction verticale}}{\text{Changement dans la direction horizontale}} \]
Comme nous pouvons le voir dans le graphique ci-dessus, le déplacement angulaire entre \(1,\mathrm{s}\) et \(4,\mathrm{s}\) est \(\frac{3\pi}{2}\N- \mathrm{rad}\N). Ceci implique que la pente du graphique est \[\text{Gradient}=\omega=\frac{\frac{3\pi}{2}\;\mathrm{rad}}{4\;\mathrm{s} -1\;\mathrm{s}}=\frac{\pi}{2},\frac{\mathrm{rad}}{s}.\N°].
Ainsi, la vitesse angulaire de l'objet est \( \frac{\pi}{2}\\N- \frac{\mathrm{rad}}{s}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N}).
Exemple de déplacement angulaire
Plongeons-nous dans des exemples plus pratiques et orientés vers l'application.
Un objet se déplace à une vitesse linéaire constante de \(20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) autour d'un cercle de rayon \(4\,\mathrm{m}\). Quelle est l'ampleur de l'angle central en \N(3.5\N,\Nmathrm{s}\N) ?
Solution:
Nous disposons ici des quantités suivantes :
- temps \(t=3.5\,\mathrm{s}\)
- velocity \(v=20.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
- Rayon (r=4.0\N,\Nmathrm{m}\N)
Pour utiliser notre équation de déplacement angulaire, nous devons trouver la distance parcourue \(s\N). La définition de la vitesse nous apprend que
\[\begin{aligned}\text{distance} &=\text{velocity}\times\text{time}\ s &= vt\end{aligned}\]
En introduisant ceci dans notre formule pour le déplacement angulaire \(\Delta\theta=\frac{s}{r},\N), on obtient
\[\begin{aligned}\Delta\theta &=\frac{vt}{r}\\[8pt] \Delta\theta &=\frac{20.0\,\frac{\bcancel{\mathrm{m}}{\bcancel{\mathrm{s}}\cdot 3.5\,\bcancel{\mathrm{s}}}{4.0\,\bcancel{\mathrm{m}}}\\[8pt] \Delta\theta &=18\,\mathrm{rad}\end{aligned}.\]
Assure-toi que les unités du déplacement linéaire et du rayon sont les mêmes lorsque tu calcules le déplacement angulaire à partir de cette formule.
Déplacement angulaire de la Terre
Lorsque la Terre tourne avec un déplacement angulaire de \N(0,5\N,\Nmathrm{rad}\N), un point situé sur l'équateur parcourt un arc d'une longueur d'environ \N(3000\N,\Ntext{km}\N). Calcule le rayon de la Terre.
Solution :
Tout d'abord, réarrange la formule du déplacement angulaire pour isoler le rayon.\N-[r=\frac{s}{\Delta\theta}\N]
Ensuite, nous pouvons insérer les valeurs de la question et la simplifier pour trouver le rayon de la Terre.
\[r=\frac{s}{\Delta\theta}=\frac{3000\,\text{km}}{0.5\,\mathrm{rad}}=6000\,\text{km}\]
Note que la réponse est \N( 6000\\N,\Ntext{km} \N). Les radians semblent avoir disparu, mais rappelle-toi qu'un radian est une unité sans dimension.
Si la roue d'une voiture a un diamètre de \(3\N,\Nmathrm{m}\N) et effectue trois révolutions complètes toutes les \N(2\N,\Nmathrm{s}\N), quelle est la distance parcourue par la voiture à chaque seconde ?
Solution :
La première chose à noter est que la distance parcourue par la voiture sera l'arclength totale balayée par la roue en une seconde. La deuxième chose est de se rappeler que trois révolutions complètes correspondent à \(\Delta\theta=3\cdot2\pi,\mathrm{rad}=6\pi,\mathrm{rad}\).
Enfin, n'oublie pas que le rayon est la moitié du diamètre, donc \(r=\frac{3}{2}\\N- \Nmathrm{m}\N).
À l'aide de ces informations, nous pouvons trouver le déplacement linéaire \(s\N) en utilisant la formule qui relie le déplacement angulaire et la distance linéaire.
\[s=\Delta\theta r \]
Maintenant, introduis toutes les valeurs que nous avons et simplifions.
\[s=6\pi\,\mathrm{rad}\times\frac{3}{2}\,\mathrm{m}=9\,\mathrm{m}\]
Par conséquent, la voiture se déplace \N(9\N,\Nmathrm{m}\N) chaque seconde.
Déplacement angulaire - Principaux enseignements
- Dans un mouvement circulaire, le déplacement angulaire est défini comme le changement d'angle d'un corps par rapport à sa position angulaire initiale.
- Le déplacement angulaire peut être calculé à l'aide de la formule \(\Delta\theta=\theta_f-\theta_i\).
- Le radian est une unité utilisée pour mesurer le déplacement angulaire.
- Un radian est une unité de mesure angulaire définie par un secteur circulaire dont l'arc de cercle est égal à son rayon.
- On peut convertir les radians en degrés à l'aide de la formule suivante : \( \theta\,\mathrm{rad}=\frac{360\cdot\theta}{2\pi}^{\circ} \)
- Un déplacement angulaire \(\Delta\theta\) en radians est lié à un déplacement linéaire par la formule : \( \Delta\theta=\frac{s}{r} \) où \(r\) est la distance radiale de l'objet par rapport à son axe de rotation.
- Nous pouvons trouver le déplacement angulaire et la vitesse à l'aide d'un graphique de la position angulaire en fonction du temps. Le déplacement angulaire est égal à la variation verticale et la vitesse angulaire est égale à la pente du graphique.
Références
- Fig. 1 - Sinulog Mardi Gras Dancer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sinulog_Mardi_Gras_Dancer.jpg) by Herbertkikoy (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Herbertkikoy) is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en).
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