Conservation du Moment Angulaire

Loi de conservation du moment angulaire

Pour comprendre la loi de conservation du moment angulaire, nous devons comprendre :

• vitesse angulaire
• l'inertie de rotation
• le moment angulaire
• le couple.

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est la vitesse de rotation d'un objet. Elle est mesurée en radians par seconde, \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \). On peut trouver la vitesse angulaire en utilisant :

• la vitesse d'un mouvement linéaire, dont l'unité est le mètre par seconde, \( \mathrm{\frac{m}{s}} \)
• le rayon de l'objet tournant autour d'un axe, dont les unités sont les secondes, \( \mathrm{s} \)

Ce qui nous donne

$$\oméga= \frac{v}{r}$$$

Les radians sont sans dimension ; ils représentent le rapport entre la longueur d'un arc de cercle et le rayon de ce cercle. Ainsi, les unités de vitesse angulaire s'annulent pour donner \( \frac{1}{s} \).

Inertie de rotation

L'inertie de rotation est la résistance d'un objet aux changements de vitesse angulaire. Un objet ayant une forte inertie de rotation est plus difficile à faire tourner qu'un objet ayant une faible inertie de rotation. L'inertie de rotation dépend de la façon dont nous répartissons la masse d'un objet ou d'un système. Si nous avons un objet avec une masse ponctuelle, \(m\), à une distance, \(r\), du centre de rotation, l'inertie de rotation est \( I=mr^2 \). L'inertie de rotation d'un objet augmente lorsqu'il s'éloigne du centre de rotation. L'inertie de rotation a une unité de \( \mathrm{kg\,m^2} \).

Moment angulaire

Lemoment ang ulaire est le produit de la vitesse angulaire, \( \oméga \), et de l'inertie de rotation, \( I \). Nous écrivons le moment angulaire comme \N( L=I\omega \N).

Le moment angulaire a une unité de \( \mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}} \).Avant d'attribuer un moment angulaire à une particule, nous devons définir une origine ou un point de référence.

Le couple

Nous représentons le couple par la lettre grecque \( \tau \).

If we have a distance, \( r \), from a pivot point to where force, \( F \) is applied, the magnitude of torque is \( \tau= rF\sin\theta. \N- Une autre façon d'exprimer le couple est en termes de bras de levier perpendiculaire, \N- r_{\perp} \N- où \N- r_{\perp} = r\sin\theta. \N- Cela donne le couple comme \N- \N- \Ntau=r_{\perp}F \N- \N-. Le couple a une unité de \( \mathrm{N\N,m} \N) où \( 1\N,\mathrm{N\N,m}=1\N,\mathrm{\Nfrac{kg\N,m}{s^2}}. \N)

Couple externe net et conservation du moment angulaire

Le couple externe net s'exprime comme la variation du moment angulaire sur la variation du temps. Nous l'écrivons sous la forme $$\tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}}.$$ Si le couple externe net agissant sur un système est nul, le moment angulaire reste constant dans le temps pour un système fermé/isolé. Cela signifie que la variation du moment angulaire est nulle, soit

$$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0$$

Une autre façon d'exprimer cela serait de considérer deux événements dans un système. Appelons le moment angulaire du premier événement, \N( L_1 \N), et le moment angulaire du second événement, \N( L_2 \N). Si le couple externe net agissant sur ce système est nul, alors

$$L_1=L_2$$

Note que nous définissons le moment angulaire en termes de moment d'inertie avec la formule suivante :

$$L = I\oméga.$$

En utilisant cette définition, nous pouvons maintenant écrire

$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}.$$

Dans certains cas, la conservation du moment angulaire se fait sur un axe et pas sur un autre. Disons que le couple externe net sur un axe est nul. La composante du moment angulaire du système le long de cet axe particulier ne changera pas. Cela s'applique même si d'autres changements ont lieu dans le système.

Il y a d'autres choses à noter :

• Le moment angulaire est analogue au moment linéaire. La quantité de mouvement linéaire a une équation de \( p=mv \).

• La conservation du moment angulaire est également analogue à la conservation de la quantité de mouvement. La conservation de la quantité de mouvement linéaire est l'équation \N( p_1=p_2 \N) ou \N( m_1v_1=m_2v_2. \N)

• L'équation \( \tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}} \) est la forme rotationnelle de la deuxième loi de Newton.

Définir la conservation du moment angulaire

En termes simples, la conservation de la quantité de mouvement signifie que la quantité de mouvement avant est égale à la quantité de mouvement après. Plus formellement ,

Formule de conservation du moment angulaire

La formule \( {I_1}\oméga_1={I_2}\oméga_2 \) correspond à la définition de la conservation du moment angulaire.

Conservation du moment angulaire dans les collisions inélastiques

Une collision inélastique est une collision caractérisée par la perte d'une partie de l'énergie cinétique. Cette perte est due à la conversion d'une partie de l'énergie cinétique en d'autres formes d'énergie. Si la plus grande quantité d'énergie cinétique est perdue, c'est-à-dire que les objets entrent en collision et se collent l'un à l'autre, on parle de collision parfaitement inélastique. Malgré la perte d'énergie, la quantité de mouvement est conservée dans ces systèmes. Cependant, les équations que nous utilisons tout au long de l'article sont légèrement modifiées lorsque nous discutons de la conservation du moment angulaire pour les collisions parfaitement inélastiques. La formule devient

$$ {I_1}\oméga_1 + {I_2}\oméga_2= (I_1 +I_2)\oméga$$$

en raison des objets qui se heurtent et se collent l'un à l'autre. Par conséquent, nous considérons maintenant les deux objets individuels comme un seul objet.

Exemples de conservation du moment angulaire

On peut utiliser les équations correspondantes pour résoudre des problèmes impliquant la conservation du moment angulaire. Comme nous avons défini le moment angulaire et discuté de la conservation du moment angulaire, travaillons sur quelques exemples pour mieux comprendre le moment angulaire. Note qu'avant de résoudre un problème, nous ne devons jamais oublier ces étapes simples :

1. Lis le problème et identifie toutes les variables données dans le problème.
2. Détermine ce que le problème demande et quelles formules sont nécessaires.
3. Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.
4. Applique les formules nécessaires et résous le problème.

Exemples

Appliquons les équations de conservation du moment angulaire à quelques exemples.