Définition du déplacement
Supposons qu'un objet change de position : il passe de la position \N(A\N) à la position \N(B\N).
Le déplacement de l'objet est le vecteur qui va de la position \(A\) à la position \(B\) : c'est la différence entre ces positions.
Si un objet part d'une position initiale, se déplace dans n'importe quelle direction, pendant n'importe quelle durée et de différentes manières, et se termine dans une position finale, on peut tracer une ligne entre la position initiale et la position finale. Si nous transformons cette ligne en une flèche pointant vers la position finale, nous aurons une représentation graphique du vecteur de déplacement.
Le déplacement est une quantité vectorielle. En tant que vecteur, le déplacement a à la fois une magnitude et une direction. La définition étant une différence de position, nous voyons que le déplacement a pour unité le mètre.
Ampleur du déplacement
Comme nous le savons, le déplacement est un vecteur. Cela signifie que nous avons à la fois une grandeur et une direction. Si nous enlevons le déplacement et ne gardons que la magnitude, nous aurons à la place la distance d'un point à un autre, transformant notre vecteur déplacement en distance scalaire.
La distance entre les positions \(A\) et \(B\) est la magnitude du déplacement entre ces deux positions.
Distance et déplacement
Comme tu le sais peut-être, une ligne directe entre une position de départ et une position finale n'est pas la seule façon de mesurer une longueur. Que se passe-t-il si la personne qui voyage entre ces points a emprunté un chemin moins direct ? Si tu mesures l'ensemble du trajet du point \(A\) au point \(B\), sans tenir compte de la direction, tu mesureras plutôt ladistance parcourue. La distance est un scalaire qui, contrairement à un vecteur, ne tient pas compte de la direction, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être négative. Par exemple, si une personne a voyagé vers la gauche pendant \(9\,\mathrm{ft}\), son déplacement sera \(-9\,\mathrm{ft}\) si nous choisissons la gauche comme direction négative. Cependant, la distance de cette personne par rapport à son point de départ serait \N(9\N,\Nmathrm{ft}\N), car la direction dans laquelle elle a voyagé n'a pas d'importance pour la distance. Une façon simple de comprendre cela est que si tu prenais ton déplacement et que tu jetais les informations sur la direction, il ne te resterait que des informations sur la distance.
Déplacement de population : dans ce contexte, la direction dans laquelle les gens se déplacent a de l'importance, et pas seulement la distance qui les sépare de leur point de départ, Wikimedia Commons Public Domain.
Qu'est-ce que la formule de déplacement ?
Comme indiqué précédemment, le déplacement est le vecteur qui va d'une position initiale \(x_\text{i}\) à une position finale \(x_\text{f}\). Par conséquent, l'équation pour calculer le déplacement \(\Delta x\) ressemble à ceci :
\[\Delta\vec{x}=\vec{x}_\text{f}-\vec{x}_\text{i}.\]
Il est important de savoir que lorsqu'il s'agit de déplacement, la valeur peut être négative selon la direction du déplacement. Si nous choisissons vers le haut pour être positif, alors le déplacement d'un parachutiste entre le saut et l'atterrissage est négatif. En revanche, si nous choisissons la direction vers le haut comme étant négative, alors son déplacement est positif ! Par ailleurs, la distance entre le saut et l'atterrissage sera positive dans les deux cas.
Exemples de déplacement
Voici quelques exemples qui te permettront de t'exercer à utiliser le déplacement pour résoudre des problèmes.
James déplace \(26\,\mathrm{ft}\) vers l'est à travers un stade de football, avant de déplacer \(7\,\mathrm{ft}\) vers l'ouest. Il se déplace ensuite de nouveau de \N(6\N,\Nmathrm{ft}\Nà l'ouest, avant de retourner de \N(15\N,\Nmathrm{ft}\Nà l'est). Quel est le déplacement de Jacques après avoir effectué le trajet décrit ? Quelle est la distance qui le sépare de sa position initiale ?
Tout d'abord, nous décidons pour nous-mêmes de faire de l'est la direction positive. James se déplace de \(26\,\mathrm{ft}\) vers l'est, donc après cette étape, le déplacement de James est de \(26\,\mathrm{ft}\) vers l'est. Ensuite, il se déplace de \N(7\N,\Nmathrm{ft}\Nà l'ouest, ce qui équivaut à \N(-7\N,\Nmathrm{ft}\Nà l'est). Cela signifie que nous soustrayons \N(7\N) de \N(26\N), ce qui nous donne un déplacement total de \N(19\N,\Nmathrm{ft}\N) vers l'est maintenant. Ensuite, James déplace encore 6 millions à l'ouest, ce qui nous donne un déplacement de 19 millions à l'est. Enfin, James se déplace de 15 cm vers l'est, ce qui donne un déplacementtotal de 28 cm vers l'est.
La distance entre sa position finale et sa position initiale est \N(28\N,\Nmathrm{ft}\N).
Sofia marche vers le nord en remontant la rue pendant \N(50\N,\Nmathrm{ft}\N). Elle parcourt ensuite \N(20\N,\Nmathrm{ft}\N) vers l'ouest en traversant la rue, puis \N(25\N,\Nmathrm{ft}\N) vers le nord. Quel sera son déplacement bidimensionnel lorsqu'elle sera arrivée à destination ?
Comme il s'agit d'un calcul de déplacement bidimensionnel, nous choisissons les directions est et nord comme étant positives. Nous considérons que Sofia part d'un déplacement de \((0,0)\,\rmathrm{ft}\) vers l'est et le nord, respectivement. Tout d'abord, elle se déplace vers le nord pendant \N(50\N,\Nmathrm{ft}\N), et comme le déplacement nord-sud passe en dernier dans nos coordonnées, nous appelons son déplacement après ce mouvement \N((0,50)\N,\Nmathrm{ft}\N). Ensuite, \(20\,\mathrm{ft}\) ouest nous donne une valeur négative sur notre déplacement est-ouest, ce qui rend le déplacement total égal à \((-20,50)\,\mathrm{ft}\). Enfin, elle déplace \N(25\N,\Nmathrm{ft}\N) vers le nord. En ajoutant cela à notre déplacement nord-sud, nous obtenons notre déplacement final de \N((-20,75)\N,\Nmathrm{ft}\N) dans nos coordonnées. Pour répondre à la question, nous ramenons nos coordonnées à la réalité et nous concluons que le déplacement de Sofia est de \(75\N,\Nmathrm{ft}\N) au nord et de \N(20\N,\Nmathrm{ft}\N) à l'ouest.
La distance entre son point de départ et sa destination peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore.
Un exemple de la façon dont le déplacement peut se présenter dans la vie réelle. Un pâté de maisons a des chemins rigoureux et spécifiques à parcourir, ce qui signifie que la distance que tu parcours peut inclure le fait de serpenter à travers ces rues. Le déplacement entre deux points, cependant, sera toujours une ligne droite dirigée d'un point à l'autre point, Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0.
Vecteur de déplacement
Nous avons examiné le déplacement et nous savons qu'il s'agit d'un vecteur, ce qui signifie que le déplacement a à la fois une magnitude et une direction lorsque nous le décrivons. Le vecteur que nous appelons déplacement peut être donné en une, deux ou trois dimensions. Nous avons déjà étudié le déplacement en deux dimensions, mais que se passerait-il si nous en ajoutions une troisième ? Nous vivons notre vie dans un espace tridimensionnel, il est donc important de savoir comment le déplacement est utilisé en trois dimensions.
En trois dimensions, un vecteur est représenté dans une matrice comme suit : \N(\Ncommencer{pmatrix}i\Nj\N k\Nfin{pmatrix}\N). Ici, \(i\) représente le déplacement dans la direction \(x\), \(j\) représente le déplacement dans la direction \(y\), et \(k\) représente le déplacement dans la direction \(z\).
Pour ce qui est de l'addition et de la soustraction dans les vecteurs, c'est assez simple. Il te suffit de prendre les valeurs \(i\), \(j\) et \(k\) d'un vecteur et de les ajouter ou de les soustraire des valeurs correspondantes de l'autre vecteur. Ceci est utile pour les déplacements, car le déplacement entre deux positions est égal à la différence entre ces positions.
Tu as clairement besoin d'un déplacement avec une composante verticale pour atteindre le sommet de cette montagne, Wikimedia Commons Public Domain.
Supposons que tu aies escaladé le point le plus élevé des États-Unis, Denali, et que tu veuilles connaître ton déplacement entre le début de l'ascension (aux coordonnées \((62.966284,\,-151.156684)\N et l'altitude \N(7500\N,\Nmathrm{ft}\N)) et le sommet (aux coordonnées \N((63.069042,\N,-151.006347)\N,\Ntext{deg}\N et l'altitude \N(20310\N,\Nmathrm{ft}\N)). Ce que tu fais, c'est calculer la différence entre ces deux vecteurs pour obtenir le vecteur de déplacement \(\Delta\vec{x}\) :
\[\Delta\vec{x}=\begin{pmatrix}63.069042\,\mathrm{deg} - 62.966284\,\mathrm{deg} \\ -151.006347\,\mathrm{deg}+151.156684\,\mathrm{deg} \\ 20310\,\mathrm{ft}-7500\,\mathrm{ft}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0.102758\,\mathrm{deg} \N- 0.150337\N- \N- \N- \NMathrm{deg} \N- 12810\N- \N- \NMathrm{ft} \NFin{pmatrix}.\N]
Bien sûr, il est pratique de convertir cela en mètres, et nous obtenons
\[\Delta\vec{x}=\begin{pmatrix} 11,5 \N- 7,6 \N- 3,9 \N- fin{pmatrix}\N-,\Nmathrm{km}.\N]
Nous avons maintenant le déplacement sous forme de vecteur, nous pouvons donc le décomposer et conclure que ton déplacement était de \N(11,5\N,\Nmathrm{km}\N) vers le nord, \N(7,6\N,\Nmathrm{km}\N) vers l'est, et \N(3,9\N,\Nmathrm{km}\N) vers le haut.
Nous pouvons calculer la distance totale \(d\) entre ton point de départ et le sommet du Denali comme suit :
\[d=\sqrt{\Delta x_1^2 +\Delta x_2^2 +\Delta x_3^2}=\sqrt{\N 11,5\Nmathrm{km})^2+\N 7,6\Nmathrm{km})^2+\N3,9\Nmathrm{km})^2}=\N14,3\Nmathrm{km}.\]
Déplacement - Points clés
Le déplacement est un vecteur décrivant la différence entre une position de départ et une position d'arrivée.
La formule du déplacement est \(\Delta\vec{x}=\vec{x}_\text{f}-\vec{x}_\text{i}\).
La distance est la longueur, ou l'ampleur, du vecteur de déplacement.
Le déplacement et la distance se distinguent par le fait qu'ils sont respectivement un vecteur et un scalaire.
La distance ne peut pas être négative.
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