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Nous commencerons par une illustration de la deuxième loi du mouvement de Newton, dans laquelle nous passerons en revue la signification des symboles de l'équation de la loi de la force et nous discuterons de la façon dont ces quantités sont liées. Ensuite, nous énumérerons 10 applications de la deuxième loi de Newton à des phénomènes quotidiens avant de sélectionner deux exemples pour une analyse semi-quantitative plus approfondie.
Illustration de la deuxième loi du mouvement de Newton
Une grandeur dynamique est une grandeur dont la valeur peut changer avec le temps
Si l'on veut décrire le mouvement d'un système physique, il faut d'abord connaître ses grandeurs dynamiques : le déplacement, la vitesse et l'accélération. Dans le cas d'un mouvement linéaire, qui décrit le mouvement d'un objet dans une seule dimension spatiale, le long d'une ligne droite, l'application de la deuxième loi de Newton nous donne toutes les informations dont nous avons besoin sur l'évolution du mouvement de l'objet en fonction du temps. Dans ce cas, nous écrirons :
\[\vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m}.\]
Rappelle que les petites flèches au-dessus de l'accélération \(\vec{a}\) et de la force \(\vec{F}\) désignent des quantités vectorielles. Il est essentiel de s'en tenir à la notation vectorielle parce qu'un système peut accélérer le long d'une dimension spatiale mais pas le long d'une autre dimension. Par exemple, une pomme qui tombe d'un arbre n'accélère que le long de la dimension verticale.
De plus, comme l'accélération et la force sont les seules grandeurs vectorielles dans la deuxième loi du mouvement de Newton (la masse n'a pas de direction puisque c'est un scalaire), l'accélération du centre de masse d'un système sera toujours dans la même direction que la force nette qui agit sur lui.
Le symbole précédant \(\vec{F}\) est la lettre grecque Sigma, que l'on utilise pour désigner une somme en mathématiques. C'est-à-dire,
\[\vec{F}_{text{net}} = \sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots\]
Chacun des termes du côté droit est une force agissant sur le centre de masse du système. Étant donné que toutes les forces externes agissant sur un système peuvent provenir de différentes directions, il est essentiel de ne pas abandonner la notation vectorielle lorsque nous écrivons la force nette ! Si les forces sont déséquilibrées (c'est-à-dire que la force nette sur l'objet n'est pas nulle), l'objet accélère.
En revanche, la masse se trouve en dessous de la ligne de division sur le côté droit. Si le centre de masse du système était multiplié par dix, nous diviserions la force nette par une valeur dix fois plus grande que la valeur initiale. Par conséquent, l'accélération diminuerait d'un facteur dix. Par conséquent, l'accélération du centre de masse d'un système est inversement proportionnelle à la masse du système.
La figure ci-dessous illustre ce dont nous avons parlé plus haut. Assure-toi de bien la comprendre avant de poursuivre ta lecture.
Supposons que nous connaissions la masse d'un système et que nous ayons calculé son accélération à partir de la force nette. Comment cela nous aide-t-il à trouver les autres grandeurs dynamiques : la vitesse et le déplacement? La réponse se trouve dans la définition de l'accélération.
L'accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps.
Écrite sous forme d'équation, nous avons
\[\vec{a}_{text{avg}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t},\]
où \(\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{v_0}\) représente la différence entre la vitesse finale et la vitesse initiale. Tu reconnaîtras peut-être dans tes études de mathématiques précédentes que le côté droit ressemble à la pente d'une courbe. En effet, c'est ce que nous entendons par l'expression taux de changement dans la définition ci-dessus. Mais pourquoi avons-nous écrit \(\vec{a}_{\text{avg}}\) tout à l'heure au lieu de \(\vec{a}\) ?
Nous le faisons pour préciser que la formule ci-dessus est utilisée pour calculer l'accélération moyenne d'un objet. L'accélération moyenne, par opposition à l'accélération instantanée, signifie que nous calculons \(\Delta \vec{v}\) comme la différence entre la vitesse finale et la vitesse initiale sur un intervalle de temps fixe \(\Delta t\). Ce faisant, cependant, nous négligeons toutes les valeurs intermédiaires que la vitesse peut prendre. Cette valeur n'est donc qu'une moyenne.
Lavitesse est le taux de variation du déplacement par rapport au temps.
De même, la vitesse moyenne sur un intervalle de temps répond à l'équation suivante
\[\vec{v}_{text{avg}}=\frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}.\]
où \(\Delta \vec{x} = \vec{x} - \vec{x_0}\) désigne la différence entre le déplacement final et le déplacement initial. Travailler avec les valeurs moyennes de l'accélération et de la vitesse suffit à résoudre la plupart des problèmes que tu rencontreras dans les cours de physique basés sur l'algèbre. Mais tu es peut-être curieux de savoir comment rendre une valeur moyenne, qui n'est qu'une approximation, plus exacte. Pour ce faire, il faut faire appel au concept d'accélération instantanée que nous avons mentionné plus haut.
Plus l'intervalle de temps sur lequel la vitesse varie est petit, plus la valeur de l'accélération du centre de masse du système sera précise. Pour que le dénominateur soit arbitrairement petit sans que l'expression de l'accélération ne devienne indéfinie, nous devons emprunter une idée au calcul, que nous appelons une limite. Plus précisément, nous disons que dans la limite où l'intervalle de temps va jusqu'à zéro, l'expression résultante que nous obtenons est celle de la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
Pour t'amuser, voici à quoi ressemble l'accélération en tant que taux instantané de variation de la vitesse par rapport au temps dans un cours basé sur le calcul comme le cours de physique C de l'AP :
\[\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\]
Tu n'as pas à t'inquiéter d'apprendre cette équation. Lorsque tu étudieras le calcul, tu comprendras la signification du remplacement de \(\Delta \vec{v}\) et \(\Delta t\) par \(\mathrm{d}\vec{v}\) et \(\mathrm{d}t\).
10 applications de la deuxième loi du mouvement de Newton
Tu trouveras ci-dessous une liste de 10 applications de la deuxième loi de Newton sur le mouvement.
- Un golfeur frappe une balle de golf avec un club.
- Un garçon lâche une balançoire à corde pour plonger dans un lac.
- Une grue de construction soulève une poutre d'acier du sol.
- Une navette spatiale utilise ses manettes de gaz pour ajuster sa trajectoire dans l'espace.
- Un palet de hockey qui glisse ralentit jusqu'à s'arrêter.
- Une fille lance une balle à sa mère.
- Deux chiens s'affrontent à la lutte à la corde pour leur jouet à mâcher préféré.
- Une voiture percute une voiture garée et l'entraîne avec elle.
- Le système Terre-Lune se déplace sur une orbite fixe autour du Soleil.
- Deux ouvriers poussent une caisse sur une rampe.
Voici une question pour toi. As-tu noté passivement ce que chaque situation décrivait ou as-tu essayé de réfléchir aux quantités dynamiques impliquées dans chaque scénario ? La physique, tout comme les mathématiques, n'est pas un sport de spectateur. Tu dois réfléchir activement à ce que tu lis pour solidifier ta compréhension. Se poser des questions comme celles qui suivent est un excellent moyen d'y parvenir.
- Quels sont les systèmes en interaction dans ce scénario ?
- Quels sont les éléments constitutifs de chaque système, le cas échéant ?
- Quelle est la vitesse du système qui change ?
- Quelles sont les forces externes qui agissent sur le système en mouvement ?
- À quoi ressemblerait un diagramme de corps libre de ce scénario ?
L'exemple ci-dessous a pour but de te guider dans la manière de répondre efficacement à ces questions.
Réponds aux questions concernant le cas d'une grue de construction qui soulève une poutre en acier du sol.
- Quels sont les systèmes en interaction dans ce scénario ?
- Les systèmes en interaction sont la grue de construction et la poutre en acier.
- Quels sont les éléments constitutifs de chaque système, le cas échéant ?
- La poutre en acier est un objet solide et rigide qui ne comporte pas d'éléments constitutifs. En revanche, la grue a de nombreux composants : un moteur avec des contrepoids, la cabine de l'opérateur, le bras de travail, un chariot avec un bloc de crochet et un système de fils reliant le tout. Cependant, le seul élément de la grue que nous devons prendre en compte pour analyser le mouvement de la poutre en acier est le câble qui relie le bras de travail au bloc de crochet.
- Quel est le système dont la vitesse change ?
- La vitesse de la poutre en acier passe du repos à une valeur non nulle pointant vers le haut lorsqu'elle est tirée par la grue.
- Quelles sont les forces externes qui agissent sur le système en mouvement ?
- À quoi ressemblerait un diagramme de corps libre pour ce scénario ?
- Un diagramme de corps libre de ce scénario apparaît ci-dessous. Remarque que nous avons omis tous les détails à l'exception des deux forces agissant sur la poutre en acier : la force de tension appliquée de la chaîne de la grue qui tire vers le haut et la force de gravité qui tire la poutre vers le bas. Comme la poutre a une vitesse positive vers le haut, la force appliquée est plus importante que la force de gravité qui s'y oppose, comme le montrent les flèches.
Avant de passer à la section suivante, essaie de répéter l'exercice ci-dessus avec une autre des 10 applications de la deuxième loi de Newton que nous avons énumérées plus haut.
Centre de masse
Avec ces applications de la deuxième loi du mouvement de Newton fraîches dans ton esprit, c'est maintenant une excellente occasion de clarifier pourquoi nous avons continué à utiliser l'expression centre de masse dans la section précédente. Un système peut être composé de nombreuses pièces mobiles ou d'objets qui interagissent entre eux. Cependant, si les interactions entre les pièces mobiles n'affectent pas le mouvement vers l'extérieur du système dans son ensemble, nous pouvons les négliger.
Par exemple, les astronautes peuvent se déplacer à l'intérieur de la navette mais, vu de l'extérieur, ce qu'ils font n'a aucun effet sur le mouvement global du vaisseau. Nous disons donc que les variables \(\vec{x}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) se réfèrent toujours aux quantités du centre de masse pour souligner que nous ne nous intéressons qu'au mouvement global du système.
2 exemples de la deuxième loi du mouvement de Newton
Maintenant que nous avons vu quelques applications de la deuxième loi du mouvement de Newton, il est temps d'analyser deux exemples plus en détail. Choisissons-en deux dans la liste ci-dessus : la fille qui lance un ballon à sa mère et le système Terre-Lune. Nous avons choisi ces deux exemples parce que le premier est un exemple de mouvement de projectile, tandis que le second est un exemple de mouvement circulaire. Ces deux sujets sont abordés dans l'examen de physique 1 de l'AP, tu dois donc te familiariser avec ces idées !
Exemple de mouvement de projectile : Lancer une balle
Le mouvement d'un projectile se caractérise par le fait qu'il suit une parabole. En fait, le lancement d'un projectile dans n'importe quelle direction autre que la verticale directe vers le haut entraînera un mouvement parabolique ; la modification de l'angle de lancement n'aura d'effet que sur la portée du projectile. Par souci de simplicité, nous négligerons la résistance de l'air. Par conséquent, la force nette agissant sur la balle à chaque point de son vol sera la force de gravité. La figure ci-dessous représente la balle au point le plus élevé de sa trajectoire. À ce point précis de la trajectoire, la vitesse verticale de la balle est nulle, c'est pourquoi nous avons omis le vecteur le long de cette direction.
Une balle lancée à un angle de 45° tracera une parabole, StudySmarter Originals.
Connaissant l'angle et la vitesse initiale à laquelle la balle a été lancée, il peut être intéressant de connaître le déplacement vertical maximal qu'elle atteint. L'exemple suivant nous aidera à déterminer quantitativement la réponse à cette question.
Question
Une fille lance une balle à une vitesse de \(5,\mathrm{\frac{m}{s}}\) vers sa mère. Si l'angle auquel elle lance la balle est de \(45^\circ\), quelle est la hauteur maximale que la balle atteint le long de sa trajectoire ? Suppose que la fille mesure \N(1,40 \N, \Nmathrm{m}\N). Ignore les effets de la résistance de l'air.
Solution
Tout d'abord, note que la seule force agissant sur la balle pendant son vol est la force de gravité. Comme cette force accélère uniformément tous les objets qui tombent, nous sommes dans une situation d'accélération constante. Cela signifie que nous pouvons utiliser les équations cinématiques. De plus, nous ne sommes pas intéressés par le déplacement horizontal de la balle, nous n'avons donc besoin que de considérer son mouvement le long de la direction verticale.
Nous procédons en invoquant l'équation cinématique indépendante du temps :
\[v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y(y - y_0).\N-]
La vitesse verticale de la balle sera nulle au point le plus élevé de son vol, nous pouvons donc fixer \(v_y = 0\\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Avec ces informations, nous pouvons réarranger l'équation pour résoudre la quantité qui nous intéresse :
\0 &= v_{0y}^2 + 2a_yy - 2a_yy_0,\N -2a_yy &= v_{0y}^2 - 2a_yy_0,\Ny &= -\frac{v_{0y}^2}{2a_y} + y_0.\Nend{align}
où \(y\) désigne la hauteur maximale de la balle.Nous savons maintenant que l'accélération verticale est l'accélération due à la gravité, donc \(a_y = -9,8\\\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}}\N). De plus, \(y_0 = 1,40 \, \mathrm{m}\) correspond à la hauteur de la jeune fille. Qu'en est-il de la vitesse initiale de la balle dans le sens vertical ?
Ici, nous devons utiliser un peu de trigonométrie de base :
\begin{align} v_{y0} &= \vec{v}_0\sin(\theta)\\N- &= 5,\mathrm{\frac{m}{s}}\sin(45^\circ)\N- &= 5,\mathrm{\frac{m}{s} \contre \frac{\rt{2}}{2} \N- &= 3.54 \N-,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}.\Nend{align}
Nous sommes maintenant en mesure de substituer toutes les quantités connues :
\begin{align} y &= -\frac{v_{0y}^2}{2a_y} + y_0,\N= \Nfrac{-\Ngauche(3.54 \Nmathrm{\Nfrac{m}{s}\Ndroite)^2}{2\Ngauche(-9.8 \Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}\Ndroite)} + 1.40 \Nmathrm{m},\Nfrac{ 2.04 \Nmathrm{m}.\Nend{align}
Ainsi, la balle atteint une hauteur maximale de \(2,04 \N, \Nmathrm{m}\N).
Nous avons résolu le problème ci-dessus à l'aide de l'équation cinématique indépendante du temps. Cependant, ce n'est pas la seule façon d'arriver à la réponse. Penses-tu à une autre méthode ?
Conseil: Utilise \(v_y = v_{0y} + a_yt\) pour résoudre le temps nécessaire à la balle pour atteindre sa hauteur maximale, puis insère ce résultat dans l'équation cinématique quadratique.
Exemples de mouvements circulaires : Le système Terre-Lune
La figure ci-dessous est un diagramme de corps libre d'un objet en orbite autour d'un champ de force central. Au centre du diagramme, nous avons la source gravitationnelle, tandis qu'à droite, nous avons l'objet en orbite. Comme le Soleil maintient le système Terre-Lune en orbite autour de lui en raison de la gravité, et que la gravité est une force, il s'agit d'un exemple de la deuxième loi de Newton. Le point jaune est le Soleil, tandis que le point bleu entouré d'un point gris est le système Terre-Lune.
Pourquoi ignorons-nous le mouvement de la lune dans cet exemple ? Bien qu'elle ressente une attraction gravitationnelle vers le Soleil, son interaction gravitationnelle avec la Terre est beaucoup plus forte. En effet, il est incorrect de dire que la Terre tourne autour du Soleil. C'est plutôt le centre de masse du système Terre-Lune qui tourne autour du Soleil. Dit autrement, l'interaction entre la Terre et la Lune ne contribue pas à l'accélération de leur centre de masse due à la force extérieure exercée par le Soleil.
Selon les lois de Kepler, les orbites planétaires sont en fait des ellipses, ce qui signifie qu'elles ne sont pas parfaitement circulaires. Cependant, dans de nombreux cas comme celui-ci, on peut considérer que le mouvement du système Terre-Lune autour du Soleil est circulaire.
Applications de la deuxième loi - Points clés à retenir
- Le déplacement, la vitesse et l'accélération du centre de masse d'un système décrivent son mouvement linéaire.
- L'accélération du centre de masse d'un système sera toujours dans la même direction que la force nette qui agit sur lui.
- L'accélération du centre de masse d'un système est directement proportionnelle à la force nette qui agit sur lui et inversement proportionnelle à sa masse.
- L'accélération \(\vec{a}\) est égale au taux de variation de la vitesse par rapport au temps.
- La vitesse \(\vec{v}\) est égale au taux de changement de position par rapport au temps.
- Les variables \(\vec{x}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) font toutes référence aux quantités du centre de masse.
- Si les objets en interaction font partie du même système, la vitesse du centre de masse de ce système ne changera pas.
Références
- Fig.1 - Accélération d'une pomme qui tombe, StudySmarter Originals
- Fig.2 - Diagramme de corps libre d'une poutre en acier, StudySmarter Originals
- Fig.3 - Une balle lancée suit une parabole, StudySmarter Originals
- Fig.4 - Le système Terre-Lune en orbite autour du Soleil, StudySmarter Originals
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