Fig. 1 - Les tuyaux sont un exemple concret de système fermé qui utilise la conservation de l'énergie pour déplacer les fluides.
De nos jours, tout système qui repose sur le déplacement de fluides, qu'il s'agisse d'eau, de gaz ou de pétrole, fait appel à la mécanique des fluides et à la loi de la conservation de l'énergie. Le principe de Bernoulli décrit la mécanique des fluides idéaux, c'est donc un bon point de départ pour comprendre la nature complexe des fluides en mouvement. Comme les tuyaux de diamètres et d'élévations alternés transportent des fluides de densités différentes, il est important de se rappeler que l'énergie et la masse totales de ce système fermé resteront constantes. Dans cet article, nous allons dériver l'expression de la conservation de l'énergie dans les fluides, et établir une meilleure compréhension de la nature des fluides en mouvement !
La loi de la conservation de l'énergie dans les fluides
La loi de la conservation de l'énergie est l'une des lois fondamentales de la physique, qui explique la nature de l'énergie.
Laloi de conservation de l'énergie stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement convertie d'un type d'énergie en un autre.
En d'autres termes, l'énergie totale d'un système isolé reste constante. Le même principe s'applique à la mécanique des fluides. La conservation de l'énergie dans les fluides idéaux est décrite par le principe de Bern oulli.
Le principe de Bernoulli stipule que la pression exercée par un fluide en mouvement est inversement proportionnelle à sa vitesse dans un écoulement horizontal.
Bernoulli a prouvé que l'énergie mécanique totale d'un liquide ou d'un gaz en mouvement reste inchangée en tout point d'une ligne de courant , en supposant que le fluide en question est incompressible et que sa viscosité est nulle.
Dérivation de la conservation de l'énergie dans les fluides
Dérivons l'équation de Bernoulli, qui est simplement la forme mathématique plus générique du principe de Bernoulli ! Pour ce faire, imagine un système de tuyaux avec deux sections différentes à deux hauteurs différentes, comme le montre la figure 2 ci-dessous.
Fig. 2 - Un système de tuyaux utilisé pour dériver l'équation de la conservation de l'énergie dans les fluides.
Le théorème travail-énergie stipule que le travail effectué (W) est égal à la somme de la variation de l'énergie cinétique (K) et de la variation de l'énergie potentielle (U). Mathématiquement, on peut l'exprimer comme suit
$$\Delta W = \Delta K + \Delta U,$$
où le signe du travail dépend de la direction de la force par rapport au déplacement, c'est-à-dire qu'il est positif lorsqu'il pointe dans la même direction que le flux, et négatif lorsqu'il s'y oppose. À partir du diagramme ci-dessus, nous pouvons déterminer les signes respectifs et obtenir
$$W_1-W_2 = K_2-K_1+U_2-U_1,$$$
ce qui peut être réarrangé en
$$W_1 + U_1 + K_1 = W_2 + U_2 + K_2.$$
Les équations des énergies cinétique et potentielle sont les mêmes que d'habitude :
\begin{align} K&=\frac{1}{2}mv \\\NU&=mgh\Nend{align}
où \(m\) est la masse, \(v\) est la vitesse, \(g\) est l'accélération due à la gravité, et \(h\) est la hauteur (dans notre cas, la hauteur est représentée par \(y\)). Le travail effectué dans ce cas peut être représenté par une force \(F\) exercée sur une distance \(x\). Nous savons que
$$ P=\frac{F}{A},$$
le travail peut donc être exprimé comme suit
$$ W = Fx = PAx.$$
Toutes ces équations peuvent être insérées dans la relation travail-énergie pour chaque région respective du tuyau :
$$ P_1A_1x_1+mgy_1+\frac{1}{2}mv_1^2=P_2A_2x_2+mgy_2+ \frac{1}{2}mv_2^2.$$
Nous pouvons utiliser
$$ \rho=\frac{m}{V}$$$ pour réexprimer la masse en termes de masse.
pour réexprimer la masse en termes de densité \(\rho\) et de volume \(V\). En outre, nous pouvons réécrire le produit de la surface de la section transversale \(A\) et de la distance \(x\) en tant que volume, en considérant que le volume d'un cylindre est de
$$V_\text{cylindre}=\pi r^2 \ell = A_\text{base}\ell.$$
Tout ceci conduit à l'annulation des termes de volume
$$ P_1\bcancel{V}+\rho \bcancel{V} gy_1+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_1^2=P_2\bcancel{V}+ \rho \bcancel{V} gy_2+\frac{1}{2}\rho \bcancel{V} v_2^2$$.
et révèle la version finale de l'équation de Bernoulli :
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Conservation de l'énergie dans les fluides
Maintenant que nous avons dérivé l'équation nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie dans les fluides, nous pouvons expliquer la signification réelle de chaque terme.
Une autre façon d'exprimer l'équation de Bernoulli est la suivante
$$ P + \rho g y + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constante}.$$
Ici, nous pouvons clairement identifier les trois composantes qui contribuent à l'énergie totale d'un système, qui reste inchangée le long de la ligne de courant. Le premier terme est simplement la pression statique du fluide. Le deuxième terme représente la pression hydrostatique exercée par le fluide en raison de la gravité, et le dernier terme tient compte de la pression dynamique.
Relation entre la conservation de la masse et la conservation de l'énergie dans les fluides
Jusqu'à présent, nous avons établi que l'énergie d'un fluide idéal à l'intérieur d'un système fermé est conservée. Le même principe s'applique à la masse du fluide qui s'écoule et peut être expliqué à l'aide de la loi de conservation de la masse.
La loi de conservation de la masse stipule que dans un système fermé, la matière ne peut être ni créée ni détruite, elle peut seulement changer de forme.
Cette loi peut être appliquée à un système de tuyaux de différents diamètres, pour obtenir l'équation de continuité . Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit
$$ A_1v_1 = A_2v_2, $$$
où \(A_1\) et \(A_2\) sont les sections transversales du tuyau en deux endroits différents, correspondant à la vitesse du fluide en ce point. Un diagramme visualisant cette relation est visible sur la figure 3.
En d'autres termes, cela signifie que pour un tuyau ayant deux sections différentes, le fluide aura une plus grande vitesse dans la section étroite, et une plus petite vitesse dans la section plus large.
Très souvent, les deux lois de conservation doivent être appliquées à un système pour qu'il puisse être résolu. Par exemple, si nous connaissons la section transversale d'un tuyau, nous pouvons calculer la vitesse du fluide, qui peut ensuite être utilisée pour calculer le terme d'énergie cinétique dans l'équation de Bernoulli. Un exemple de problème démontrant cela est résolu dans la section suivante.
Exemples de conservation de l'énergie dans les fluides
Voyons un exemple de problème impliquant la conservation de l'énergie et de la masse dans les fluides !
Le pétrole brut est généralement transféré dans des tuyaux. Ainsi, un tuyau incurvé dans lequel circule du pétrole du point \N(1\N) au point \N(2\N), comme le montre la figure 4 ci-dessous, a une section transversale de \N(4,00\Nfois10^{-2}\N,\Nmathrm{m^2}\Net \N(3,00\Nfois10^{-3}\N, \Nmathrm{m^2}\Nrespectivement .La différence de hauteur entre les deux points est égale à \N(3,50\N,\Nmathrm{m}\N). La pression exercée par l'huile au point \N(1\N) est égale à \N(160\N, \Nmathrm{MPa}\N) avec une vitesse de \N(1,85\N, \Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}\N).
Fig. 4 - Configuration de la tuyauterie pour le problème de la conservation de l'énergie.
Calcule la pression du pétrole au point \(2\), si la densité du pétrole brut est \(800 \, \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \). La différence de pression entre les deux points est-elle importante dans cette situation ?
Réponse :
Tout d'abord, nous devons calculer la vitesse de l'huile au point \(2\). Cela peut être fait en réarrangeant l'équation de continuité
$$ v_2= \frac{A_1v_1}{A_2} $$
et en introduisant les valeurs que nous avons données
\begin{align} v_2& = \frac{(4.00\times10^{-2}\,\mathrm{m^2})(1.85 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}})}{(3.00\times10^{-3} \mathrm{m^2})} \\N- v_2& = 24,7 \N, \Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}. \Nend{align}
Maintenant, nous pouvons utiliser l'équation de Bernoulli pour trouver la pression au point \(2\) :
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
L'équation peut être réarrangée pour trouver \ (P_2\). Avant de brancher toutes nos valeurs en unités SI, nous devons décider de la ligne de référence pour l'élévation. Ici, il est logique de le faire à \(y_1\), car cela nous permettra de nous débarrasser du terme \(\rho g y_1\) comme suit :
\begin{align} P_2&= P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2} \rho v^2_1-\rho g y_2 - \frac{1}{2} \rho v^2_2 \rho P_2&= (1.60\contre 10^8 \mathrm{Pa})+\frac{1}{2}\contre 800 \rho, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}\contre 1.85, \frac{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}}\rright )^2\right)\N & \qquad- \left(800 \N, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\times9.8 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\times 3.50 \, \mathrm{m}\right)-\frac{1}{2}\left(800 \, \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\left( 24.7 \frac{\rmathrm{m}}}{\rmathrm{s}}\right )^2\right) \P_2&= 159,729 \rmathrm{Pa} \P_2&= 159,729 \rmathrm{Pa} \NP_2&= 1.60\Nfois10^8\N, \Nmathrm{Pa}. \Nend{align}
Sur la base de ce résultat, nous pouvons conclure que malgré les diamètres variables et la différence de hauteur, la pression dans les deux sections du tuyau est presque constante.
Conservation de l'énergie dans les fluides - Principaux enseignements
- La loi de conservation de l'énergie stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement convertie d'un type d'énergie en un autre.
- Le principe de Bernoulli stipule que la pression exercée par un fluide en mouvement est inversement proportionnelle à sa vitesse dans un écoulement horizontal.
- L'énergie mécanique totale d'un fluide en mouvement est inchangée en tout point d'uneligne de courant , en supposant que le fluide en question est incompressible et que sa viscosité est nulle .
- L'expression mathématique de la conservation de l'énergie dans les fluides est \(P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2\).
- La loi de conservation de la masse stipule que dans un système fermé, la matière ne peut être ni créée ni détruite, elle peut seulement changer de forme.
- Mathématiquement, la loi de conservation de la masse est représentée par l'équation de continuité \(A_1v_1 = A_2v_2 \).
Références
- Fig. 1 - Pipes (https://unsplash.com/photos/4CNNH2KEjhc) by Sigmund (https://unsplash.com/@sigmund) on Unsplash is licensed by Public Domain.
- Fig. 2 - Conservation de l'énergie des fluides dans un tuyau, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - L'équation de continuité appliquée à un système de tuyaux, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Conservation de l'énergie des fluides dans un exemple de tuyau, StudySmarter Originals.
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