En physique, l'objectif est d'unifier toutes les théories. C'est ce qui a été fait pour prédire le mouvement des objets macroscopiques. Comme nous l'avons vu précédemment, différentes théories et lois ont été combinées pour décrire comment les forces affectent la position, la vitesse et l'accélération d'un objet qui tourne ou se déplace en translation. Dans cet article, nous verrons comment relier les mouvements de translation et de rotation, car il existe des objets qui tournent et se déplacent linéairement en même temps.
Dans un article précédent, nous avons défini les équations permettant de déterminer la vitesse et l'accélération instantanées d'un objet à l'aide du calcul. Ces définitions ont un analogue rotatif. Le déplacement angulaire est l'angle de rotation d'un point d'un système rigide autour d'un axe. Les systèmes rigides sont des systèmes qui conservent leur forme, mais dont les différents points peuvent se déplacer dans des directions différentes. Si la rotation du système se fait autour du centre de masse, le système rigide peut être traité comme un objet. Par exemple, la rotation de la Terre autour de son axe est négligeable si nous traitons la Terre comme un point, un centre de masse tournant autour du Soleil. La vitesse ang ulaire est le taux de variation du déplacement angulaire, tandis que l'accélération angulaire est le taux de variation de la vitesse angulaire. Nous allons présenter les définitions de calcul ci-dessous.
.
Un corps en rotation avec une accélération angulaire uniforme a une vitesse angulaire initiale de . Nous constatons qu'après cinq secondes, la vitesse angulaire est de . Quel est le déplacement angulaire ?
On nous donne l'heure, la vitesse angulaire initiale et la vitesse angulaire finale, nous pouvons donc déterminer le déplacement angulaire à l'aide de l'équation de la vitesse angulaire moyenne :
.
Tu peux aussi utiliser des intervalles pour déterminer la vitesse angulaire moyenne et l'accélération.
Un objet met \N(2\N;\Nmathrm s\N) pour effectuer une rotation. Quelle est la vitesse angulaire moyenne de l'objet en rotation ?
Une rotation complète dure \N(2\pi\N;\Nmathrm{rad}\N ;(360^\circ)\N), nous pouvons donc déterminer la vitesse angulaire moyenne de l'objet :
$
Quelle est l'accélération angulaire moyenne d'un disque si sa vitesse angulaire passe de \ (1\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\) à \ (6\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\) en ?
Nous avons également utilisé les définitions du calcul pour trouver les équations du mouvement pour une accélération constante dans un mouvement de translation. Nous pouvons utiliser le calcul pour dériver ces équations pour le mouvement de rotation. De cette façon, nous pouvons montrer la relation directe entre le déplacement angulaire, la vitesse et l'accélération. Tout d'abord, nous devons intégrer la définition de l'accélération angulaire :
Double subscripts: use braces to clarify
où é est la constante d'intégration qui représente la vitesse angulaire initiale en radians par seconde . L'équation ci-dessus est utile pour les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver le déplacement angulaire. Si nous intégrons une fois de plus, nous pouvons trouver l'équation de la position angulaire et du déplacement d'un objet en rotation :
Missing \end{align*}
L'équation ci-dessus est utile pour les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver la vitesse angulaire. Nous pouvons dériver une dernière équation utile en complétant le carré. Au cas où tu ne te rappellerais pas comment compléter le carré, nous allons te montrer ce dont tu as besoin :
où et . Dans notre cas, et . Nous pouvons maintenant réécrire l'équation de la position angulaire de l'objet,
Si nous réarrangeons l'équation de la vitesse angulaire et substituons le terme dans l'expression ci-dessus, nous obtenons une expression utile pour résoudre les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver l'intervalle de temps:
Nous substituons cette expression dans l'équation du déplacement angulaire,
Missing \end{align*}$
Une sphère initialement au repos commence à tourner avec une accélération angulaire uniforme. Sa vitesse angulaire est de \ (10\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\). Si son déplacement angulaire est , quelle est la valeur de l'accélération angulaire de la sphère ?
On nous donne le déplacement angulaire, la vitesse angulaire initiale et finale. Nous pouvons donc déterminer l'accélération angulaire à l'aide de l'équation du carré de la vitesse angulaire. Nous annulons le terme de la vitesse angulaire initiale car la condition initiale stipule qu'elle est nulle :
Nous avons prouvé que les équations d'un mouvement d'accélération uniforme en une dimension sont identiques pour les mouvements de translation et de rotation. Le déplacement angulaire, la vitesse et l'accélération sont les analogues rotationnels du déplacement translationnel, de la vitesse et de l'accélération.
Nous pouvons maintenant décrire le mouvement de translation d'un point tournant autour d'un axe et le mouvement de rotation d'un point qui se déplace également en translation. Dans l'image ci-dessous, nous pouvons voir comment identifier un système qui subit un mouvement de translation, un mouvement de rotation ou les deux en même temps. Il est important de noter que le mouvement de translation peut être linéaire ou non linéaire.
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Fig. 2. Visualisation de la combinaison des mouvements de rotation et de translation. Nous voyons également que le mouvement de translation peut être linéaire ou non linéaire.
Relier les mouvements de translation et de rotation
Pour relier le déplacement angulaire à la translation d'un point dans un système rigide, il faut d'abord imaginer un disque de rayon donné que nous appellerons ligne de référence. Dans un corps rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale auront le même déplacement angulaire.
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Fig. 3 - Visualisation de la ligne de référence pour relier le déplacement translationnel au déplacement angulaire. Dans un système rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale ont toujours le même déplacement angulaire.
D'après l'image ci-dessus, nous voyons que si l'on multiplie le déplacement angulaire par la longueur de la ligne radiale, on peut déterminer la longueur de l'arc. La définition de la longueur d'arc est essentielle pour relier les mouvements de translation et de rotation,
Missing \end{align*}$.
De même, nous pouvons réarranger la définition de la longueur d'arc pour trouver l'expression de la vitesse angulaire. Nous devons diviser les deux côtés de l'équation par un intervalle de temps,
Misplaced &$.
Pour trouver la vitesse de translation et la vitesse angulaire instantanées, nous devons utiliser leurs définitions de calcul :
$.
Nous avons relié le déplacement et la vitesse de translation au déplacement et à la vitesse angulaires. Nous pouvons également remarquer que la vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur de la ligne radiale. Cela signifie que les points éloignés de l'axe de rotation se déplacent plus rapidement que les points plus proches de l'axe.
Un disque de rayon tourne selon un mouvement angulaire uniforme. Sa vitesse angulaire est de \ (6\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\). Quelle est la vitesse linéaire d'un point du disque situé à une distance égale au rayon du disque ?
Pour relier l'accélération translationnelle à l'accélération angulaire, nous devons différencier l'expression ci-dessus par rapport au temps :
Missing \end{align*}$.
Nous venons de prouver que l'accélération peut émerger d'un changement de vitesse causé par l'accélération angulaire.
Considérons un disque de rayon \ (50\;\mathrm{cm}\). Sa vitesse angulaire passe de \ (2\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\) à \ (5\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}\) en \ (0.5\;\mathrm{s}\). Quelle est l'accélération linéaire d'un point du disque situé à une distance égale au rayon du disque ?
On nous donne les informations nécessaires pour déterminer l'accélération angulaire.
Nous pouvons maintenant déterminer l'accélération tangentielle.
Il est important de mentionner que cette accélération est différente de l'accélération centripète causée par les mouvements de translation et les mouvements circulaires. L'accélération centripète ne produit pas un changement de vitesse, mais un changement de vélocité parce que la direction change constamment.
Dérive une expression pour l'accélération centripète en termes de vitesse angulaire.
Nous savons que l'accélération centripète est liée à la vitesse tangentielle. Nous avons déjà dérivé une expression pour la vitesse tangentielle en termes de vitesse angulaire.
Relier le mouvement linéaire et le mouvement de rotation - Points clés à retenir
Systèmes rigidessont des systèmes qui conservent leur forme, mais dont les différents points peuvent se déplacer dans des directions différentes. Si la rotation du système se fait autour ducentre de masse, le système rigide peut être traité comme un objet.
Dans un corps rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale auront le même déplacement angulaire.
Ledéplacement angulaireest l'angle de rotation d'un point d'un système rigide autour d'un axe, .Elle est reliée au déplacement par translation par la longueur de l'arc, .
Lavitesse angulaire est le taux de changement du déplacement angulaire, .Elle est liée à la vitesse tangentielle, .
L' accélération angulaireest le taux de changement de la vitesse angulaire, . Elle est liée à l'accélération tangentielle, .
Références
Fig. 1 - Une toupie soumise à un mouvement linéaire et rotatif (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Spinning_top_%285448672388%29.jpg), par carrotmadman6 (https://www.flickr.com/people/23512070@N08), sous licence CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/)
Fig. 2 - Visualisation de la combinaison des mouvements de rotation et de translation. Nous voyons également que le mouvement de translation peut être linéaire ou non linéaire, StudySmarter.
Fig. 3 - Visualisation de la ligne de référence permettant de relier le déplacement translationnel au déplacement angulaire. Dans un système rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale ont toujours le même déplacement angulaire, StudySmarter Originals
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Questions fréquemment posées en Connexion entre le mouvement linéaire et rotatif
Qu'est-ce que le mouvement linéaire en physique?
Le mouvement linéaire est le déplacement d'un objet en ligne droite. Il est décrit par des paramètres comme la vitesse, la direction et l'accélération.
Qu'est-ce que le mouvement rotatif en physique?
Le mouvement rotatif est la rotation d'un objet autour d'un axe fixe. Il est caractérisé par des paramètres comme l'angle, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire.
Comment le mouvement linéaire et rotatif sont-ils connectés?
Le mouvement linéaire et rotatif sont connectés par la relation où un point sur un objet rotatif suit une trajectoire circulaire, transformant ainsi le mouvement rotatif en mouvement linéaire.
Quelles sont les applications du mouvement linéaire et rotatif?
Les applications incluent les engrenages, moteurs, et courroies de transmission, où les systèmes convertissent le mouvement rotatif en linéaire ou vice-versa pour divers usages mécaniques.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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