Si seulement la physique était semblable aux relations, tu obtiendrais toujours ce que tu donnes ! (Tu devrais peut-être en parler à cette personne spéciale pour voir si elle commence à se conformer aux lois de la nature. Ensuite, s'il se plaint encore, dis-lui que Newton a dit qu'on ne peut pas prendre plus que ce que l'on donne).
Dans cet article, nous explorons la notion d'impulsion, qui est le changement d'élan d'un système (rappelle qu'un système est un ensemble défini d'objets ; par exemple, un ballon de basket qui passe dans un cerceau serait un système comprenant le ballon, le cerceau et la Terre qui exerce la force de gravité sur le ballon). Nous verrons également la formule de l'impulsion, nous parlerons du taux de changement de l'élan et nous donnerons même quelques exemples. Alors, plongeons dans le vif du sujet !
Formule de changement de momentum
Pour comprendre ce qu'est un changement d'élan, nous devons d'abord définir l'élan. Rappelle-toi que l'élan est une quantité donnée à un objet en raison de sa vitesse \(\vec{v}\) et de sa masse \(m\), et qu'un \(\vec p\) minuscule la représente :
$$\vec p = m \vec v\mathrm{.}$$$
Plus l'élan est important, plus il est difficile pour un objet de passer de l'état de mouvement à l'état stationnaire. Un objet en mouvement doté d'un élan important a du mal à s'arrêter et, à l'inverse, un objet en mouvement doté de peu d'élan est facile à arrêter.
Le changement d'élan, ou impulsion (représentée par la lettre majuscule \(\vec J)\), est la différence entre l'élan initial et l'élan final d'un objet.
Par conséquent, en supposant que la masse d'un objet ne change pas, l'impulsion est égale à la masse multipliée par le changement de vitesse. Définissons notre impulsion finale,
$$\vec p_\text{f}=m\vec v_\text{f}\mathrm{,}$$$
et notre impulsion initiale,
$$\vec p_\text{i}=m\vec v_\text{i}\mathrm{,}$$
nous permet d'écrire une équation pour le changement total de la quantité de mouvement d'un système, qui s'écrit comme suit :
$$\vec{J}=\Delta \vec p = \vec p_\text{f}- \vec p_\text{i}=m(\vec v_\text{f}- \vec v_\text{i})=m\Delta \vec v,$$$
où \(\Delta \vec p\) est notre changement de quantité de mouvement, \(m\) est notre masse, \(\vec v\) est notre vitesse, \(\text{i}\) signifie initiale, \(\text{f}\) signifie finale, et \(\Delta \vec v\) est notre changement de vitesse.
Taux de variation de la quantité de mouvement
Prouvons maintenant que le taux de variation de l'élan est équivalent à la force nette agissant sur l'objet ou le système.
Nous avons tous entendu dire que la deuxième loi de Newton est \(F = ma\) ; cependant, lorsque Newton a écrit cette loi pour la première fois, il avait à l'esprit l'idée de l'élan linéaire. Voyons donc si nous pouvons écrire la deuxième loi de Newton un peu différemment. Commençons par
$$\vec F_\text{net}= m \vec a$$$
nous permet de voir une corrélation entre la deuxième loi de Newton et l'élan linéaire. Rappelle-toi que l'accélération est la dérivée de la vitesse . Par conséquent, nous pouvons écrire notre nouvelle formule de force comme suit
$$\vec F_\text{net}= m \frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t}\\mathrm{.}$$$
Il est essentiel de noter le changement qui a été effectué. L'accélération n'est que le taux de changement de la vitesse , donc le remplacer par \frac{\mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d} t}\) est valide. Comme la masse \(m\) reste constante, nous voyons que la force nette est égale au taux de variation de la quantité de mouvement :
$$\vec F_\text{net} = \frac{\,\mathrm{d}(m\vec v)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} .$$
Nous pouvons réarranger ceci pour obtenir
\[\mathrm{d}\vec{p}=\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]
Avec ce nouveau point de vue sur la deuxième loi de Newton, nous voyons que le changement de quantité de mouvement, ou d'impulsion, peut être écrit comme suit :
\[\vec{J}=\Delta\vec{p}=\int\,\mathrm{d}\vec{p}=\int\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]
- La variation de la quantité de mouvement, ou impulsion (représentée par la lettre majuscule \(\vec J)\), est la différence entre la quantité de mouvement initiale et la quantité de mouvement finale d'un système. Elle est donc égale à la masse multipliée par le changement de vitesse.
- La deuxième loi de Newton est un résultat direct du théorème impulsion-momentum lorsque la masse est constante ! Le théorème de l'impulsion et du momentum établit un lien entre la variation de l'élan et la force nette exercée :
$$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = m\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d} t} = m\vec a.$$
En conséquence, l'impulsion est donnée par\[\vec{J}=\int\vec{F}_\text{net}\\N,\mathrm{d}t.\N].
En physique, nous avons souvent affaire à des collisions : il ne s'agit pas nécessairement de quelque chose d'aussi important qu'un accident de voiture - il peut s'agir de quelque chose d'aussi simple qu'une feuille qui frôle ton épaule.
Une collision se produit lorsque deux objets ayant un élan exercent l'un sur l'autre une force égale mais opposée par le biais d'un court contact physique.
L'élan d'un système de collision est toujours conservé. L'énergie mécanique, cependant, ne doit pas nécessairement être conservée. Il existe deux types de collisions : les collisions élastiques et les collisions inélastiques.
Collisions élastiques et quantité de mouvement
Nous allons tout d'abord parler des collisions élastiques. En physique, "élastique" signifie que l'énergie et la quantité de mouvement du système sont conservées.
Lescollisions élastiques se produisent lorsque deux objets entrent en collision et rebondissent parfaitement l'un sur l'autre.
Cela signifie que l'énergie totale et l'élan seront les mêmes avant et après la collision.
Fig. 3 - Les interactions des boules de billard sont de bons exemples de collisions qui sont très proches d'être parfaitement élastiques.
Deux boules de billard illustrent une collision presque parfaite. Lorsqu'elles entrent en collision, elles rebondissent de telle sorte que l'énergie et l'élan sont presque entièrement conservés. Si ce monde était idéal et que le frottement n'existait pas, leur collision serait parfaitement élastique, mais hélas, les boules de billard ne sont qu'un exemple presque parfait.
La figure 4 est un excellent exemple de collision élastique en action. Remarque que le mouvement se transfère complètement de l'objet de gauche à celui de droite. C'est un signe fantastique de collision élastique.
Collisions inélastiques et quantité de mouvement
Passons maintenant au jumeau maléfique qui est loin d'être parfait.
Les collisionsinélastiques sont des collisions où les objets restent collés au lieu de rebondir. Cela signifie que l'énergie cinétique n'est pas conservée.
Un exemple est de jeter un chewing-gum dans une poubelle flottant dans l'espace (nous précisons que c'est dans l'espace parce que nous ne voulons pas tenir compte de la rotation de la Terre dans nos calculs). Une fois que le chewing-gum a pris son envol, il a une masse et une vitesse; on peut donc dire qu'il a aussi un élan. Il finira par heurter la surface de la boîte de conserve et s'y accrochera. L'énergie n'est donc pas conservée parce qu'une partie de l'énergie cinétique de la gomme se dissipe en frottement lorsque la gomme colle à la boîte. Cependant, l'élan total du système est conservé parce qu'aucune autre force extérieure n'a eu l'occasion d'agir sur notre système chewing-gum-poubelle. Cela signifie que la poubelle prendra un peu de vitesse lorsque le chewing-gum entrera en collision avec elle.
La variation variable du moment cinétique d'un système
Tous les exemples de collisions ci-dessus impliquent une impulsion constante. Dans toutes les collisions, l'élan total du système est conservé. L'élan d'un système n'est cependant pas conservé lorsque ce système interagit avec des forces extérieures : il s'agit là d'un concept essentiel à comprendre. Les interactions au sein d'un système conservent la quantité de mouvement, mais lorsqu'un système interagit avec son environnement, la quantité de mouvement totale du système n'est pas nécessairement conservée. En effet, dans ce cas, il peut y avoir une force nette non nulle qui agit sur le système, donnant à l'ensemble du système une impulsion non nulle au fil du temps (par le biais de l'équation intégrale que nous avons écrite plus tôt).
Exemples de variation de la quantité de mouvement
Maintenant que nous savons ce que sont le changement d'élan et les collisions, nous pouvons commencer à les appliquer à des scénarios du monde réel. Ce ne serait pas une leçon sur les collisions sans accidents de voiture, n'est-ce pas ? Voyons comment le changement d'élan joue un rôle dans les collisions - tout d'abord, un exemple.
Jimmy vient d'obtenir son permis de conduire. Tout excité, il sort la toute nouvelle décapotable de son père pour un essai routier (mais avec Jimmy à l'intérieur, la décapotable fait \N(1,00 fois 10^3\N,\Nmathrm{kg}\N)). Voyageant à \N(18\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}\N), il heurte une boîte aux lettres stationnaire (évidemment) qui a une masse de \N(1,00\Nfois 10^2\N,\Nmathrm{kg}\N). Cela ne l'arrête pas beaucoup, cependant, et lui et la boîte aux lettres continuent ensemble à une vitesse de \(13.0\,\mathrm{\frac{m}{s}\\}\N-). Quelle est l'ampleur de l'impulsion du système voiture-Jimmy-boîte aux lettres au cours de la collision ?
Rappelle-toi que l'impulsion est la même chose que le changement de quantité de mouvement.
Rappelle que l'impulsion est la différence entre la quantité de mouvement initiale et la quantité de mouvement finale. Par conséquent, nous écrivons que
$$p_\text{i} = 1.00 fois 10^3\\Nmathrm{kg} \\N- fois 18\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}\N+1.00\N- fois 10^2\Nmathrm{kg}\Nfois 0\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}} = 18\N000\Nmathrm{\Nfrac{kg{m}{s}\N$$.
est égale à l'ampleur de notre élan initial, alors que
$$p_\text{f} = (1,00 fois 10^3\Nmathrm{kg}+1,00 fois 10^2\Nmathrm{kg}) fois 13,0\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}\N = 14\Nmathrm{\Nfrac{kg{m}{s}\N$ = 14\N300\Nmathrm{\Nfrac{kg{m}{s}\N$$.
est égale à l'ampleur de notre élan final. En trouvant la différence entre les deux, on obtient
$$\Delta p = p_\text{f}-p_\text{i} = 14300\\Nmathrm{\frac{kg\Nm}{s}\N} - 18000\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}\\} =-3700\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}\\}\mathrm{.}$$
Par conséquent, l'impulsion du système voiture-boîte aux lettres a une magnitude de
$$J = 3700\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}\\}\mathrm{.}$$$
L'impulsion totale du système nous indique ce qui s'est passé entre Jimmy qui descendait la rue à toute vitesse à \N(18\N,\Mathrm{\frac{m}{s}\N\N) et la boîte aux lettres à \N(13.0\N,\Mathrm{\frac{m}{s}\N). Nous savons que l'élan total du système voiture-Jimmy-boîte aux lettres a changé de la façon suivante
$$3700\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}\\}\mathrm{.}$$
Nous avons maintenant toute l'histoire !
À l'heure actuelle, tu te demandes probablement comment cet exemple fonctionne. Plus haut, nous avons décrit les collisions inélastiques comme conservant l'élan, mais cet exemple semble montrer que l'élan total d'un système peut changer après une collision inélastique.
Cependant, il s'avère que la quantité de mouvement est toujours conservée dans le scénario ci-dessus. L'élan excédentaire a simplement été transféré à la Terre. Comme la boîte aux lettres était attachée à la surface de la Terre, le fait de la heurter a amené Jimmy à exercer une force sur la Terre. Pense à planter un crayon dans un ballon de soccer et à le frapper. Même si le crayon se détache du ballon, celui-ci ressent une force dans la direction de la pichenette.
Lorsque Jimmy a frappé la boîte aux lettres, cela équivalait à donner une pichenette à un tout petit "crayon", si tu veux, sur le gigantesque "ballon de foot" qu'est la Terre. Rappelle-toi qu'exercer une force sur un intervalle de temps équivaut à dire qu'il y a eu un changement d'élan. Par conséquent, en exerçant une force sur la Terre pendant un court laps de temps, une partie de l'élan du système a été transférée à la Terre. Ainsi, l'élan du système entier (y compris la Terre) a été conservé, mais les élans individuels de Jimmy, de la voiture et de la boîte aux lettres ont changé, tout comme leur élan commun.
Changement d'élan - Points clés à retenir
- Lechangement de quantité de mouvement est la même chose que l'impulsion. Il est égal à la masse multipliée par le changement de vitesse et représente la différence entre l'élan final et l'élan initial.
- L'impulsion est une quantité vectorielle dans la même direction que la force nette exercée sur le système.
- Voici l'équation de la variation totale de l'élan d'un système :
$$\Delta \vec p = \vec p_\text{f}- \vec p_\text{i}=m(\vec v_\text{f}- \vec v_\text{i})=m\Delta \vec v.$$
Une force nette est équivalente au taux de variation de la quantité de mouvement :
$$\vec F_\text{net} = m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} .$$
La deuxième loi de Newton est un résultat direct du théorème impulsion-momentum lorsque la masse est constante ! Le théorème de l'impulsion et du momentum établit un lien entre la variation de l'élan et la force nette exercée :
$$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = m\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d} t} = m\vec a.$$
- L'impulsion est l'aire sous la courbe de la force en fonction du temps, elle est donc égale à la force exercée multipliée par l'intervalle de temps pendant lequel la force a été exercée.
- Par conséquent, l'impulsion est l'intégrale temporelle de la force et s'écrit comme suit :
$$\vec J=\int_{t_\text{i}}^{t_\text{f}} \vec F(t)\,\mathrm{d}t\mathrm{.}$$.
- Lescollisions élastiques "rebondissent parfaitement" et conservent l'énergie cinétique et la quantité de mouvement.
- Lescollisions inélastiques "collent" et ne conservent que la quantité de mouvement.
- L'impulsion, ou le changement de quantité de mouvement, nous indique "le milieu de l'histoire" lorsque nous parlons de collisions.
Références
- Fig. 1 - Graphique de la force en fonction du temps, StudySmarter
- Fig. 2 - Figure de bâton jouant au football, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Boules de billard (https://www.peakpx.com/632581/snooker-colored-billiards-game-balls-sport-pool-ball) by Peakpx (https://www.peakpx.com/) is licensed by Public Domain
- Fig. 4 - Collision élastique, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Collision inélastique, StudySmarter Originals.
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