Qu'est-ce que le centre de masse ?
Le centre de masse est l'endroit où l'on suppose que toute la masse du corps est concentrée. Le concept de centre de masse simplifie les problèmes de deux façons principales :
- Il fournit un point de référence pour étudier les interactions entre le corps et la force.
- Il simplifie les trajectoires des objets en représentant leur mouvement à l'aide de la trajectoire du centre de masse.
Les forces
Lorsque l'on utilise le centre de masse pour étudier les interactions corps-force, les forces n'agissent pas au point de contact mais plutôt sur le centre de masse.
En concentrant toutes les forces sur le centre de masse, les lois de Newton et la superposition des forces peuvent être utilisées pour trouver la force nette, l'accélération et d'autres variables.
Mouvement
Si les forces qui agissent sur un objet provoquent un mouvement, on peut simplifier en disant que son centre de masse bouge. Dans ce cas, le centre de masse peut être analysé à l'aide des lois de Newton sur le centre de masse ou des équations cinématiques pour obtenir son déplacement, sa vitesse et son accélération.
Centre de masse d'un carré ou d'un rectangle
Certains centres de masse peuvent être déterminés plus facilement que d'autres, en fonction de la densité, de la forme et de l'épaisseur de l'objet. Vois l'exemple suivant :
Disons que tu veux obtenir le centre de masse d'un corps régulier et symétrique, comme un carré. Si tu as déjà joué avec un morceau de métal ou de bois de forme carrée, tu sais que tu peux le faire tenir en équilibre sur ton doigt en le plaçant au centre du carré.
L'équilibre est possible parce que le carré a une densité uniforme, ce qui signifie que son poids est le même en tout point. La force qui le tire vers le bas (la gravité) est également égale en tout point.
Le centre de masse des objets réguliers, tels qu'un carré, un rectangle, un cercle ou un triangle équilatéral, se trouve au centre de la forme géométrique, comme indiqué ci-dessous :
Pour de nombreuses figures régulières, leur centre de masse se superpose à un point géométrique appelé centroïde.
Le centroïde est le centre d'une forme géométrique.
Centroïdes
Lorsque la densité et la forme d'un objet sont régulières, le centre de masse se trouve à son centre géométrique ou centroïde, que l'on retrouve dans tous les objets réguliers en 2D ou en 3D, tels que les sphères, les cubes et les anneaux.
Centre d'un système de particules
Le centre de masse peut être défini pour un système composé de plusieurs particules, comme lorsque tu analyses des charges ou des masses ponctuelles. Si les objets ont une densité régulière, le centre de masse peut être trouvé en utilisant la formule suivante :
\[CM = \frac{m_1\vec{r_1} +m_2\vec{r_2} +m_3\vec{r_3}}{m_1+m_2+m_3}\].
Ici, les vecteurs r sont les coordonnées x, y et z mesurées à partir de l'origine. Cela se décompose en trois formules pour les positions x, y et z, comme suit :
\[CM_x = \frac{m_1x +m_2x +m_3x}{m_1+m_2+m_3}\]
\[CM_y = \frac{m_1y +m_2y +m_3y}{m_1+m_2+m_3}\]
\[CM_z = \frac{m_1z +m_2z +m_3z}{m_1+m_2+m_3}\]
Prenons un exemple pour voir comment cela fonctionne.
Un système de trois particules présente la configuration illustrée dans l'image ci-dessous. Les particules sont reliées par des forces qui les maintiennent bloquées dans une position triangulaire. Une autre force les fait toutes se déplacer le long de l'axe y.
Détermine le centre de masse qui peut être utilisé pour simplifier leur mouvement si leurs masses individuelles sont m1 =100 gr,m2=50 gr, etm3=64 gr.
Tu dois d'abord obtenir la coordonnée de chaque particule du système. Dans ce cas, les particules se trouvent le long de la position y=0. Le problème sera simplifié pour trouver les coordonnées en x et z.
\[CM_x = \frac{m_1x +m_2x +m_3x}{m_1+m_2+m_3} = \frac{(100 \cdot 3) + (50 \cdot 2.5) + (64 \cdot 1.6)}{100+50+64} = 2.46 \approx 2.5\]
\[CM_z = \frac{m_1z +m_2z +m_3z}{m_1+m_2+m_3} = \frac{(100 \cdot 2.3) + (50 \cdot 3.5) + (64 \cdot 2.7)}{100+50+64} = 2.7\]
Tu peux alors simplifier le mouvement des trois particules en un seul point en mouvement le long des axes z et x avec les coordonnées données ci-dessous.
\N- CM_{x,z} = (2,5, 2,7)\N- CM_{x,z} = (2,5, 2,7)\N]
Si le système est constitué d'objets symétriques de densité uniforme, tels que des cercles, des carrés ou des anneaux, les coordonnées de leur centre de masse sont fournies par leurs centroïdes. Après avoir obtenu les coordonnées des centroïdes (x, y), on peut les utiliser pour obtenir le centre de masse de l'ensemble du système.
Centre de gravité
Le centre de gravité est un concept utile, qui nous aide à simplifier les analyses des forces agissant sur un seul corps ou un système composé de différents corps reliés physiquement ou par une force.
Le centre de gravité est l'endroit géométrique où la force de gravité agit sur un corps ou un système de corps.
Tous les objets physiques ont une masse. Si la masse est uniforme, nous pouvons facilement simplifier le système de forces lorsque nous analysons un corps en mouvement. Dans ce cas, toute la masse peut être placée au centre de gravité, car la force de gravité agit sur ce point.
Le centre de gravité s'applique également aux corps en rotation. Dans certains de ces cas, cependant, les forces ne s'appliquent pas au centre de masse, mais peuvent provoquer un couple et induire une rotation. L'exemple classique du centre de masse d'un corps en rotation avec une densité régulière est une sphère.
Une boule de billard est impactée exactement au centre avec une force "F". La boule peut être considérée comme une sphère à densité régulière, et son centroïde et son centre de masse se chevauchent. La boule est également affectée par la force de gravité, qui la tire vers le bas. La troisième interaction qui se produit est la "friction".
La force de frottement "f" agit parallèlement à la surface de contact et contre le mouvement de la balle. Cette force agit à une distance "d" du centre de la bille, provoquant un couple.
Le couple causé par le frottement est responsable de la rotation de la boule.
Centre de gravité et centre de masse
Il ne faut pas confondre le centre de gravité et le centre de masse. L'un dépend de la répartition des masses d'un corps, tandis que l'autre dépend de la force de gravité qui agit sur le corps. Les deux peuvent se chevaucher dans des cas particuliers, par exemple lorsque la masse de l'objet est régulière et le champ gravitationnel uniforme. Vois l'exemple suivant.
Une barre d'une longueur de 10 kilomètres s'étend verticalement sur la surface de la terre. Sa forme est cylindrique avec une épaisseur A. Le vent ne souffle pas et il n'y a pas d'autre force que la gravité.
Dans ce cas, le centre de masse se trouve exactement au milieu de la barre, car la densité est régulière. Cependant, le centre de gravité ne l'est pas. Rappelons la formule de la force de gravité à la surface de la terre.
\[F = G \cdot \frac{M_{Terre} \cdot m_{cylindre}}{r^2}\]
Ici, G est la constante de gravité de la terre, qui est de 9,81 m/s2, r est la distance entre le centre de masse de la terre et chaque partie du cylindre, qui est mesurée en mètres.MEarth et mcylinder sont les masses des objets (terre et chaque partie du cylindre), mesurées en kilogrammes.
La force diminue au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la surface de la terre. Si tu divises la barre en petits cylindres d'une hauteur de 10 cm et d'une masse de 1 kg, les derniers cylindres de cette longue barre ressentent moins de force gravitationnelle que ceux qui se trouvent à la surface si toutes les valeurs sont identiques, mais seul r est différent.
Cela signifie que le haut de la barre pèse moins lourd et que son centre de gravité se déplace vers le bas.
Voici quelques différences fondamentales entre le centre de masse et le centre de gravité.
| Centre de masse | Centre de gravité |
| Utile pour analyser le mouvement d'un objet. | Utile pour analyser la stabilité d'un objet soumis à des forces gravitationnelles. |
| Dépend de la masse de l'objet. | Dépend de la gravité. |
| Peut coïncider avec le centroïde dans les objets symétriques à densité régulière. | Peut ne pas coïncider avec le centroïde dans les objets symétriques de densité régulière car il dépend de la position par rapport au champ de gravité. |
Lancement de projectiles
Lors d'un lancement de projectile en mouvement parabolique, le centre de masse reste stable, même si l'objet tourne pendant son déplacement. Dans ce cas, l'objet tourne autour de son centre de masse, décrivant une parabole, comme le montre la figure ci-dessous.
Dans le cas du lancement d'une fusée ou d'un projectile, si l'objet se sépare en deux parties, le mouvement du centre de masse suit la trajectoire initiale, tandis que les parties du projectile suivent des trajectoires différentes, comme le montre la figure ci-dessous.
Centre de masse - Principaux enseignements
- Le centre de masse est l'endroit où l'on peut supposer que toute la masse est concentrée dans un corps.
- Le centre de masse est utile pour simplifier les forces agissant sur un corps ou son mouvement.
- Le centroïde est le centre géométrique d'un objet.
- Le centre de masse et le centroïde coïncident pour les corps ayant une symétrie régulière et une densité uniforme.
- Le centre de gravité est l'endroit géométrique où l'on peut supposer que la force de gravité agit sur un corps.
- Le centre de gravité et le centre de masse ne sont pas identiques. Ils se distinguent notamment par le fait que le centre de gravité dépend de la force de gravité, alors que le centre de masse n'en dépend pas.
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