Circuit RC

Définition des circuits RC

Tout d'abord, définissons un circuit RC et son fonctionnement. En nous référant à la figure ci-dessous, nous avons un circuit simple qui relie un condensateur chargé de capacité \(C\), à une résistance \(R\).

Fig. 2 - La configuration d'un circuit RC.

Lorsqu'un condensateur chargé est connecté à la résistance, il décharge l'énergie électrique qu'il a emmagasinée par le biais du courant électrique dans le circuit. Cependant, la valeur du courant est déterminée par la résistance de la résistance ; l'ajout d'autres résistances en série et en parallèle modifiera le courant et la tension résultants dans le circuit. Au bout d'un certain temps, l'énergie électrique stockée dans le condensateur sera épuisée, ce qui entraînera un courant nul. Les applications des circuits RC à résistances multiples comprennent les filtres passe-bas, qui seront abordés dans les sections suivantes de cet article.

Équations des circuits RC

Maintenant que nous comprenons la configuration d'un circuit RC, voyons comment nous pouvons décrire ce qui se passe mathématiquement. Tout d'abord, réfléchissons au courant qui traverse les deux composants. Selon la loi du courant de Kirchoff, le courant qui traverse le condensateur doit être égal et opposé à celui qui traverse la résistance. Nous pouvons l'écrire comme suit

\[ I_{\text{C}} + I_{\text{R}} = 0 ,\]

où \(I_{\text{C}}\) est le courant qui traverse le condensateur et \(I_{\text{R}}\) est le courant qui traverse la résistance, tous deux mesurés en ampères \(\mathrm{A}\). Nous pouvons maintenant substituer nos équations reliant le courant à la tension aux bornes du composant, ce qui, pour un condensateur, donne

\[ I_{\text{C}} = C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} ,\]

où \(C\) est la capacité mesurée en farads \(\mathrm{F}\), \(V\) est la tension mesurée en volts \(\mathrm{V}\), et \(t\) est le temps mesuré en secondes \(\mathrm{s}\). Pour une résistance, cela est donné par la loi d'Ohm

\[ I_{\text{R}} = \frac{V}{R} ,\]

où \(R\) est la résistance mesurée en ohms \(\Omega\).

Nous pouvons maintenant substituer ces expressions dans notre équation de la loi du courant pour obtenir

\[ C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} + \frac{V}{R} = 0,\]

qui est une équation différentielle du premier ordre.

La résolution de cette équation nous donnera l'expression de la tension dans le circuit en fonction du temps. Tout d'abord, nous réarrangeons légèrement l'équation comme suit

\[ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = - \frac{1}{CR} V ,\]

où nous avons séparé les différentielles des constantes et des variables de chaque côté. Tu peux résoudre cette équation différentielle avec la méthode qui te convient le mieux. Dans cet article, nous utiliserons la méthode de séparation des variables, ce qui donne

\[ \begin{align} \int^{V}_{V_0} \frac{1}{V'} \mathrm{d} V' &= \int^{t}_0 - \frac{1}{CR} \mathrm{d} t \\N- \ln(V) - \ln(V_0) &= \frac{-t}{CR} \\ \ln(\frac{V}{V_0}) &= \frac{-t}{CR} \\ \frac{V}{V_0} &= e^{\frac{-t}{CR}} \NV(t) &= V_0 e^{\frac{-t}{CR}} . \Nend{align} \]

On obtient ainsi l'équation de la tension dans un circuit RC.

Constante de temps dans un circuit RC

Une caractéristique importante d'un circuit RC est sa constante de temps.

Une autre façon de l'envisager est le temps nécessaire pour que la valeur initiale du système atteigne \(\frac{V_0}{e} \). Ainsi, nous pouvons utiliser notre équation dérivée pour la tension et substituer cette expression pour déterminer notre constante de temps pour un circuit RC. Celle-ci est donnée par

\[ \begin{align} \frac{V_0}{e} &= V_0 e^{\frac{-\tau}{CR}} \\ \frac{\bcancel{V_0}}{e} &= \bcancel{V_0} e^{\frac{-\tau}{CR}} \\N- e^{-1} &= e^{\frac{-\tau}{CR}} \\N- -1 &= \frac{-\tau}{CR} \\ \tau &= CR , \end{align} \]

où nous avons noté la constante de temps comme \(\tau\) mesurée en unités de secondes \(\mathrm{s}\). Par conséquent, nous pouvons voir que la constante de temps caractéristique d'un circuit dépend de la résistance totale et de la capacité totale dans le circuit.

Déchargement d'un circuit RC

Un circuit RC peut avoir deux orientations : la charge et la décharge.

D'un autre côté, nous avons aussi un condensateur qui se décharge.

Nous avons déjà vu comment calculer la tension à l'intérieur d'un circuit RC qui se décharge, nous pouvons donc la représenter graphiquement dans la figure ci-dessous.

Fig. 3 - La tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC qui se décharge.

Ainsi, nous pouvons voir la décroissance exponentielle de la quantité de tension présente dans le circuit. Au bout d'un certain temps, lorsque le condensateur n'aura plus d'énergie électrique, la tension dans le circuit atteindra un état stable et s'approchera de zéro.

En revanche, un circuit RC en charge suivra un schéma inverse, ce qui donne le graphique ci-dessous.

Fig. 4 - La tension aux bornes du condensateur d'un circuit RC en charge.

Nous voyons ici qu'un circuit RC en charge obéit à un schéma inverse, sa tension augmentant de façon exponentielle au fil du temps et atteignant un plateau au bout d'un certain temps. La tension maximale atteinte par le condensateur est déterminée par la résistance et la capacité totales du circuit. Ce graphique peut être représenté mathématiquement comme suit

\[ V(t) = V_0 \left( 1 - e^{\frac{-t}{CR}} \right) .\]

Fréquence de coupure d'un circuit RC

Une application des circuits RC est le filtre passe-bas.

Pour bien comprendre le fonctionnement d'un filtre passe-bas, il faut comprendre ce qu'est l'impédance et en quoi elle est similaire à la résistance.

Cela ressemble en effet à la définition de la résistance, et l'impédance a même les mêmes unités que la résistance, l'ohm \(\Omega\). L'impédance est une notion plus générale de la résistance, tandis que la résistance est spécifiquement définie comme \(R = \frac{V}{I}\).

Fig. 5 - Montage d'un filtre passe-bas à l'aide d'un circuit RC.

Dans la figure ci-dessus, nous avons le schéma d'un filtre passe-bas qui utilise un circuit RC. Le \(V_{{text{in}}\) représente le signal d'entrée dans le circuit. Il passe ensuite à travers la résistance, puis dans un condensateur et une charge qui sont placés en parallèle l'un par rapport à l'autre. Dans ce cas, la charge représente le signal de sortie \(V_{{text{out}}\).

Si nous avions un signal d'entrée à haute fréquence, l'impédance de la résistance serait plus élevée que celle du condensateur, ce qui entraînerait une différence de potentiel plus élevée dans la résistance que dans le condensateur. Comme le condensateur est en parallèle avec la charge, il en résulte une faible différence de potentiel au niveau de la charge également, ce qui réduit la quantité de signal de sortie du circuit.

D'un autre côté, si notre signal était composé de fréquences plus basses, l'impédance du condensateur serait plus élevée que celle de la résistance. Ainsi, la différence de potentiel entre le condensateur et la charge serait plus élevée, ce qui se traduirait par un signal de sortie plus important.

Nous pouvons également définir mathématiquement la fréquence de coupure comme suit

\[ f_{\text{C}} = \frac{1}{2\pi RC} ,\]

où \(f_{\text{C}}\) est la fréquence de coupure mesurée en hertz \(\mathrm{Hz}\), \(R\) est la résistance de la résistance mesurée en ohms \(\Omega\), et \(C\) est la capacité du condensateur mesurée en farads \(\mathrm{F}\).

Exemples de circuits RC

Pour finir, examinons un exemple de question concernant un circuit RC.