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L'ampleur de cette force est ce que l'on appelle le poids de l'objet. L'accélération a d'un objet doit maintenant être remplacée par g, qui désigne l'accélération due à la gravité.
En vertu de la deuxième loi du mouvement de Newton, nous savons que :
\[F = m \cdot a \c]
Ici, a peut être remplacé par g, ce qui nous donne :
\[F = m \cdot g\]
Il s'agit du poids de l'objet sous l'influence de la gravité terrestre (souvent désigné par W). L'unité de poids est la même que celle de la force, à savoir N (appelée Newton, en l'honneur de Sir Isaac Newton) ou kg ⋅ m/s. Parce qu'il dépend de g, le poids de tout objet dépend de sa situation géographique.
Par exemple, même si la différence sera relativement faible, le poids d'un objet d'une certaine masse sera plus important au niveau de la mer par rapport à son poids au sommet d'une montagne.
F est une quantité vectorielle, car elle possède à la fois une magnitude et une direction.
Accélération due à la gravité à la surface de la terre
Pour un objet symétrique, la force de gravitation agit vers le centre de l'objet. La valeur de g est presque constante près de la surface de la terre, mais lorsqu'on s'éloigne de la surface de la terre, la force de gravité diminue au fur et à mesure que la hauteur augmente.
L'accélération produite dans un corps en chute libre par la force de gravité d'un autre objet, comme une planète, est connue sous le nom d'accélération due à la gravité.
Figure 2. Un objet de masse m sous l'influence d'un corps plus grand, tel qu'une planète de masse M.
En se basant sur des données expérimentales, on a observé que l'accélération due à la gravité est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet par rapport au centre de masse de l'objet plus grand.
\N[g \Npropto \Nfrac{1}{r^2}\N]
Ici, r est la distance de l'objet par rapport au centre de la terre. L'accélération due à la gravité est non seulement inversement proportionnelle à r^2 mais aussi directement proportionnelle à la masse du corps attiré, dans ce cas, la terre.
Ainsi, l'accélération due à la gravité sur la terre est différente de l'accélération due à la gravité sur la lune. Nous avons donc une autre proportionnalité, comme suit :
\N- [g \Npropto M\N].
Nous supposons que la masse de l'objet est nettement inférieure à la masse de la planète ou du corps vers lequel il est attiré. Algébriquement, cela s'écrit comme suit :
\[m << M\]
Ici, m = masse de l'objet et M = masse de l'objet plus gros ou de la planète.
En combinant ces deux proportionnalités, on obtient :
\[g \propto \frac{M}{r^2}\]
Pour éliminer la proportionnalité et obtenir l'égalité, il faut introduire une constante de proportionnalité , connue sous le nom de constante universelle de gravitation , désignée par G.\[g = \frac{GM}{r^2}\]
En se basant sur des données expérimentales, on a trouvé que la valeur de G pour la terre est G = 6,674⋅10-11 Nm2 kg-2.
Suppose que l'objet ne se trouve pas à la surface de la terre mais à une hauteur h de la surface. Dans ce cas, sa distance par rapport au centre de masse de la terre sera maintenant de :
\N- [r = R + h\N]
Ici, R est le rayon de la terre. En remplaçant r par l'équation précédente, nous obtenons maintenant :
\[g = \frac{MG}{(R + h)^2}\]
(&)
Par conséquent, nous pouvons voir que lorsque h augmente, la force de gravité diminue.
Accélération due à la gravité sous la surface de la terre
L'accélération due à la gravité ne suit pas la relation quadratique lorsque l'objet se trouve sous la surface de la terre. En fait, l'accélération et la distance dépendent linéairement l'une de l'autre pour r < R (sous la surface de la terre).
Si un objet se trouve à une distance r du centre de la terre, la masse de la terre responsable de l'accélération due à la gravité en ce point sera :
\[m = \frac{Mr^3}{R^3}\]
Ceci peut être facilement déduit en utilisant la formule du volume d'une sphère.
Nous avons supposé que la Terre était une sphère, mais en réalité, le rayon de la Terre est à son minimum aux pôles et à son maximum à l'équateur. La différence est assez faible, c'est pourquoi nous supposons que la Terre est une sphère pour simplifier les calculs. L'accélération due à la gravité suit la proportionnalité expliquée précédemment :
\[g \propto \frac{m}{r^2}\].
En substituant m, on obtient :
\[g = \frac{GMr}{R^3} g \propto r\]
Nous pouvons maintenant constater que G, M et R étant des constantes pour un objet ou une planète donnée, l'accélération dépend linéairement de r. Par conséquent, nous voyons que lorsque r s'approche de R, l'accélération due à la gravité augmente selon la relation linéaire ci-dessus, après quoi elle diminue selon&, que nous avons dérivé plus tôt. Dans la pratique, la plupart des problèmes du monde réel impliquent que l'objet se trouve à l'extérieur de la surface de la terre.
Interprétation géométrique de l'accélération due à la gravité
L'accélération due àla gravité a une relation linéaire avec r jusqu'à la surface de la terre, après quoi elle est décrite par la relation quadratique que nous avons définie plus tôt.
On peut le constater géométriquement à l'aide du graphique ci-dessus. À mesure que r augmente, g atteint sa valeur maximale lorsque r=R=radius de la terre, et à mesure que l'on s'éloigne de la surface de la terre, la force de g diminue selon la relation :
\[g \propto \frac{1}{r^2}\].
L'équation décrit une parabole, ce qui est assez intuitif, étant donné la définition que nous avons vue précédemment.
Nous remarquons également que la valeur de l'accélération due à la gravité est de 0 au centre de la terre et presque de 0 lorsqu'on s' éloigne de la surface de la terre . Pour démontrer l'application de ce concept, considère l'exemple suivant.
La station spatiale internationale, qui fonctionne à une altitude de 35⋅104 mètres de la surface de la terre, prévoit de construire un objet dont le poids est de 4,22⋅106 N à la surface de la terre. Quel sera le poids du même objet une fois qu'il sera arrivé sur l'orbite de la Terre ?
Note que g=9,81 ms-2, le rayon de la Terre, R=6,37⋅106m , et la masse de la Terre, M= 5,97⋅1024. kg.
Applique l'équation correspondante, remplace les valeurs fournies et résous la valeur inconnue. Parfois, une équation ne suffit pas, dans ce cas résous deux équations, car les données fournies peuvent ne pas être suffisantes pour être directement substituées.
\[F = m \cdot g\]
\[g = \frac{MG}{r^2}\]
À la surface de la terre, nous savons que :
\[F = m \cdot g\]
\N- Par conséquent, m = \Nfrac{F}{G}\N]
\[m = \frac{4.22 \cdot 10^6 N}{9.81 m s^{-2}} m = 4.30 \cdot 10^5 kg\]
Maintenant que nous avons déterminé la masse de l'objet, nous devons utiliser la formule de l'accélération due à la gravité pour déterminer g à l'emplacement orbital :
\[g = \frac{MG}{r^2}\]
Maintenant, nous substituons les valeurs, ce qui nous donne :
\[g = \frac{(5,97 \cdot 10^{24} kg) \cdot (6,674 \cdot 10^{-11} Nm^2 kg^{-2})}{(6,37 \cdot 10^6 m + 35 \cdot 10^4 m)^2}\].
Et nous avons ainsi déterminé l' accélération due à la gravité à l'emplacement orbital.
Il convient de noter que r est la distance par rapport au centre de la terre, ce qui nécessite de modifier notre équation comme suit :
r = rayon de la terre + distance de l'orbite par rapport à la surface = R + h.
Maintenant, nous insérons nos valeurs calculées pour g et m dans la formule initiale du poids:
\[F = mg\]
\[F = (4,31 \cdot 10^5 kg) \cdot 8,82 ms^{-2} \qquad F = 3,80 \cdot 10^6 N\]
Nous connaissons maintenant aussi le poids de l'objet à l'emplacement orbital.
N'oublie pas de préciser les unités de la quantité que tu calcules, et convertis toujours les données fournies en unités similaires (de préférence en unités SI).
Accélération due à la gravité - Principaux enseignements
- La direction de l'accélération due à la gravité est toujours vers le centre de masse de l'objet le plus grand.
- L'accélération due à la gravité est indépendante de la masse de l'objet lui-même et n'est fonction que de sa distance par rapport au centre de masse de l'objet plus grand.
- La force de gravité est maximale à la surface de l'objet plus grand.
- L'accélération due à la gravité diminue progressivement à mesure que l'on s'éloigne de la surface de la terre (ou de tout objet en général).
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