Description du mouvement circulaire
Un objet qui se déplace sur une trajectoire circulaire avec une vitesse constante et un rayon constant connaît un mouvement circulaire uniforme. Comme le montre l'image ci-dessous, le vecteur vitesse des objets en mouvement circulaire uniforme est toujours tangent au cercle. Comme le vecteur vitesse change de direction lorsqu'il se déplace autour du cercle, il y a une accélération centripète et une force centripète qui sont toujours perpendiculaires au vecteur vitesse. Elles sont dirigées radialement vers l'intérieur du cercle.
La vitesse d'un objet en mouvement circulaire uniforme peut être décrite en termes de période, T. La période est le temps qu'il faut à un objet pour effectuer une révolution. Puisque la magnitude de la vitesse est constante, nous pouvons la trouver en prenant la circonférence du cercle divisée par la période :
\[\text{Vélocité} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}\]
\[v = \frac{2 \pi r}{T}\]
Nous pouvons alors écrire l'accélération centripète comme suit :
\[\N- Début{alignement} a_c &= \frac{v^2}{r} \N- &=\frac{(2 \pi r/T)^2}{r} \N- &= \Nfrac{4 \pi^2 r}{T^2}\Nend{align}\N]
Si la vitesse de l'objet n'est pas constante, l'objet subit un mouvement circulaire non uniforme. Un exemple de mouvement circulaire non uniforme est présenté dans l'article "Mouvement circulaire et diagrammes des corps libres". Cet exemple traite d'une balle qui est balancée sur une trajectoire circulaire verticale. Dans cet exemple, la force de gravité fait varier la magnitude de la vitesse au fur et à mesure que la balle est balancée. En tout point du cercle, sauf en haut et en bas,les composantes du vecteur accélération net et du vecteur force net sont parallèles au vecteur vitesse. Cela signifie que le vecteur accélération net ne pointe plus vers le centre du cercle, comme indiqué ci-dessous.
Pour les objets qui subissent un mouvement circulaire non uniforme, nous ne pouvons résoudre la vitesse et l'accélération centripète qu'à certaines positions sur le cercle en utilisant la deuxième loi de Newton ; il est toutefois possible d'utiliser l'énergie pour relier les vitesses à différentes positions.
Exemple de mouvement circulaire uniforme
Prenons l'exemple d'un objet en mouvement circulaire uniforme.
Considère un satellite en orbite autour de la terre sur une trajectoire circulaire uniforme à 4500 km de la surface de la terre. Quelle est l'accélération centripète du satellite ? Utilise 6371 km pour le rayon de la terre et 5,98 - 1024 kg pour sa masse.
La force centripète qui agit sur le satellite est la force de gravité. Nous pouvons donc commencer par la deuxième loi de Newton et résoudre l'accélération centripète.
\(F_{net} = ma\)
\N(F_{g} = ma_c\N)
\(G \cdot \frac{m_{sat}m_e}{r^2} = m_{sat}a_c\)
\N- (\N- Début{align} a_c &= G \cdot \Nfrac{m_e}{r^2}) \c &= \frac{(6.67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2)(5.98 \cdot 10^{24} kg)}{(4500 km + 6371 km)^2} \\N- &= 3.375 m/s^2 \Nend{align}\N)
Exemple de mouvement circulaire non uniforme
Prenons maintenant l'exemple d'un objet en mouvement circulaire non uniforme.
Une balle de 2,5 kg se déplace le long d'une boucle circulaire de 2 m de rayon, comme le montre l'image ci-dessous. Quelle est l'ampleur de la force normale qui agit sur la balle au sommet de la boucle ? Considère que la vitesse au sommet de la boucle est de 5 m/s et ignore les frottements.
Tout d'abord, nous devons déterminer toutes les forces radiales agissant sur la balle pour obtenir la force centripète. La force de gravité est dirigée vers le bas et vers l'intérieur à cet endroit. Nous devons également tenir compte de la force normale. Dans quelle direction la force normale pointe-t-elle ? La force normale est la force de la surface de la boucle qui agit sur la balle, elle pointe donc de la surface de la boucle vers la balle, qui est radialement à l'intérieur dans n'importe quelle position sur la boucle.
Nous pouvons maintenant utiliser la deuxième loi de Newton pour trouver l'ampleur de la force normale au sommet de la boucle.
\N(F_{net} = ma\N)
\N(F_g + F_n = ma_c\N)
\N- (\N- début{align}) F_n &= ma_c -mg \\ &=m \frac{v^2}{r} - mg \\ &=m \Big(\frac{v^2}{r} -g \Big) \\ &=(2.5 kg) \Big( \frac{(5 m/s)^2}{2} - 9,8 m/s^2 \N- \N- \N- \N- &=6,75 N \N-{align}\N- \N-)
N'oublie pas que la vitesse de la balle change au fur et à mesure qu'elle fait le tour de la boucle. Si la balle se trouvait du côté gauche de la boucle, sa vitesse serait plus grande en raison de la gravité. La force normale exercée sur la balle à cet endroit serait également plus grande parce que la force de gravité n'aurait plus de composante de force centripète. Ainsi, la force normale serait simplement la masse multipliée par l'accélération centripète à cet endroit.
Applications du mouvement circulaire vertical
Un autre exemple de mouvement circulaire vertical est celui d'une personne sur une grande roue. Contrairement à l'exemple de la balle qui fait le tour de la boucle ci-dessus, ce mouvement circulaire vertical est uniforme parce que la vitesse est constante.
Une grande roue d'un rayon de 16 m se déplace en mouvement circulaire uniforme avec une vitesse de 5 m/s. Quelle est la force normale du siège agissant sur une personne de 60 kg en haut et en bas de la grande roue ?
Nous considérerons que vers le haut est la direction positive pour les deux endroits. Aux deux endroits, la force normale provenant du siège pointera dans la direction positive, tandis que la force de gravité pointera dans la direction négative. Puisque le vecteur d'accélération centripète pointe radialement aux deux endroits, il sera dans la direction négative en haut et dans la direction positive en bas.
En utilisant nos diagrammes de corps libre pour la personne au sommet, nous pouvons écrire l'équation de la force centripète comme suit :
\(F_{net} = ma_c\)
\N(F_{nt}-F_g = -ma_c\N)
Remarque que nous avons mis un signe négatif devant l'accélération centripète pour tenir compte de sa direction au sommet. Nous pouvons maintenant résoudre le problème de la force normale.
\(\N- Début{alignement} F_{nt} &= mg-a_c \N- m \N(g-\frac{v^2}{r} \N) \N &= (60 kg)\N(9.8 m/s^2 - \Nfrac{(5 m/s)^2}{16 m}) \N- (60 kg)\N(9.8 m/s^2 - \Nfrac{(5 m/s)^2}{16 m}) \Big) \N &= 494N \Nend{align}\)
Remarque qu'il est possible que notre force normale au sommet de la grande roue soit négative si la vitesse est suffisamment grande. Si c'était le cas, une force descendante comme celle d'une ceinture de sécurité serait nécessaire pour maintenir la personne sur son siège.
L'équation de notre force centripète au bas de la grande roue est la suivante :
\[F_{nb} - F_g = ma_c\].
Notre vecteur d'accélération pointe vers le haut, la direction est donc positive. En résolvant la force normale au bas de la roue, nous obtenons :
\(\begin{align}) F_{nb} &= ma_c + mg \\ &=m\Big(g + \frac{v^2}{r} \Big) \\ &= (60 kg) \Big(9.8 m/s^2 + \frac{(5m/s)^2}{16 m} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- &= 682 N \N- \N-{align}\N-)
Ainsi, la force normale est plus importante au bas de la grande roue qu'au sommet.
Applications du mouvement circulaire uniforme
Une voiture qui décrit une courbe est un exemple de mouvement circulaire horizontal et uniforme que nous voyons tous les jours.
Une voiture de 1300 kg décrit une courbe plate de 60 m de rayon. Trouve la vitesse de la voiture si le coefficient de frottement est de 0,8.
Comme la courbe est plate, la force normale et la force de gravité s'équilibrent de sorte que \(F_n = F_g = mg\). Cela signifie que la seule force qui contribue à la force centripète est le frottement. Ainsi, nous avons :
\N(F_{net} = ma_c\N)
\N(F_f = m \Nfrac{v^2}{r}\N)
\( \mu F_n = m \frac{v^2}{r}\)
\(\mu \cancel{m} = \cancel{m} \frac{v^2}{r}\)
\(\mu g = \frac{v^2}{r}\)
\(\begin{align} v &= \sqrt{\mu gr}) \N- &= \sqrt{(0.8(9.8 m/s^2)(60m)} \N- &= 21.7 m/s \N-end{align}\N)
Applications du mouvement circulaire - Points clés
- Nous utilisons le mouvement circulaire dans notre monde tous les jours. Il est important de comprendre sa dynamique.
- On parle de mouvement circulaire uniforme lorsqu'un objet se déplace en cercle avec un rayon constant et une vitesse constante.
- On parle de mouvement circulaire non uniforme lorsqu'un objet se déplace dans un cercle de rayon constant avec une vitesse variable.
- L'accélération centripète peut être calculée à l'aide de la deuxième loi de Newton pour les mouvements circulaires uniformes et non uniformes, mais pour les mouvements circulaires non uniformes, nous ne pouvons trouver l'accélération centripète qu'en chaque point du cercle. Nous ne pouvons pas relier les vitesses en différents points lorsque le mouvement n'est pas uniforme.
- Parmi les exemples courants de mouvement circulaire uniforme, on peut citer les satellites sur des orbites circulaires et les voitures qui prennent des virages.
- Parmi les exemples courants de mouvements circulaires non uniformes, on peut citer une balle qui se balance en mouvement circulaire vertical sur une corde et une balle qui fait le tour d'une boucle verticale.
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