Angle de phase
Dans les articles précédents, nous avons discuté de l'équation différentielle qui décrit le mouvement oscillatoire, en particulier le mouvement harmonique simple. Nous savons que la solution qui satisfait l'équation s'exprime comme suit
$$x=A\sin\gauche(\omega t+\phi_0\droite).$$
Où \(A\) est l'amplitude en mètres \((\mathrm m)\), \(\omega\) est la fréquence angulaire en radians par seconde \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\), et \(\phi_0\) est la phase initiale en radians \((\mathrm{rad})\).
L'angle de phase est la composante angulaire d'une onde périodique, telle qu'elle est définie comme l'argument de la fonction sinusoïdale, \(\oméga t+\phi_0\). En choisissant \(\phi_0\), nous spécifions la position initiale de l'objet oscillant pour être sûrs d'avoir la bonne équation avec la position de l'oscillateur, quel que soit l'endroit où il se trouvait à \(t=0\). Nous pouvons reformuler l'équation ci-dessus en termes de symbole \(\phi\) pour l'angle de phase.
$$\begin{align*}\phi&=\omega t+\phi_0,\\x&=A\sin\left(\phi\right).\end{align*}$$
Pour déterminer la phase initiale, nous utilisons la formule suivante :
$$\phi_0=\sin^{-1}\left(\frac{x_0}A\right),$$
où \( A\) est l'amplitude en mètres \((\mathrm m)\) et \(x_0\) est la position initiale de l'objet à \(t=0\) en mètres \ ((\mathrm m)\).
Un oscillateur harmonique simple a une amplitude de \(3.0\;\mathrm{cm}\) et une fréquence de \ (4.0\;\mathrm{Hz}\). Au moment \N(t=0\N), sa position est \N(y=3,0\N;\Nmathrm{cm}\N). Où est-elle au moment \N(t=0,3\N;\Nmathrm s\N) ?
L'amplitude est de \(A=0,03\;\mathrm m\) et la fréquence angulaire est de \(\omega=2\pi f=2\pi(4,0\;\mathrm{Hz})=8\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}}\). Nous pouvons maintenant déterminer la phase initiale,
\begin{align*}\phi_0&=\sin^{-1}\left(\frac{y_0}A\right),\\\phi_0&=\sin^{-1}\left(\frac{0.03\;\mathrm m}{0.03\;\mathrm m}\right),\\\phi_0&=\frac\pi2.\end{align*}
Nous connaissons maintenant la position de l'oscillateur à tout moment,
$$y(t)=0.03\sin\left(8\pi t+\frac\pi2\right).$$
Nous pouvons trouver la position de l'oscillateur à l'instant \N (t=0,3\N;\Nmathrm s\N),
\begin{align*}y(0.3\;\mathrm s)&=(0.03\;\mathrm m)\sin\left((8\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}})(0.3\;\mathrm s)\;+\;\frac\pi2\;\mathrm{rad}\right),\\y(0.3\;\mathrm s)&=0.0093\;m.\end{align*}
La position d'un oscillateur est donnée par l'équation :
$$y=(0.04\;\mathrm m)\sin\left((6\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})t-\frac\pi2;\mathrm{rad}\\N{\rmathrm s})\Ndroit).$$
Où se trouve l'oscillateur à l'instant \(t=0\) ?
\begin{align*}y(0\;\mathrm s)&=(0.04\;\mathrm m)\sin\left((6\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}})(0\;\mathrm s)-\frac\pi2\;\mathrm{rad}\;\right),\\y(0\;\mathrm s)&=-0.04\;\mathrm m.\end{align*}
La phase initiale déterminera si une fonction sinus ou cosinus est utilisée pour décrire la position de l'objet oscillant. Par exemple, si \(\phi_0=\frac\pi2\) nous pouvons utiliser une fonction cosinus au lieu d'une fonction sinus pour la phase initiale. Ceci est dû à l'identité trigonométrique, \sin\left(\frac\pi2+\theta\right)=\cos\left(\theta\right)\). Le tableau ci-dessous explique comment les deux expressions donnent les mêmes résultats à tout moment.
| Equation | \(t=0\) | \(t=\frac\pi{2\omega}\) |
| \(\sin\left(\omega t+\;\frac\pi2\right)\) | 1 | 0 |
| \N- (\Ncos\Nà gauche(\Noméga t\Nà droite)\N) | 1 | 0 |
Pour l'anecdote, l'angle de phase joue un rôle très important en physique expérimentale, notamment en électronique où il existe une relation directe entre la tension et les fonctions sinusoïdales. En électronique, l'angle de phase désigne le déplacement angulaire entre les formes d'onde de la tension et du courant dans un circuit de courant alternatif.
Comprendre la phase initiale d'un graphique
Nous avons abordé la définition théorique de l'angle de phase et de la phase initiale. Comment comprendre l'impact de la modification de la phase initiale d'une fonction sinusoïdale ? Il est plus facile de comprendre si nous représentons réellement les fonctions sinusoïdales dans un graphique.
Fig. 1 - Différents exemples de phases initiales pour visualiser l'impact de l'ajustement de la phase initiale d'une fonction sinusoïdale.
D'après l'image ci-dessus, nous voyons qu'à la valeur initiale \(x=0\), \(f(0)=\sin\à gauche(0\à droite)=0\). Pour la même fonction sinusoïdale avec une phase initiale \(\phi_0=\frac{-\pi}4\), \(f(0)=\sin\left(0-\frac\pi4\right)=-\frac{\sqrt2}2\) et \(f(\frac\pi4)=\sin\left(\frac\pi4-\frac\pi4\right)=0\). Nous remarquons que la fonction sinus s'est déplacée horizontalement vers la droite d'une valeur de \(\frac\pi4\). Si nous changeons la phase initiale en \N(\Nphi_0=-\Npi\N), nous remarquons que la fonction sinusoïdale se déplace vers la droite d'une valeur de \N(\Npi\N). Nous remarquons ici un schéma : une phase initiale négative décale la fonction horizontalement vers la droite, tandis qu'une phase initiale positive la décale horizontalement vers la gauche. Ce phénomène est représenté visuellement dans la figure ci-dessous.
Fig. 2 - Fonction sinusoïdale : cas où la phase initiale est nulle.
Fig. 3 - Effet d'une phase initiale positive sur une fonction sinusoïdale.
Fig. 4 - Effet d'une phase initiale négative sur une fonction sinusoïdale.
Angle de phase - Principaux enseignements
- La solution de l'équation différentielle qui décrit le mouvement oscillatoire, en particulier le mouvement harmonique simple, est : \(x=A\sin\à gauche(\oméga t+\phi_0\à droite)\).
- L'angle de phase est la composante angulaire d'une onde périodique, telle qu'elle est définie comme l'argument de la fonction sinusoïdale, \(\omega t+\phi_0\).
- Nous utilisons la phase initiale pour spécifier laposition initiale del'objet oscillant pour nous assurer que nous avons la bonne équation avec la position de l'oscillateur, quel que soit l'endroit où il se trouvait à \(t=0\), \(\phi_0=\sin^{-1}\left(\frac{x_0}A\right)\).
- Une phase initiale négative déplace la fonction horizontalement vers la droite, tandis qu'une phase initiale positive la déplace horizontalement vers la gauche.
Références
- Fig. 1 - Différents exemples de phases initiales pour visualiser l'impact de l'ajustement de la phase initiale d'une fonction sinusoïdale, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - Fonction sinusoïdale : cas où la phase initiale est nulle, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Effet d'une phase initiale positive sur une fonction sinusoïdale, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Effet d'une phase initiale négative sur une fonction sinusoïdale, StudySmarter Originals
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