Connexion entre le mouvement linéaire et rotatif

Déplacement angulaire, vitesse et accélération

Dans un article précédent, nous avons défini les équations permettant de déterminer la vitesse et l'accélération instantanées d'un objet à l'aide du calcul. Ces définitions ont un analogue rotatif. Le déplacement angulaire est l'angle de rotation d'un point d'un système rigide autour d'un axe. Les systèmes rigides sont des systèmes qui conservent leur forme, mais dont les différents points peuvent se déplacer dans des directions différentes. Si la rotation du système se fait autour du centre de masse, le système rigide peut être traité comme un objet. Par exemple, la rotation de la Terre autour de son axe est négligeable si nous traitons la Terre comme un point, un centre de masse tournant autour du Soleil. La vitesse ang ulaire est le taux de variation du déplacement angulaire, tandis que l'accélération angulaire est le taux de variation de la vitesse angulaire. Nous allons présenter les définitions de calcul ci-dessous.

$$\begin{array}{rcl}\Delta x=x_\text{f}-x_\text{i}&\leftrightarrow&\Delta \theta=\theta_\text{f}-\theta_\text{i}\v=\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}&\leftrightarrow&\Nous allons voir ci-dessous les définitions de calcul.\omega=\frac{\operatorname d\theta}{\operatorname dt}\a=\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}&\leftrightarrow&\alpha=\frac{\operatorname d\omega}{\operatorname dt}\end{array}\N$$.

Tu peux aussi utiliser des intervalles pour déterminer la vitesse angulaire moyenne et l'accélération .

Nous avons également utilisé les définitions du calcul pour trouver les équations du mouvement pour une accélération constante dans un mouvement de translation. Nous pouvons utiliser le calcul pour dériver ces équations pour le mouvement de rotation. De cette façon, nous pouvons montrer la relation directe entre le déplacement angulaire, la vitesse et l'accélération. Tout d'abord, nous devons intégrer la définition de l'accélération angulaire :

$$\begin{align*}\alpha&=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt},\\\\displaystyle\int_{\mathrm\omega}_0}^{\mathrm\omega}\mathrm d\omega&\\N-=\int_0^t}=\int_0^t\alpha\;\mathrm dt\;,\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\end{align*}$$

où \(\oméga_0\) est la constante d'intégration qui représente la vitesse angulaire initiale en radians par seconde \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\). L'équation ci-dessus est utile pour les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver le déplacement angulaire. Si nous intégrons une fois de plus, nous pouvons trouver l'équation de la position angulaire et du déplacement d'un objet en rotation :

$$\begin{align*}\omega&=\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt},\\\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac{\mathrm{dθ}}{\mathrm dt}&=\omega_0+\alpha t,\\\int_{\theta_0}^\theta\mathrm{dθ}&=\int_0^t\left(\omega_0+\alpha t\right)\mathrm dt,\\\theta&=\theta_0+\omega_0t+\frac12\alpha t^2.\N-END{align*}\N-$$

L'équation ci-dessus est utile pour les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver la vitesse angulaire. Nous pouvons dériver une dernière équation utile en complétant le carré. Au cas où tu ne te rappellerais pas comment compléter le carré, nous allons te montrer ce dont tu as besoin :

$$ax^2+bx+c\leftrightarrow a{(x+d)}^2+e,$$

où \(d=\frac b{2a}\) et \(e=c-\frac{b^2}{4a}\). Dans notre cas, \(d=\frac{\omega_0}\alpha\) et \(e=\theta_0-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}\). Nous pouvons maintenant réécrire l'équation de la position angulaire de l'objet,

$$\theta=\theta_0+\frac12\alpha{(t+\frac{\omega_0}\alpha)}^2\;-\frac{\omega_0^2}{2\alpha}.$$

Si nous réarrangeons l'équation de la vitesse angulaire et substituons le terme \(t+\frac{\omega_0}\alpha\) dans l'expression ci-dessus, nous obtenons une expression utile pour résoudre les problèmes de physique qui ne fournissent pas ou ne te demandent pas de trouver l'intervalle de temps:

$$\begin{align*}\omega&=\omega_0+\alpha t,\\\frac\omega\alpha&=t+\frac{\omega_0}\alpha.\end{align*}$$

Nous substituons cette expression dans l'équation du déplacement angulaire,

$$\begin{align*}\theta&=\theta_0+\frac12\alpha\left(\frac\omega\alpha\right)^2-\frac{\omega_0^2}{2\alpha},\\\theta&=\theta_0+\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2\alpha},\\\omega^2&=\omega_0^2+2\alpha\left(\theta-\theta_0\right).\n-{align*}$$$

Nous avons prouvé que les équations d'un mouvement d'accélération uniforme en une dimension sont identiques pour les mouvements de translation et de rotation. Le déplacement angulaire, la vitesse et l'accélération sont les analogues rotationnels du déplacement translationnel, de la vitesse et de l'accélération.

Nous pouvons maintenant décrire le mouvement de translation d'un point tournant autour d'un axe et le mouvement de rotation d'un point qui se déplace également en translation. Dans l'image ci-dessous, nous pouvons voir comment identifier un système qui subit un mouvement de translation, un mouvement de rotation ou les deux en même temps. Il est important de noter que le mouvement de translation peut être linéaire ou non linéaire.

Fig. 2. Visualisation de la combinaison des mouvements de rotation et de translation. Nous voyons également que le mouvement de translation peut être linéaire ou non linéaire.

Relier les mouvements de translation et de rotation

Pour relier le déplacement angulaire à la translation d'un point dans un système rigide, il faut d'abord imaginer un disque de rayon donné que nous appellerons ligne de référence. Dans un corps rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale auront le même déplacement angulaire.

Fig. 3 - Visualisation de la ligne de référence pour relier le déplacement translationnel au déplacement angulaire. Dans un système rigide, tous les points situés le long d'une ligne radiale ont toujours le même déplacement angulaire.

D'après l'image ci-dessus, nous voyons que si l'on multiplie le déplacement angulaire par la longueur de la ligne radiale, on peut déterminer la longueur de l'arc. La définition de la longueur d'arc est essentielle pour relier les mouvements de translation et de rotation,

$$\begin{align*}\Delta s\;&=r\Delta\theta,\\\\frac{\Delta s}r&=\Delta\theta.\NFend{align*}$$$.

De même, nous pouvons réarranger la définition de la longueur d'arc pour trouver l'expression de la vitesse angulaire. Nous devons diviser les deux côtés de l'équation par un intervalle de temps,

$$begin{align*}\Delta s&=r\Delta\theta,\\\frac{\displaystyle\Delta s}{\Delta t}&=rfrac{\displaystyle\Delta\theta}{\Delta t},\;\\Noverline v&=r\overline\omega.\Nend{align*}$$$.

Pour trouver la vitesse de translation et la vitesse angulaire instantanées, nous devons utiliser leurs définitions de calcul :

$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname ds}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\theta}{\operatorname dt},\v&=r\omega.\;\end{align*}$$$.

Nous avons relié le déplacement et la vitesse de translation au déplacement et à la vitesse angulaires. Nous pouvons également remarquer que la vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur de la ligne radiale. Cela signifie que les points éloignés de l'axe de rotation se déplacent plus rapidement que les points plus proches de l'axe.

Pour relier l'accélération translationnelle à l'accélération angulaire, nous devons différencier l'expression ci-dessus par rapport au temps :

$$\begin{align*}\frac{\displaystyle\operatorname dv}{\operatorname dt}&=r\frac{\displaystyle\operatorname d\omega}{\operatorname dt},\a&=r\alpha.\Nend{align*}$$$.

Nous venons de prouver que l'accélération peut émerger d'un changement de vitesse causé par l'accélération angulaire.

Il est important de mentionner que cette accélération est différente de l'accélération centripète causée par les mouvements de translation et les mouvements circulaires. L'accélération centripète ne produit pas un changement de vitesse, mais un changement de vélocité parce que la direction change constamment.