Cet article présente les concepts de couple et de mouvement de rotation. Avant de passer en revue quelques exemples, nous définirons le couple et le mouvement de rotation et nous verrons comment ils sont liés l'un à l'autre et au moment angulaire.
Quelles sont les définitions et les descriptions du couple et du mouvement de rotation ?
Nous allons examiner ci-dessous quelques définitions et descriptions applicables au couple et au mouvement de rotation.
Couple
La définition du couple est la suivante :
Le symbole \(\tau\) représente le couple, qui est la quantité de force appliquée à un objet qui le fera tourner autour d'un axe.
La formule mathématique du couple est la suivante :
$$ \tau = r F \sin{\theta} $$
où \(r\) représente le rayon mesuré en mètres, \(\mathrm{m}\), \(F\) représente la force mesurée en newtons, \(\mathrm{N}\), et \(\theta\) représente le déplacement angulaire. L'unité SI du couple est le newton-mètre, \(\mathrm{N}\,\mathrm{m}\).
Comme le couple est un vecteur, il a une magnitude et une direction, sa direction pouvant être soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La quantité de couple appliquée à un objet dépend toujours de deux facteurs :
- La quantité de force appliquée.
- La distance perpendiculaire à l'axe de rotation
Mouvement de rotation
Dans le mouvement de rotation, les composantes de la vitesse, de l'accélération et du déplacement ont la même forme que leurs équivalents linéaires ; cependant, nous les définissons en termes de variables associées au mouvement de rotation.
Lemouvement de rotation est un type de mouvement associé à des objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire. La force qui fait que ces objets se déplacent sur une trajectoire circulaire est connue sous le nom de couple.
Les formules de la vitesse angulaire, de l'accélération angulaire et du déplacement angulaire sont présentées ci-dessous :
Vitesse angulaire, \(\omega\)
$$ \omega=\frac{\theta}{t} $$
où la vitesse angulaire est mesurée en radians par seconde, \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\).
La dérivée donne l'équation $$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$, qui est la définition de la vitesse instantanée.
Accélération angulaire, \(\alpha\)
$$ \alpha=\frac{\omega}{t} $$
où l'accélération angulaire est mesurée en radians par seconde au carré, \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}\).
La dérivée donne l'équation $$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$, qui est la définition de l'accélération instantanée.
Déplacement angulaire, \(\theta\)
$$ \theta = \omega t $$$
où nous mesurons le déplacement angulaire en radians, \(\mathrm{rad}\).
Relation entre le couple et le mouvement de rotation et la formule du couple de rotation
Dans un mouvement linéaire, nous savons que les objets se déplacent sous l'effet d'une force. Cependant, la force qui fait bouger les objets dans un mouvement de rotation est connue sous le nom de couple. Par conséquent, nous pouvons écrire l'équation du couple sous la même forme que la deuxième loi de Newton, \(F=ma\), et nous présentons la formule du couple ci-dessous :
$$ \tau = I\alpha $$
où \(I\) est le moment d'inertie et \(\alpha\) l'accélération angulaire.
Le moment angulaire peut-il être lié au couple de rotation ?
En plus de résoudre des problèmes avec l'équation du couple de rotation, nous pouvons également l'utiliser pour déterminer la relation entre les variables simplement en réarrangeant les termes. Par exemple, si on te demande quelle est la relation entre l'accélération angulaire et le couple, tu peux réarranger cette équation pour résoudre l'accélération angulaire et obtenir ce qui suit :
$$ \alpha = \frac{\tau}{I} $$
Par conséquent, nous pouvons déterminer que l'accélération angulaire est proportionnelle au couple et inversement proportionnelle au moment d'inertie. Maintenant, nous pouvons aller plus loin en réécrivant les variables en termes d'autres variables. Par exemple, si nous savons que l'accélération angulaire est égale à \(\alpha = \frac{\omega}{t}\) et que nous l'insérons dans l'équation du couple, nous obtiendrons ce qui suit :
$$ \tau = I \frac{\omega}{t} = \frac{I \omega}{t} $$
Par conséquent, nous pouvons voir un autre terme reconnaissable associé au mouvement de rotation. Le terme \(I\omega\) représente le moment angulaire. Par conséquent, nous pouvons réécrire l'équation du couple en termes de moment angulaire comme suit :
$$ \tau = \frac{L}{t} $$
Par conséquent, sans faire de calculs mathématiques, nous pouvons déterminer les différentes relations entre les variables associées au mouvement de rotation.
Le couple appliqué à la vie quotidienne
Les gens démontrent le concept de couple presque tous les jours de leur vie et ne le savent peut-être même pas. Chaque fois que nous ouvrons une porte, nous utilisons le concept de couple en faisant tourner la porte sur ses gonds. D'après la formule du couple, telle que définie ci-dessus, nous savons que le couple est directement lié au rayon et à la force. En utilisant ces connaissances, nous pouvons comprendre pourquoi nous plaçons les poignées de porte au point le plus éloigné des charnières de la porte. Disons qu'il faut un couple de \N100 pour ouvrir une porte et que la distance entre les charnières et la poignée est de \N2. Nous pouvons donc conclure qu'il faut une force de \(50\N,\Nmathrm{N}\N) pour ouvrir la porte. Maintenant, si nous déplaçons la poignée au centre de la porte, le rayon devient \N(1\N,\Nmathrm{m}\N), et nous devrions alors appliquer une force de \N(100\N,\Nmathrm{N}\N) pour ouvrir la porte. Ce changement montre pourquoi le rayon est important pour le couple et pourquoi les poignées de porte sont situées au point le plus éloigné des charnières. Les poignées de porte situées au point le plus éloigné permettent d'obtenir un rayon maximal, ce qui nous permet d'ouvrir les portes avec facilité car nous pouvons appliquer moins de force. Les poignées de porte situées au centre d'une porte rendraient l'ouverture des portes plus difficile, car un rayon plus petit signifie que nous devons utiliser plus de force pour ouvrir la porte.
Problèmes liés au couple et au mouvement de rotation
Pour résoudre les problèmes de couple et de mouvement de rotation, l'équation du couple peut être appliquée à différents problèmes. Comme nous avons défini le couple et discuté de sa relation avec le mouvement de rotation, examinons quelques exemples pour mieux comprendre l'énergie mécanique totale. Note qu'avant de résoudre un problème, nous devons toujours nous rappeler ces étapes simples :
- Lis le problème et identifie toutes les variables données dans le problème.
- Détermine ce que le problème demande et quelles formules s'appliquent.
- Applique les formules nécessaires pour résoudre le problème.
- Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.
À l'aide de ces étapes, voyons maintenant quelques exemples.
Exemple 1
Un plombier utilise une clé de \N(2,5\N,\Nmathrm{m}\N) pour desserrer un boulon. S'il applique une force de \(65\,\mathrm{N}\), calcule le couple nécessaire pour desserrer le boulon.
Un exemple de clé dynamométrique. Adapté de Cdang, Wikimedia Commons, GFDL
Après avoir lu le problème, on nous demande de calculer le couple nécessaire pour desserrer un boulon et on nous donne le rayon de la clé ainsi que la quantité de force appliquée. Par conséquent, en utilisant la formule du couple, nos calculs sont les suivants :
$$ \begin{aligned} \tau &= rF\sin{\theta} \tau &= \left(2,\mathrm{m}\rright)\left(65,\mathrm{N}\right)\sin{90} \\ \tau &= 130\,\mathrm{N}\,\mathrm{m} \end{aligned} $$
Le couple nécessaire pour faire tourner la clé et desserrer le boulon est \N (130,\Mathrm{N}\N,\Mathrm{m}\N).
Note que le plombier applique une force perpendiculaire à la clé, créant ainsi un angle de \(90^{\circ}\).Exemple 2
Un objet, dont le moment d'inertie est de \(45\N,\Nmathrm{kg}/\Nmathrm{m}^2\N), tourne avec une accélération angulaire de \N(3\N,\Nmathrm{rad}/\Nmathrm{s}^2\N). Calcule le couple nécessaire pour que cet objet tourne autour d'un axe.
Un exemple d'objet tournant avec un couple, StudySmarter Originals
Après avoir lu le problème, on nous demande de calculer le couple nécessaire pour qu'un objet tourne autour d'un axe et on nous donne l'accélération angulaire et le moment d'inertie de l'objet. Par conséquent, en utilisant la formule du couple, nos calculs sont les suivants :
$$ \begin{aligned} \tau &= I\alpha \tau &= \left( 45\Nmathrm{kg}/\Nmathrm{m}^2 \Nright) \left( 3\Nmathrm{rad}/\Nmathrm{s}^2 \Nright) \tau &= 135\Nmathrm{N}\Nmathrm{m}\N \Nright) \end{aligned} $$
Le couple nécessaire pour faire tourner l'objet autour d'un axe est \N(135,\Mathrm{N}\N,\Mathrm{m}\N).
Couple et mouvement de rotation - Points clés à retenir
- Le couple est la force nécessaire pour qu'un objet tourne autour d'un axe.
- Le mouvement de rotation est le mouvement des objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire.
- Le mouvement de rotation est associé à la vitesse angulaire, \(\Nomega\N), à l'accélération angulaire, \N(\Nalpha\N), et au déplacement angulaire, \N(\Ntheta\N).
- Nous écrivons la formule du couple en fonction du rayon et de la force, \(\tau = r F \sin{\theta}\), et de l'accélération angulaire et du moment d'inertie, \(\tau = I\alpha\).
- Le couple se produit dans notre vie quotidienne lorsque nous ouvrons des portes.
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