Coordonnées négligeables

Définition des coordonnées ignorables

Considérons un système avec un lagrangien \(\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)\), où \(q\) représente les coordonnées généralisées et \(\dot{q}\) leurs dérivées temporelles. Si une coordonnée \(q_j\) n'apparaît pas explicitement dans le lagrangien, c'est-à-dire que \(\mathcal{L}\) est indépendante de \(q_j\), on l'appelle une coordonnée ignorable. Cela apparaît dans l'équation d'Euler-Lagrange comme une quantité conservée.

L'équation d'Euler-Lagrange :

Étant donné l'équation d'Euler-Lagrange : \(\frac{d}{dt}\gauche(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j}\droite) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j}\), pour un \(q_j\) ignorable, le côté droit est zéro. Cela implique que \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j}\right) = 0\), ce qui signifie que la quantité est conservée.

Importance des coordonnées ignorables

Voici quelques points clés à comprendre :

• Les coordonnées ignorables permettent à un physicien de simplifier la description d'un système.
• Leur présence conduit généralement à des lois de conservation, qui sont fondamentales en physique.
• Elles jouent un rôle important dans des domaines tels que la relativité générale et la mécanique quantique.

Il convient de noter que si le terme "ignorable" peut suggérer que ces coordonnées ne sont pas importantes, c'est le contraire qui est vrai. Le fait de reconnaître qu'une coordonnée est ignorable peut simplifier considérablement la résolution des systèmes physiques et la compréhension des lois inhérentes qui les régissent.

Les coordonnées ignorables et l'intégrale du mouvement

Il est fascinant de voir comment le concept de coordonnées ignorables en physique s'aligne sur l'attribut de l'intégrale du mouvement. L'intégrale du mouvement fait référence aux quantités physiques qui restent constantes dans le temps lorsqu'un système évolue. Ces quantités sont liées aux coordonnées ignorables conformément au théorème de Noether, ce qui ouvre un champ d'exploration passionnant en physique mécaniste.

Comprendre l'intégrale du mouvement

La physique consiste à étudier le monde qui t'entoure, et l'un des concepts que tu dois aborder est l'intégrale du mouvement. Dans l'étude des systèmes dynamiques en physique, une intégrale de mouvement est une fonction des positions et des moments des composants du système qui reste constante lorsque le système évolue.

Considérons un système régi par les équations du mouvement de Hamilton : \(\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}\) et \(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\), où \(H\) est l'hamiltonien du système. Si une fonction \(f(q, p, t)\Nsatisfait \N(\frac{df}{dt} = 0\N), elle est considérée comme une intégrale du mouvement du système. Souvent, ces intégrales correspondent aux quantités conservées du système sous certaines opérations de symétrie.

L'intégrale du mouvement est un concept crucial dans l'intégration et la résolution des systèmes hamiltoniens, et elle fournit également des indications précieuses sur la structure et les propriétés des systèmes dynamiques. Voici quelques exemples d'intégrales de mouvement :

• L'élan linéaire, qui reste constant dans un système non affecté par des forces extérieures.
• La quantité de mouvement angulaire, conservée dans un système ne subissant aucun couple extérieur.
• L'énergie totale ou le hamiltonien, conservés si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps.

Lien entre les coordonnées ignorables et l'intégrale du mouvement

Il existe un lien profond entre les coordonnées ignorables et les intégrales de mouvement par l'intermédiaire du théorème de Noether. Ce théorème stipule que pour chaque symétrie dans l'action du système, il existe une loi de conservation correspondante. Et comme le prouve le théorème de Noether, chaque fois qu'il y a une coordonnée ignorable, il y a une intégrale de mouvement.

Pour comprendre cela, considérons un système dont le lagrangien est invariant sous une transformation \( q' = q_j + \delta \), où \( \delta \) est une petite constante, alors par le théorème de Noether la quantité de mouvement conjuguée \(\frac {\partial L} {\partial \dot{q}_j} \) est conservée. Maintenant, cette quantité de mouvement conjuguée peut être reconnue comme l'intégrale du mouvement d'un système.

Exemples pratiques de coordonnées ignorables Intégrale du mouvement

Les notions théoriques sont toujours mieux comprises à l'aide d'exemples pratiques. Considérons donc le mouvement d'une particule dans un champ de force central. Ici, l'énergie potentielle de la particule ne dépend que de la distance radiale par rapport au centre. Les coordonnées angulaires, \(\theta\) et \(\phi\), sont ignorables car elles n'apparaissent pas dans l'énergie potentielle, et donc dans le Lagrangien du système.

Conformément au théorème de Noether, les moments conjugués correspondant à ces coordonnées ignorables seront des intégrales de mouvement. Ils représentent le moment angulaire de la particule par rapport au centre. Par conséquent, nous concluons que le moment angulaire est conservé dans le mouvement de la force centrale, ce qui est un résultat central de la mécanique céleste.

Un autre exemple concerne le pendule simple qui oscille dans le plan vertical. Le lagrangien ne dépend pas de l'angle azimutal \(\phi\) autour de l'axe vertical. Ce \(\phi\) est une coordonnée ignorable, conduisant à une intégrale de mouvement correspondante - la composante du moment angulaire autour de l'axe vertical. Ce résultat nous indique que le plan d'oscillation est immuable, ce qui correspond à notre intuition physique. Telles sont les manifestations pratiques et la signification des coordonnées ignorables conduisant à des intégrales de mouvement.

Utilisation des coordonnées ignorables en mécanique classique

Le concept de coordonnées ignorables trouve une application étendue dans le domaine de la mécanique classique. Elles jouent un rôle important dans la compréhension et la résolution des problèmes décrits par les formulations hamiltonienne et lagrangienne de la mécanique. Grâce aux coordonnées ignorables, nous trouvons souvent des quantités conservées, ce qui facilite considérablement la résolution des problèmes de physique. Nous examinerons ci-dessous les concepts hamiltonien et lagrangien des coordonnées ignorables et leur utilité pratique en mécanique classique.

Concept hamiltonien de coordonnées ignorables

La mécanique hamiltonienne, avec son élégante structure mathématique, permet une compréhension particulièrement détaillée des coordonnées ignorables. Salué comme l'une des formulations les plus sophistiquées de la mécanique classique, le hamiltonien représente l'énergie totale d'un système physique, englobant à la fois les composantes d'énergie cinétique et d'énergie potentielle.

Pour clarifier, dans un système décrit par un hamiltonien \( H(q, p, t) \), où \( q \) représente les coordonnées généralisées et \( p \) les moments conjugués, une coordonnée ignorable se réfère à une variable qui n'apparaît pas explicitement dans l'hamiltonien. En outre, l'hamiltonien fournit un ensemble d'équations différentielles du premier ordre (équations de Hamilton) décrivant l'évolution temporelle du système.

Dans le cas où une coordonnée \( q_j \) n'apparaît pas dans l'hamiltonien (c'est-à-dire que \( H \) est indépendante de \( q_j \)), connue sous le nom de coordonnée ignorable ou cyclique, elle conduit à la conservation de la quantité de mouvement conjuguée correspondante \( p_j \). Cela se déduit des équations de Hamilton, \N( \dot{p}_j = - \frac{\partial H}{\partial q_j} = 0 \N), ce qui implique que \N( p_j \N) est conservée.

Explication du lagrangien à coordonnées ignorables

La fonction lagrangienne représente la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, ce qui permet d'évaluer la dynamique d'un système physique. Une coordonnée ignorable, dans ce contexte, signifie une coordonnée qui n'apparaît pas explicitement dans le lagrangien (également appelée coordonnée cyclique ou conservée).

Pour expliquer plus techniquement, en mécanique lagrangienne, lorsque nous travaillons avec un lagrangien \( \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \) - où \( q \) sont des coordonnées généralisées et \( \dot{q} \) leurs dérivées temporelles - une coordonnée ignorable \( q_j \) implique \( \frac{\partiel \mathcal{L}}{\partiel q_j} = 0 \). Cela signifie que l'impulsion canonique correspondante \( p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} \) est conservée en raison de l'équation d'Euler-Lagrange, qui régit les équations du mouvement dans l'image lagrangienne.

L'aspect pratique des coordonnées ignorables du modèle hamiltonien

Les coordonnées ignorables du modèle hamiltonien jouent un rôle essentiel dans la clarification des énigmes de la mécanique classique. Grâce à elles, tu peux explorer les lois de conservation, qui font partie intégrante de la physique et qui simplifient grandement l'étude des systèmes complexes.

Lorsque le hamiltonien du système ne dépend pas explicitement de certaines variables, il implique automatiquement que les moments conjugués à ces coordonnées sont des constantes du mouvement. Cette caractéristique simplifie les tâches à accomplir, qu'il s'agisse de trouver des solutions aux équations de Hamilton ou de transformer le système en un système de coordonnées plus simple dans lequel ces moments conservés deviennent des coordonnées ignorables.

L'aspect pratique du lagrangien à coordonnées ignorables

Les coordonnées ignorables dans l'approche lagrangienne servent d'outil indispensable pour décrypter les systèmes mécaniques classiques. La capacité à identifier ces coordonnées qui n'apparaissent pas dans le lagrangien te permet de démêler les lois de conservation sous-jacentes. Cela aide grandement à simplifier les équations, ce qui permet de trouver plus facilement des solutions analytiques.

Exemples de coordonnées ignorables

Il ne fait aucun doute que les concepts abstraits s'imprègnent de leur véritable essence lorsqu'ils sont associés à des exemples appropriés. Pour donner une image plus large et plus claire, examinons en détail quelques exemples notables de coordonnées ignorables, à la fois dans des situations du monde réel et dans des contextes de physique mathématique.

Exemples de coordonnées ignorables dans le monde réel

Un charme vivifiant de l'apprentissage de la physique réside dans la corrélation entre les constructions théoriques et les phénomènes du monde réel. Dans cette veine, les coordonnées ignorables peuvent être identifiées dans des circonstances quotidiennes, reflétant leur rôle inhérent dans la description du mouvement et de la dynamique.

L'un des domaines les plus intuitifs où tu peux observer le jeu des coordonnées ignorables est la mécanique céleste. Cette branche de la physique fournit la quintessence de l'illustration du mouvement de la force centrale - une planète en orbite autour d'une étoile sous l'effet de la gravitation. Ici, l'énergie potentielle de la planète est stimulée uniquement par la distance radiale par rapport à l'étoile et abandonne les coordonnées angulaires.

Cela signifie que les coordonnées représentant l'azimut et les angles polaires, généralement appelées \( \theta \) et \( \phi \), s'avèrent ignorables. Grâce au théorème de Noether, cela conduit à un résultat crucial : la conservation du moment angulaire de la planète autour de l'étoile. En mécanique céleste, ces deux coordonnées angulaires sont donc des exemples remarquables de coordonnées ignorables.

Prenons un autre exemple quotidien avec un simple pendule conique - une boule attachée à une ficelle et se balançant sur une trajectoire circulaire dans un plan vertical. Ici, les énergies cinétique et potentielle, et donc le lagrangien du système, dépendent uniquement de la distance radiale par rapport à l'axe vertical et de l'angle polaire. Cependant, elles ne dépendent pas de l'angle azimutal qui indique la position de la balle le long de la trajectoire circulaire.

Par conséquent, cet angle azimutal \( \phi \) sert de coordonnée ignorable pour ce système dynamique. En conséquence, tu remarqueras l'apparition d'une intégrale du mouvement - la composante du moment angulaire autour de l'axe vertical. Cela signifie essentiellement que le mouvement planaire global du pendule reste préservé, ce qui confirme notre observation du monde réel.

Coordonnées ignorables dans les exemples de physique mathématique

Les élégantes reformulations de la mécanique classique - la mécanique hamiltonienne et lagrangienne - offrent un riche catalogue d'exemples de coordonnées ignorables. L'étude de ces exemples mathématiques permet souvent de renforcer notre intuition en matière de physique et notre capacité à résoudre les problèmes.

Tout d'abord, choisissons un problème physique archétypique - l'oscillateur harmonique, modélisé par un système ressort-masse. Lorsqu'on l'examine sous l'angle de la mécanique hamiltonienne à travers les coordonnées de la position \(q\N) et de la quantité de mouvement \N(p\N), il apparaît que l'hamiltonien \N(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2\N) incorpore ces deux variables. Il n'y a donc pas de coordonnées ignorables dans ce cas simple.

Un scénario contrasté est présenté dans un autre cheval de bataille de la physique - l'oscillateur harmonique isotrope bidimensionnel. Ici, une particule se déplace dans un potentiel harmonique qui conserve la même fréquence \(\omega\) dans les deux directions \(x\) et \(y\). Mais ce qui est intrigant, c'est que si nous choisissons les coordonnées polaires \(r\N) et \N(\Ntheta\N) pour représenter le système, l'hamiltonien, \N(H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 r^2\), n'implique pas \( \theta \), ce qui en fait une coordonnée ignorable.

Cela simplifie non seulement notre travail mais nous guide également vers une conclusion importante - la conservation de \(p_\theta\), comprise comme le moment angulaire de la particule autour de l'origine. Par conséquent, nous définissons la trajectoire intégrale de la particule comme un cercle centré sur l'origine, conformément à notre anticipation mathématique.

Un contexte distinctif comportant des coordonnées ignorables apparaît en mécanique ondulatoire, provisoirement avec l'équation d'onde pour la lumière se propageant dans un milieu homogène. Ici, l'équation d'onde pour le champ électrique \( E(x, y, z, t) \) est alimentée par la fréquence \( \omega \) et le vecteur d'onde \( \mathbf{k} = k_x \mathbf{i} + k_y \mathbf{j} + k_z \mathbf{k} \). Dans un milieu où l'indice de réfraction est indépendant de la fréquence, l'équation d'onde devient ignorante vers \( \omega \), ce qui en fait une coordonnée ignorable. Ce scénario implique par conséquent la conservation de l'énergie, une règle primordiale suivie par la propagation de la lumière.