Définition de l'accélération angulaire
Nous utilisons l'accélération linéaire pour décrire un changement de vitesse linéaire, mais comment décrire un changement de vitesse de rotation d'un objet en rotation ? Comme le taux de rotation est la vitesse angulaire, tu ne seras peut-être pas surpris d'apprendre que l'accélération angulaireest l'équivalent rotationnel de l'accélération linéaire. Alors que l'accélération linéaire décrit le taux de changement de la vitesse linéaire, l'accélération angulaire est le taux de changement de la vitesse angulaire \(\oméga\).
De même que pour la vitesse angulaire, la convention stipule que l'accélération angulaire qui entraîne une augmentation du taux de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est positive, tandis qu'une augmentation du taux de rotation dans le sens des aiguilles d'une montre est causée par une accélération angulaire négative.
L'accélération angulaire est une unité pseudo-scalaire. Cela signifie qu'elle se comporte comme une unité scalaire car elle ne nécessite qu'une magnitude pour être entièrement définie, mais elle change de signe en fonction de la direction à partir de laquelle tu regardes : un ventilateur de plafond peut tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du bas, mais si tu le regardes à partir du haut, il tournera dans le sens des aiguilles d'une montre ! Selon le cadre de référence, une accélération angulaire positive peut toujours augmenter la vitesse de rotation dans l'une ou l'autre direction. Pour définir dans quel sens agit l'accélération, nous choisissons un cadre de référence, puis la convention veut qu'un signe positif indique une accélération angulaire agissant pour augmenter la vitesse de rotation dans le sens des aiguilles d'une montre et qu'un signe négatif indique une augmentation de la vitesse de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Unités d'accélération angulaire
L'unité SI pour la vitesse angulaire est le radians par seconde, qui définit l'angle de rotation d'un objet à chaque seconde. L'accélération angulaire définit la quantité de variation de la vitesse angulaire par seconde, et ses unités sont donc celles de la vitesse angulaire par seconde : (radians par seconde)-par seconde. Les radians par seconde par seconde sont équivalents aux radians par seconde au carré, comme indiqué ci-dessous :
\[\alpha=\dfrac{\left(\dfrac{\text{radians}}{\text{second}}\right)}{\text{second}}=\dfrac{\text{radians}}{\text{seconds}^2}\]
Lorsque l'on étudie le mouvement circulaire, l'unité standard pour traiter les angles est le radian. Une rotation complète de \N(360^\circ) contient \N(2\pi\c) radians, ce qui signifie :
\(360^\circ=2\pi \,\text{radians}\), so \(1\,\text{radian}=\dfrac{360^\circ}{2\pi}=57.3^\circ\).
Pour convertir un angle \(\theta_{\text{degrees}}\) en radians, on obtient \(\theta_{\text{radians}}=\dfrac{\theta_{\text{degrees}}}{360^\circ}\\N- fois 2\pi\N).
De même, pour convertir les radians en degrés, on peut utiliser \(\theta_{\text{degrees}}=\dfrac{\theta_{\text{radians}}{2\pi}\contre 360^\circ\).
Formule d'accélération angulaire
Pour trouver l'accélération angulaire d'un objet, nous devons connaître sa vitesse angulaire à deux moments donnés. Nous pouvons ensuite calculer la variation de la vitesse angulaire à chaque seconde, en supposant un taux d'accélération angulaire constant entre les deux points. Cela nous donne l'accélération angulaire \(\alpha\):
\[\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}=\dfrac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\]
où l'indice '\(f\)' signifie 'final' et '\(i\)' signifie 'initial'.
Exemple de calcul de l'accélération angulaire
Le diagramme ci-dessous montre un volant d'inertie qui est initialement immobile, est accéléré pendant 5 secondes, puis laissé à tourner librement pendant 10 secondes, en subissant quelques frottements. La vitesse angulaire est mesurée à chacun de ces points et indiquée sur le diagramme.
- Détermine l'accélération angulaire pendant que le volant d'inertie est accéléré et pendant qu'il tourne librement.
- Trace la vitesse angulaire et l'accélération en fonction du temps.
Pour trouver l'accélération angulaire au cours de chaque période, nous pouvons utiliser la formule de l'accélération angulaire puisque nous connaissons les vitesses angulaires initiale et finale. Nous appelons l'accélération angulaire subie au cours des 5 premières secondes \(\alpha_1\) et celle des 10 secondes suivantes \(\alpha_2\) et nous la calculons :
\[\alpha_1=\dfrac{10\,\mathrm{rad/s}-0\,\mathrm{rad/s}}{5\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s}}=2\,\mathrm{rad/s}^2\]
\[\alpha_2=\dfrac{9\,\mathrm{rad/s}-10\,\mathrm{rad/s}}{15\,\mathrm{s}-5\,\mathrm{s}}=-0.1\,\mathrm{rad/s}^2\]
Pour représenter la vitesse et l'accélération en fonction du temps, nous traçons les valeurs à chacun de nos points temporels connus (\(0\, \mathrm{s}\), \(5\,\mathrm{s}\) et \(15\,\mathrm{s}\)) et nous les relions par des lignes droites parce que les accélérations angulaires sont constantes à chaque période.
Tracé de la vitesse angulaire (jaune) et de l'accélération angulaire (bleu) du volant d'inertie de 0 à 15 secondes, StudySmarter Originals.
Relier l'accélération angulaire à l'accélération linéaire
Dans un mouvement circulaire, le déplacement angulaire \(\theta\) est l 'équivalent du déplacement \(s\ )dans l'étude du mouvement linéaire. Les équations cinématiques de la vitesse, de l'accélération et du déplacement ont également des équivalents angulaires.
| Quantité | Equation linéaire | Équation angulaire |
| Vitesse | \(v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) | \(\omega =\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}\) |
| Accélération | \(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) | \(\alpha=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}\) |
| Déplacement | \(s=v_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}a(t_f-t_i)^2\) | \(\theta=\omega_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}\alpha(t_f-t_i)^2\) |
| \N(v_f^2-v_i^2=2as\N) | \(\omega_f^2-\omega_i^2=2\alpha\theta\) |
Un ventilateur est immobile avec un déplacement angulaire de 90 degrés (\(\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\)). Lorsque le ventilateur est mis en marche à \(t=0\,\mathrm{s}\), il commence à tourner avec une accélération angulaire de \(2\pi\N,\mathrm{rad/s}^2\). Trouve la vitesse angulaire et le déplacement angulaire du ventilateur à \(t=3\,\mathrm{s}\).
Pour trouver la vitesse angulaire du ventilateur, nous pouvons réarranger l'équation cinématique angulaire pour l'accélération :
\[\alpha=\dfrac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\]
donc
\[\omega_f=\alpha(t_f-t_i)+\omega_i\]
Par conséquent, la vitesse angulaire \(\omega_f\) du ventilateur après l'accélération est de
\[\omega_f=2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}=6\pi,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\]
Pour trouver le déplacement angulaire du ventilateur après une accélération de 3 secondes, nous pouvons utiliser l'équation du déplacement :
\[\begin{align}\theta &=\omega_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}\alpha(t_f-t_i)^2=\\&=0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+\frac{1}{2}\times 2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})^2=\\&=9\pi\,\mathrm{rad}\end{align}\]
Cela nous donne la quantité de déplacement qui s'est produite au cours de la période de temps, donc pour trouver le déplacement actuel, nous devons ajouter le déplacement angulaire initial de \(\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\). Par conséquent, le déplacement angulaire du ventilateur à 3 secondes est de \N(9,5\Npi\N,\Nmathrm{rad}\N). Cependant, comme il n'y a que \N(2\pi\N,\Nmathrm{rad}\N) dans une rotation complète, ce déplacement peut être simplifié à \N(1,5\N,\Nmathrm{rad}\N), ce qui équivaut à un angle de \N(270^\Ncirc;\N).
Accélération angulaire - Points clés à retenir
- L'accélération angulaireα est l'équivalent rotationnel de l'accélération linéaire. Alors que l'accélération linéaire décrit le taux de changement de la vitesse linéaire, l'accélération angulaire est le taux de changement de vitesse angulaire \(\oméga\).
- L'accélération angulaire est définie en unités SI de radians par seconde au carré (\(\mathrm{rad/s^2}\)).
- Pour trouver l'accélération angulaire d'un objet, nous divisons le changement de vitesse angulaire par le changement de temps. On obtient ainsi une variation moyenne de la vitesse angulaire par seconde, qui est l'accélération angulaire.
- La convention stipule qu'une accélération angulaire positive augmente le taux de rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, tandis qu'une accélération angulaire négative agit pour augmenter la rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.
- Lorsque l'on étudie le mouvement circulaire, l'unité standard pour traiter les angles est le radian. Une rotation complète de 360° contient 2 radians, ce qui signifie qu'un radian équivaut à 57,3 degrés.
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