Fig. 1 - Une balle aura toujours la même vitesse lorsqu'elle roule en bas d'une colline d'une certaine hauteur.
Mais que se passerait-il si une balle se trouvait au milieu de la trajectoire et était heurtée par une autre ? Pour ce cas, nous devons tenir compte de la conservation de l'énergie et de l'élan. Explorons ces deux concepts dans les détails modernes et apprenons à les connaître en examinant quelques exemples quotidiens.
Loi sur la conservation de l'énergie
En physique, nous concentrons notre attention sur un système. Il existe différents types de systèmes, mais l'un d'entre eux est plus particulièrement un système isolé.
Un système isolé est un système dans lequel aucune énergie ou matière ne peut entrer ou sortir.
Dans un système isolé, la quantité totale d'énergie est toujours la même. C'est ce qu'on appelle la loi de la conservation de l'énergie.
La loi de la conservation del'énergie stipule que l'énergie est toujours conservée dans un système isolé.
Par conséquent, l'énergie n'est convertie qu'entre différentes formes. Un gain d'un type d'énergie doit se traduire par une perte égale d'un autre type d'énergie, de sorte que le total est toujours le même.
Les différentes formes d'énergie relèvent de l'une des deux catégories suivantes : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Ainsi, l'énergie totale d'un système ou d'un objet est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.
L'énergie cinétique
L'énergie cinétique est associée au mouvement.
L'énergie ciné tique d'un objet est l'énergie qu'il possède en vertu de son mouvement.
Nous devons transférer de l'énergie à un objet pour qu'il se mette en mouvement. Par exemple, lorsque tu fais du vélo, les muscles de tes jambes font un travail pour avancer, et toi et le vélo gagnez de l'énergie cinétique à mesure que vous avancez plus vite.
Fig. 2 - Un cycliste fait travailler ses jambes pour avancer et gagner de l'énergie cinétique.
Il existe différents types d'énergie cinétique, comme l'énergie thermique, sonore et électrique.
L'énergie potentielle
L'énergie potentielle est associée à la disposition d'un système.
L'énergie potentielle d'un système est l'énergie stockée en lui du fait de sa configuration.
Un objet dans un champ gravitationnel possède une énergie potentielle gravitationnelle en fonction de sa position relative par rapport à la source du champ gravitationnel. Par exemple, lorsque nous soulevons un objet, il gagne de l'énergie potentielle gravitationnelle parce que sa distance par rapport à la source du champ gravitationnel (la Terre) augmente. De même, un objet situé dans un champ électrique possède de l'énergie potentielle électrique.
L'énergie chimique et l'énergie potentielle élastique sont d'autres formes d'énergie potentielle.
Prends l'exemple d'une balle qui tombe sur le sol. Lorsque tu tiens la balle, elle a un maximum d'énergie potentielle gravitationnelle mais pas d'énergie cinétique parce qu'elle ne bouge pas. Après l'avoir lâchée, la balle commence à tomber en perdant de l'énergie potentielle mais en gagnant de la vitesse, et donc de l'énergie cinétique. L'énergie potentielle devient nulle lorsque la balle atteint le sol, mais l'énergie cinétique atteint sa valeur maximale. La quantité initiale d'énergie potentielle est devenue de l'énergie cinétique, mais la quantité totale d'énergie est restée la même !
Fig. 3 - La variation de l'énergie potentielle gravitationnelle de la balle qui tombe est égale à l'augmentation de son énergie cinétique.
Mais qu'en est-il lorsqu'il atteint le sol et qu'il reste là ? Il n'a plus d'énergie cinétique, mais son énergie potentielle a également disparu ! Il semble que de l'énergie ait été perdue. Cependant, la Terre et la balle forment un système isolé, donc cela ne peut pas être vrai. Où est passée l'énergie ?
Il y a plusieurs possibilités. Tu as probablement entendu un bruit sourd lorsque la balle a touché le sol, une partie de l'énergie s'est donc transformée en ondes sonores. L'impact a dû provoquer des vibrations dans le sol, ce qui a également consommé de l'énergie. De plus, il y a un frottement non négligeable avec la surface de contact. Une partie de notre énergie cinétique s'est sûrement transformée en chaleur, ou peut-être que la balle s'est déformée en utilisant une partie de l'énergie. Nous nous retrouvons avec ce qui semble être une perte d'énergie, mais notre énergie a simplement été transformée sous d'autres formes !
Loi de la conservation de l'élan
L'élan linéaire d'un objet est une quantité qui dépend de sa masse et de sa vitesse.
$$\vec p=m\vec v$$$
Dans l'équation ci-dessus, \( m \N) est la masse de l'objet en \N( \Nmathrm{kg} \N) et \N( \Nvec v \N) est sa vitesse en \N( \Nmathrm m/\Nmathrm s \N). L'unité de la quantité de mouvement, \( \mathrm{\vec p}\) est \( \mathrm{kg\N,m}/\mathrm s \N). Le momentum et la vitesse sont tous deux des vecteurs, leur direction doit donc être prise en compte. Le vecteur de la quantité de mouvement d'un objet en mouvement pointe dans la même direction que sa vitesse.
Une quantité vectorielle a une magnitude et une direction.
Une particule ayant une masse de \( 2\;\mathrm{kg} \) se déplace à une vitesse de \( 20\;\mathrm m/\mathrm s \) le long de l'axe \( x \r) dans la direction négative. Quel est l'élan de la particule ?
Nous pouvons utiliser l'équation de la quantité de mouvement linéaire présentée ci-dessus.
$$\vec p=m\vec v.$$
Comme nous devons trouver l'élan le long de l'axe \Nx et que la particule se déplace dans la direction négative \Nx, nous pouvons ajouter un signe moins à la vitesse pour représenter la direction de la vitesse :
$$\vec v=-20\;\mathrm m/\mathrm s.$$
La quantité de mouvement peut alors être calculée comme suit
$$2\times-20=-40\;\mathrm{kgm}/\mathrm s.$$
Par conséquent, l'élan de la particule est \N( 40\N;\Nmathrm{kg\N,m}/\Nmathrm s.$$) dans la direction négative.
Comme pour l'énergie, il existe même une loi de conservation de la quantité de mouvement !
Laloi de conservation de la quantité de mouvement stipule que la quantité de mouvement est toujours conservée lorsqu'aucune force extérieure n'agit sur le système.
Les forcesexternes sont des forces qui agissent sur un objet ou un système à partir de son environnement.
Considère un système composé de deux objets qui entrent en collision. Cette loi implique que l'élan total des deux objets avant leur collision est égal à l'élan total après la collision puisqu'il n'y a pas de forces externes agissant sur le système.
Considérons le système de la balle et du pistolet. Avant que la balle ne soit tirée, l'élan est nul. Par conséquent, l'élan du pistolet doit être égal mais opposé à l'élan de la balle, de sorte que l'élan total est également nul. C'est pourquoi le pistolet recule.
Fig. 4 - L'élan d'un pistolet tiré dû au recul équilibre l'élan de la balle.
Conditions de conservation de la quantité de mouvement
La seule condition pour la conservation de l'élan d'un système est qu'aucune force extérieure n'agisse sur lui. Toutefois, cela ne signifie pas que toutes les forces sont interdites. L'élan est toujours conservé si des forces internes agissent.
Les forcesinternes sont des forces qui prennent naissance à l'intérieur d'un système.
Les forces internes ne peuvent pas modifier l'élan d'un système car elles s'annulent toujours l'une l'autre.
Formules de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement
Nous pouvons représenter la loi de la conservation de l'énergie par l'équation suivante :
$$E_{\mathrm i}=E_{\mathrm f},$$
où \( E_{\mathrm i} \) est l'énergie initiale du système et \( E_{\mathrm f} \) est l'énergie finale.
Rappelle-toi que l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique (KE) et de l'énergie potentielle (PE) du système. Voyons comment calculer chacune d'entre elles.
$$\begn{aligne}KE &= \frac12mv^2\\ PE_{text{gravitonal}}&=mgh$$
où \( m \N) est la masse de l'objet en \N( \Nmathrm{kg} \N) et \N( v \N) est sa vitesse en \N( \Nmathrm m/\Nmathrm s \N), \N( g \N) est l'accélération due à la gravité de la Terre, \N(9.8 \mathrm{m/s^2}\), et \( h \rm) est la hauteur de l'objet en mètres (\( \mathrm{m} \rm))).
Considérons à nouveau notre balle. Quelle est la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol si nous la laissons tomber d'une hauteur \( \mathrm H \) ? Cette question peut être résolue en utilisant la conservation de l'énergie. Toute l'énergie potentielle gravitationnelle est convertie en énergie cinétique au moment où elle atteint le sol. Cela signifie que nous pouvons mettre les deux équations ci-dessus à égalité :
$$\frac12mv^2=mg\mathrm H.$$
Les masses de part et d'autre de l'expression s'annulent et nous pouvons alors résoudre la vitesse
$$v=\sqrt{2g\mathrm H}.$$
De même, la loi de conservation de la quantité de mouvement peut être représentée par la formule :
$$\vec{p_{\mathrm i}}=\vec{p_{\mathrm f}},$$.
Comme nous l'avons vu plus haut, la quantité de mouvement est une quantité vectorielle, tu dois donc faire attention à la direction du mouvement de l'objet lorsque tu calcules sa quantité de mouvement.
Différence entre la conservation de l'énergie et la conservation de la quantité de mouvement
Les deux principes de conservation sont très similaires, mais ils présentent une différence importante. L'énergie est une quantité scalaire ; elle a une valeur numérique et n'a pas de direction. En revanche, la quantité de mouvement est une quantité vectorielle et a donc une direction. En général, nous utilisons le système de coordonnées avec les axes \N( x \N), \N( y \N) et \N( z \N). La quantité de mouvement d'un objet peut être calculée le long de chaque axe et elle sera conservée dans chaque direction, indépendamment.
Fig. 6 - Le vecteur vitesse (et donc le vecteur quantité de mouvement) peut être divisé en composantes dans trois directions perpendiculaires.
Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans les collisions
Les lois de la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement sont utiles lorsqu'il s'agit de collisions. Alors que la quantité de mouvement est toujours conservée dans les collisions (tant qu'il n'y a pas de forces extérieures !), l'énergie peut être gaspillée dans certains types de collisions.
Collisions élastiques
Les collisions élastiques n'entraînent aucune perte d'énergie. Toute l'énergie est cinétique.
Lescollisions élastiques sont celles dans lesquelles l'énergie cinétique est conservée.
Les collisions de boules de billard peuvent être considérées comme des collisions élastiques dans une bonne mesure - seule une petite partie de l'énergie cinétique est perdue.
Fig. 7 - L'énergie cinétique est conservée dans les collisions de boules de billard.
Les équations générales pour les vitesses finales des particules entrant en collision élastique peuvent être trouvées à partir des équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique. Considérons une collision élastique entre la particule \N( 1 \N) avec une masse \N( m_1 \N) et la particule \N( 2 \N) avec une masse \N( m_2 \N). Elles entrent en collision le long d'une ligne droite - elles ne changent pas de direction. La particule 1 a une vitesse initiale de 1 et une vitesse finale de 1. La particule \N( 2 \N) a une vitesse initiale de \N( u_2 \N) et une vitesse finale de \N( v_2 \N). Cela signifie que nous pouvons écrire l'équation de conservation de la quantité de mouvement comme suit
$$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2.$$
La collision étant élastique, l'énergie cinétique avant et après la collision est la même.
$$m_1u_1^2+m_2u_2^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2.$$
L'équation de la conservation de la quantité de mouvement pour deux particules est la suivante
$$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,$$
qui peut être réarrangée comme suit
$$m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2).$$
Soit l'équation A. L'équation de conservation de l'énergie cinétique est la suivante
$$m_1u_1^2+m_2u_2^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2,$$
ce qui peut être réarrangé pour$m_1(u_1^2-v_1^2)=m_2(v_2^2-u_2^2).$$Cette expression peut être factorisée pour obtenir$$m_1(u_1+v_1)(u_1-v_1)=m_2(v_2+u_2)(v_2-u_2).$$Soit l'équation B. Nous pouvons maintenant diviser l'équation B par l'équation A, ce qui donne$u_1+v_1=v_2+u_2$$et donc$$v_2=u_1+v_1-u_2.$$L'expression précédente de \( v_2 \N) peut être substituée à l'équation de conservation de la quantité de mouvement pour trouver \N( v_1 \N) :$$\begin{aligned}m_1u_1^2+m_2u_2^2 &=m_1v_1^2+m_2v_2^2\\[6pt] m_1u_1+m_2u_2 &=m_1v_1+m_2v_1+m_2u_1-m_2u_2\\[6pt] (m_1+m_2)v_1 &=(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2\\[6pt]v_1 &=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2} \Nend{aligned}$$Remarquez que nous aurions pu tout aussi bien nommer la particule \N( 1 \N) que la particule \N( 2 \N). Cela signifie que nous pouvons intervertir tous les indices pour trouver \Nv_2 \N !$$v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}$$.Une particule de masse \( 2\;\mathrm kg \r) se déplaçant à une vitesse de \( 2\;\mathrm m/\mathrm s \r) entre en collision frontale avec une autre particule de masse \( 1\;\mathrm kg \r) se déplaçant dans la même direction à une vitesse de \( 1\;\mathrm m/\mathrm s \r). Quelle est la vitesse finale de chaque particule ?
Nous pouvons utiliser les équations dérivées ci-dessus pour cette question. Soit la particule \( 1 \;\mathrm{kg} \) la particule \( 1 \) et la particule \( 2 \;\mathrm{kg} \) la particule \( 2 \rm{kg} \rm). La vitesse finale de la particule \N( 1 \N) est donnée par
$$v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}.$$
La question donne les masses et la vitesse initiale, on peut donc les substituer à l'équation de \( v_1 \) pour trouver sa valeur sous la forme suivante
$$v_1=\frac{((1\;\mathrm{kg}\;-\;2\;\mathrm{kg})\times1\;\mathrm m/\mathrm s)+(2\times2\;\mathrm{kg}\times2\;\mathrm m/\mathrm s)}{1\;\mathrm{kg}+2\;\mathrm{kg}}=\frac{-1\;\mathrm{kg\,m}/\mathrm s+8\mathrm{kg\,m}/\mathrm s}{3\;\mathrm{kg}}=\frac{7\;\mathrm{kg\,m}/\mathrm s}{3\;\mathrm{kg}}=2.3;\mathrm m/\mathrm s.$$
L'équation de la vitesse finale de la particule \N( 2 \N) est la suivante
$$v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.$$
Nous disposons à nouveau de toutes les quantités nécessaires pour calculer la valeur de \( v_2 \), qui est
$$v_2=\frac{(2\times1\;\mathrm{kg}\times1\;\mathrm m/\mathrm s)+((2\;\mathrm{kg}-1\;\mathrm{kg})\times2\;\mathrm m/\mathrm s)}{1\;\mathrm{kg}+2\;\mathrm{kg}}=\frac{2\;\mathrm{kgm}/\mathrm s+2\;\mathrm{kgm}/\mathrm s}{3\;\mathrm{kg}}=\frac43\mathrm m/\mathrm s=1.3\;\mathrm m/\mathrm s.$$
Collisions inélastiques
Toutes les collisions inélastiques entraînent une perte d'énergie cinétique. Cependant, c'est lors des collisions complètement inélastiques que la perte d'énergie cinétique est la plus importante, lorsque les objets se collent l'un à l'autre après la collision.
Une collision complètement inélastique est une collision pour laquelle la quantité maximale d'énergie cinétique perdue se produit.
Une balle qui s'arrête complètement lorsqu'elle est tirée sur un bloc de bois est un exemple de collision complètement inélastique.
Considérons une collision complètement inélastique entre deux particules, avec la même notation que précédemment. Cependant, cette fois-ci, les particules restent collées l'une à l'autre après la collision, de sorte qu'elles ont la même vitesse finale \( V \). L'équation de la conservation de la quantité de mouvement dans ce cas devient
$$m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)V.$$
Et nous pouvons résoudre la vitesse finale des particules :
$$V=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}.$$
Une voiture d'une masse de 1000 kg, roulant à une vitesse de 20 m, entre en collision frontale avec un camion d'une masse de 10000 kg, roulant à une vitesse de 10 m, dans la même direction. Les deux véhicules se collent l'un à l'autre après la collision. Quelle est leur vitesse finale ?
Les deux véhicules restent collés l'un à l'autre après la collision, ils ont donc la même vitesse finale, qui peut être calculée à partir de l'équation suivante
$$V=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}.$$
On nous donne toutes les valeurs nécessaires dans la question, ce qui nous permet de trouver la vitesse comme suit
$$\frac{(1000.0\;\mathrm{kg}\fois20.0\;\mathrm m/\mathrm s)+(10000.0\;\mathrm{kg}\fois10.0\;\mathrm m/\mathrm s)}{11000.0\;\mathrm{kg}}=10.9;\mathrm m/\mathrm s.$$$
Le pendule balistique
Un pendule balistique est un dispositif utilisé pour mesurer la vitesse d'un projectile en utilisant la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. Le projectile est tiré dans un grand bloc de bois suspendu par deux cordes, ce qui fait osciller le bloc avec le mouvement d'un pendule. Des repères angulaires suivent la trajectoire de l'oscillation du bloc, ce qui permet de calculer la hauteur de l'oscillation.
Fig. 8 - Un pendule balistique doit être soigneusement installé pour mesurer la vitesse correcte d'une balle.
Supposons qu'une balle de masse \( m \N) atteigne le bloc à une vitesse \( u \N) (c'est ce que nous voulons trouver) et que le bloc de bois ait une masse \( M \N). La balle s'arrête complètement à l'intérieur du bloc, la collision est donc complètement inélastique. Nous pouvons utiliser l'équation dérivée ci-dessus pour la vitesse finale de deux objets après une collision complètement inélastique :
$$V=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}.$$
Soit la vitesse de la balle et du bloc après la collision est \( v \) de sorte que cette équation donne
$$v=\frac{mu}{m+M}$$$.
Après l'impact, le bloc et la balle possèdent ensemble de l'énergie cinétique.
$$\begin{aligned}KE&=\frac12mv^2\\[8pt] KE&=\frac12(m+M){\left(\frac{mu}{m+M}\right)}^2\\[8pt]KE&=\frac12\frac{m^2u^2}{m+M}\end{aligned}$$
Lorsqu'ils commencent à s'élever, cette énergie cinétique est convertie en énergie potentielle gravitationnelle. Une fois que le bloc est à la fin de son mouvement de pendule, à son point le plus haut, \( h \N), toute l'énergie cinétique initiale aura été convertie en énergie potentielle gravitationnelle.
$$PE_{\text{gravitationnel}}=(m+M)gh,$$$
L'énergie potentielle peut être mise en équation avec l'énergie cinétique initiale du bloc et de la balle pour trouver la vitesse de la balle !
$$\begin{aligned}KE&=PE\\[8pt]\frac12\frac{m^2u^2}{m+M} &=(m+M)gh\\[8pt]u^2&=\frac{2{(m+M)}^2gh} {m^2}\\[8pt] u&=\frac{(m+M)}m\sqrt{2gh}\end{aligned}$$
Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement - Principaux points à retenir
- La loi de la conservation de l'énergie stipule que l'énergie est toujours conservée dans un système isolé.
- L'énergie est une quantité scalaire.
- Un système isolé est un système dans lequel aucune énergie ou matière ne peut entrer ou sortir.
- La quantité de mouvement linéaire d'un objet est une quantité vectorielle définie par \( \vec p=m\vec v \).
- Puisque la quantité de mouvement est un vecteur, elle a une direction et une magnitude.
- La loi de conservation de la quantité de mouvement linéaire stipule que la quantité de mouvement linéaire est toujours conservée lorsqu'aucune force extérieure n'agit.
- Les différentes composantes de la quantité de mouvement sont conservées indépendamment les unes des autres.
- L'énergie cinétique est conservée dans les collisions élastiques.
- La quantité maximale d'énergie cinétique est perdue dans les collisions complètement inélastiques et se caractérise par le fait que les objets se déplacent ensemble comme un seul être après la collision.
Références
- Fig. 1 - une balle aura toujours la même vitesse lorsqu'elle dévalera une colline d'une certaine hauteur (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Zorb_02.jpg/1280px-Zorb_02.jpg) par Harry Malsch (https://www.flickr.com/people/12229484@N02) est sous licence CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)
- Fig. 4 - l'élan d'une arme à feu dû au recul équilibre l'élan de la balle OGL v1.0OGL v1.0 (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Firing_a_Sig_Sauer_P226_Handgun_MOD_45156988.jpg/1365px-Firing_a_Sig_Sauer_P226_Handgun_MOD_45156988.jpg) par SAC Daniel Herrick est sous licence CC BY 2.0 (https://nationalarchives.gov.uk/doc/open-government-licence/version/1/)
- Fig. 6 - Le vecteur vitesse (et donc le vecteur quantité de mouvement) peut être divisé en composantes le long de trois directions perpendiculaires (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Velocity-vector-3D-and-components.svg/1831px-Velocity-vector-3D-and-components.svg.png) par MikeRun (https://commons.m.wikimedia.org/w/index.php?title=User:MikeRun&redlink=1) est sous licence CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
- Fig. 8 - "Pendule balistique" (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Ballistic_pendulum.jpg/1280px-Ballistic_pendulum.jpg) de Steven Keys (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Steevven1) sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)
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