Fig. 1 - Felix Baumgartner est sur le point de commencer son plongeon dans l'espace. Une fois qu'il s'est penché en avant, il ne peut plus revenir en arrière !
Normalement, la résistance de l'air devrait le ralentir. Mais Felix était si haut au-dessus de la Terre que la résistance de l'air avait un effet trop faible, et il était donc en chute libre totale. Avant d'ouvrir son parachute, Félix a franchi le mur du son et battu de nombreux records du monde. Cet article explique ce qui a permis à Felix d'atteindre la vitesse qu'il a atteinte -l'accélération gravitationnelle : sa valeur, sa formule, ses unités et son calcul - et donne quelques exemples d'accélération gravitationnelle.
Valeur de l'accélération gravitationnelle
Un objet qui ne subit que l'accélération gravitationnelle est dit en chute libre.
L'accélération gravitationnelle est l'accélération que subit un objet lorsque la gravité est la seule force qui agit sur lui.
Quelles que soient leurs masses ou leurs compositions, tous les corps accélèrent à la même vitesse dans le vide. Cela signifie que s'il n'y avait pas de frottement de l'air, deux objets tombant de la même hauteur atteindraient toujours le sol simultanément. Mais quelle est l'ampleur de cette accélération ? Eh bien, cela dépend de l'ampleur de la force avec laquelle la Terre nous tire.
L'ampleur de la force que la Terre exerce sur nous à un endroit fixe de la surface est déterminée par l'effet combiné de la gravité et de la force centrifuge causée par la rotation de la Terre. Mais aux hauteurs habituelles, nous pouvons ignorer les contributions de cette dernière, car elles sont négligeables par rapport à la force gravitationnelle. Par conséquent, nous nous concentrerons uniquement sur la force gravitationnelle.
La force de gravité près de la surface de la Terre peut être considérée comme approximativement constante. En effet, elle change trop peu pour les hauteurs normales qui sont trop petites par rapport au rayon de la Terre. C'est la raison pour laquelle on dit souvent que les objets sur Terre tombent avec une accélération constante.
Cette accélération en chute libre varie à la surface de la Terre, allant de \(9,764\) à \(9,834\,\mathrm{m/s^2}\) en fonction de l'altitude, de la latitude et de la longitude. Cependant, \(9,80665\,\mathrm{m/s^2}\) est la valeur standard conventionnelle. Les zones où cette valeur diffère de manière significative sont connues sous le nom d'anomalies gravitationnelles.
Formule d'accélération gravitationnelle
Selon la loi de la gravitation de Newton, il existe une attraction gravitationnelle entre deux masses quelconques et elle est orientée de manière à pousser les deux masses l'une vers l'autre. Chaque masse ressent la même magnitude de force. Nous pouvons la calculer en utilisant
l'équation suivante :
$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\$$
où \(m_1) et \(m_2) sont les masses des corps, \(G) est la constante gravitationnelle égale à \(6.67\\Nfois 10^{-11}\N,\Nmathrm{\Nfrac{m^2}{s^2\N,kg}}\Net \N(r) est la distance entre les centres de masse des corps. Comme nous pouvons le voir, la force de gravité est directement proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres de masse. Lorsque nous parlons d'une planète comme la Terre, qui attire un objet ordinaire, nous faisons souvent référence à la force gravitationnelle comme étant le poids de cet objet.
Le poids d'un objet est la force gravitationnelle qu'un objet astronomique exerce sur lui.
Tu as peut-être vu qu'on calcule souvent l'ampleur du poids, \( W, \) d'un objet sur Terre à l'aide de la formule :
$$W= mg,$$
où \( m \) est la masse de l'objet et \(g\) est généralement appelé l'accélération due à la gravité sur Terre. Mais d'où vient cette valeur ?
Nous savons que le poids d'un corps n'est rien d'autre que la force gravitationnelle que la Terre exerce sur lui. Comparons donc ces forces :
\begin{aligned} W&=m\textcolor{#00b695}{g} \\N-[6pt] F_g &= \frac{GM_\text{E} m}{r_\text{E}^2}= m \color{#00b695}{\frac{GM_\text{E}}{r_\text{E}^2}} \\N- \N- \N- \N- \N- \N- \Nend{aligned}
Si nous identifions \( g\N) comme \N( \frac{GM_\text{E}}{r_\text{E} \N) nous obtenons un raccourci pour calculer la force gravitationnelle sur l'objet - son poids - simple comme \N(w=mg\N). Cette méthode est si utile que nous avons défini une grandeur physique pour s'y référer spécifiquement : l'intensité du champ gravitationnel.
L'intensité du champ gravitationnel d'un objet astronomique en un point est définie comme le vecteur ayant la magnitude suivante
$$ |\vec{g}| = \frac{|\vec{F}_g|}{m}$$.
La direction de ce vecteur pointe vers le centre de masse de l'objet.
Et maintenant, tu te demandes peut-être pourquoi nous l'appelons "accélération due à la Terre" ? Si le poids est la seule force agissant sur notre objet, la loi de Newtown Second nous dit que
\NMa &= F\NMa &= w\NMa &= mg\Na &= g.\Nend{aligned}
l'accélération de l'objet est égale à l'intensité du champ gravitationnel, quelle que soit la masse de l'objet ! C'est pourquoi nous calculons l'accélération en chute libre ou l'accélération gravitationnelle de la Terre comme suit
$$ g = \frac{GM_\text{E}}{r_\text{E}^2},$$
puisque la valeur numérique est la même, il s'agit juste d'une différence conceptuelle.
Note que l'accélération gravitationnelle de la Terre ne dépend que de la masse et du rayon de la Terre (puisque nous considérons que l'objet se trouve à la surface de la Terre). Cependant, il y a une mise en garde à ce sujet. La Terre n'est pas parfaitement sphérique ! Son rayon change en fonction de l'endroit où nous nous trouvons. En raison de la forme de la Terre, la valeur de l'accélération gravitationnelle est différente aux pôles et à l'équateur. Alors que la gravité à l'équateur est d'environ \N(9,798\N,\Nmathrm{m/s^2}\N), elle est proche de \N(9,863\N,\Nmathrm{m/s^2}\N) aux pôles.
Unités d'accélération gravitationnelle
À partir de la formule de la section précédente, nous pouvons trouver l'unité de l'accélération gravitationnelle. Rappelle-toi que l'unité de la constante gravitationnelle \(G\) est \(\mathrm{m^3/s^2\,kg}\), l'unité de masse est \(\mathrm{kg}\), et l'unité de distance est \(\mathrm{m}\, \mathrm{mètres}\). Nous pouvons insérer ces unités dans notre équation pour déterminer les unités de l'accélération gravitationnelle :
$$\begin{align*} [g] &=\left[ \frac{Gm_\text{E} }{r_\text{E}^2}\right] \\N- [g] &=\left[ \frac{\frac{\mathrm{m}^3 \,\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2 \,kg}}{\mathrm{m^2}} \right] \right] \end{align*}}$$
Ensuite, nous pouvons rayer les \(\mathrm{kg}\) et les mètres au carré en haut et en bas :
$$[g]=\left[\mathrm{m/s^2}\right]\\\mathrm{.}$$
L'unité d'accélération gravitationnelle est donc \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), ce qui est logique ! Après tout, il s'agit bien d'une accélération !
Note que les unités de l'intensité du champ gravitationnel, \( \vec{g}, \N) sont \( \mathrm{\frac{N}{kg}}. \N) Encore une fois, la différence est juste conceptuelle. Et après tout, \N- 1\Nmathrm{\Nfrac{N}{kg}} =1\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}} . \N- 1\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}} . \N- 1\Nmathrm{\Nfrac{N}{s^2}}.
Calcul de l'accélération gravitationnelle
Nous avons vu comment calculer l'accélération due à la gravité sur la Terre. Mais la même idée s'applique à toute autre planète ou corps astronomique. Nous pouvons calculer son accélération gravitationnelle à l'aide de la formule générale :
$$ g=\frac{GM}{R^2}.$$
Dans cette formule, \N( M \N) et \N( R \N) sont respectivement la masse et le rayon de l'objet astronomique. Et nous pouvons savoir que la direction de cette accélération sera toujours vers le centre de masse de l'objet astronomique.
Il est maintenant temps d'appliquer certaines de nos connaissances à des exemples concrets.
Calcule l'accélération gravitationnelle due à la pesanteur sur la lune qui a une masse de (7,35 fois 10^{22} \N,\Nmathrm{kg}\N) et un rayon de (1,74 fois 10^6 \N,\Nmathrm{m}\N).
Solution
Insérons les valeurs données dans notre formule d'accélération gravitationnelle :
$$\begin{align*} g&= \frac{GM}{R^2}\\[6pt]g&=\frac{\left(6.67\times 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2\,kg}}\right)\left(7.35\times 10^{22}\\Nmathrm{kg}\Ndroite)}{(1.74\Ntimes 10^6\Nmathrm{m})^2} \\[6pt] g&=1.62\,\mathrm{m/s^2.} \Nend{align*}$$$
Calcule l'accélération due à la gravité a) à la surface de la Terre et b) \N(r= 3500\\N,\Nmathrm{km}\N) au-dessus de la surface de la Terre. La masse de la Terre est \N(5.97\\Nfois 10^{24} \N,\Nmathrm{kg}\N) et son rayon est \N(R_\text{E}=6.38\Nfois 10^6 \N,\Nmathrm{m}\N).
Fig 2 - Sur l'image, dans le cas \N(A\N), l'objet se trouve à la surface de la Terre. Dans le cas B, nous sommes au-dessus de la surface à environ 3500 km.
Solution
a) Lorsque nous sommes à la surface de la Terre, nous considérons la distance comme le rayon de la Terre. Insérons les valeurs dans notre équation :
$$\begin{align*} g&=\frac{GM_\text{E} }{R_\text{E}^2} \N-[6pt] g&= \Nfrac{\Nà gauche(6.67\Nfois 10^{-11} \Nmathrm{\Nfrac{m^3}{s^2\Nkg}\Nà droite)(5.97\Nfois 10^24 \Nmathrm{kg})}{(6.38\Nfois 10^6 \Nmathrm{m})^2} \\[6pt] g&= 9.78\,\mathrm{m/s^2.} \N- \N- \N- \N- \Nend{align*}}$$$
b) Lorsque nous sommes à \(3500,\mathrm{km}\) au-dessus de la surface de la Terre, nous devons ajouter cette valeur au rayon de la Terre puisque la distance totale est augmentée. Mais d'abord, n'oublions pas de convertir \(\mathrm{km}\) en \(\mathrm{m}\) :
$$ r=3.5 fois 10^6 \Nmathrm{m} + 6,38 fois 10^6 \N- \N- \N- \N- \N- \N- = 9,88 fois 10^6 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- $$
Nous sommes maintenant prêts à substituer et à simplifier.
$$\begin{align*}g&=\frac{Gm_\text{E}}{r^2} \N-[6pt] g&= \frac{\Nà gauche(6.67\Nfois 10^{-11} \Nmathrm{\Nfrac{m^3}{s^2\Nkg}}\Nà droite)(5.97\Nfois 10^24 \Nmathrm{kg})}{(9.88\Nfois 10^6 \Nmathrm{m})^2} \\[6pt] g&=4.08\,\mathrm{m/s^2.}\end{align*}$$
Comme nous pouvons le constater, lorsque la distance est si grande qu'elle est significative par rapport au rayon de la Terre, l'accélération due à la gravité ne peut plus être considérée comme constante car elle diminue sensiblement.
Exemples d'accélération gravitationnelle
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons vu que lorsque l'altitude augmente, la valeur de la gravité diminue. En regardant le graphique ci-dessous, nous voyons comment cela change exactement. Remarque qu'il ne s'agit pas d'une relation linéaire. C'est ce que l'on attend de notre équation puisque la gravité est inversement proportionnelle au carré de la distance.
Fig. 3 - Voici un graphique de l'accélération gravitationnelle en fonction de l'altitude. À mesure que l'altitude augmente, la valeur de la gravité diminue.
L'accélération gravitationnelle a des valeurs différentes selon les planètes en raison de leurs masses et de leurs tailles différentes. Dans le tableau suivant, nous pouvons voir l'accélération gravitationnelle sur les surfaces de différents corps astronomiques.
| Corps | Accélération gravitationnelle \(\mathrm{m/s^2}\) |
| Soleil | \(274.1\) |
| Mercure | \(3.703\) |
| Vénus | \(8.872\) |
| Mars | \(3.72\) |
| Jupiter | \(25.9\) |
| Uranus | \(9.01\) |
Accélération gravitationnelle - Principaux points à retenir
- L'accélérationgravitationnelle est l'accélération que subit un objet lorsque la gravité est la seule force qui agit sur lui.
- La force de gravité est directement proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres de masse$$F_g = G\frac{m_1 m_2}{r^2}.$$
- Le poids d'un objet est la force gravitationnelle qu'un objet astronomique exerce sur lui.
- Si la force de gravité entre le centre de masse de deux systèmes présente une variation négligeable lorsque la position relative entre les deux systèmes change, la force gravitationnelle peut être considérée comme constante.
- La valeur standard conventionnelle de l'accélération gravitationnelle sur Terre est \N(9,80665\N,\Nmathrm{m/s^2}.\N).
- À mesure que l'altitude augmente, la gravité diminue. Cet effet est perceptible pour les hauteurs qui ne sont pas négligeables par rapport au rayon de la Terre.
- Un objet qui ne subit que l'accélération gravitationnelle est dit en chute libre.
- Tous les objets tombent à la même vitesse lorsqu'ils sont en chute libre.
- Lorsque le poids est la seule force agissant sur un objet, son accélération est égale à la magnitude du champ gravitationnel, mais en \( \mathrm{\frac{m}{s}}.\r}).
Références
- Fig. 1 -Saut dans l'espace (https://www.flickr.com/photos/massimotiga/8090904418) par Massimo Tiga Pellicciardi (https://www.flickr.com/photos/massimotiga/) sous licence CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/)
- Fig. 2 - Accélération gravitationnelle pour l'exemple de la Terre, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - L'accélération gravitationnelle varie en fonction de l'altitude, StudySmarter Originals
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