Variance de la Distribution Binomiale

Suppose que tu vas passer un test à choix multiples avec \(10\) questions, où chaque question a \(5\) réponses possibles, mais où seule \(1\) option est correcte. Si tu devais deviner au hasard pour chaque question.

a) Quelle est la probabilité que tu devines exactement \(4) réponses correctes ?

b) Quelle est la probabilité que tu répondes correctement à \(2\) ou moins ?

c) Quelle est la probabilité que tu devines correctement 8 ou plus ?

Solution :Tout d'abord, notons qu'il y a \N(10\N) questions, donc \N(n=10\N). Maintenant, étant donné que chaque question comporte 5 choix et que seul 1 choix est correct, la probabilité d'obtenir le bon choix est de 4 (\dfrac{1}{5}\), donc de 4 (p=dfrac{1}{5}\). Par conséquent ,

\[1-p=1-\dfrac{1}{5}=\frac{4}{5} .\]

a) La probabilité d'obtenir exactement \(4\) correctement est donnée par

\N- [\N- Début{align} P(X=4)&={10\choose{4}}\left(\frac{1}{5}\right)^4\left(\frac{4}{5}\right)^{6} \\N- \N- Environ 0,088. \N- [end{align}\N]

b) La probabilité d'obtenir \(2\) ou moins de réponses correctes est donnée par

\N- [\N- Début{align}] P(X\leq 2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\N- &= {10\N-choisir{0}} \left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^{10}+{10\choose{1}}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^{9}\\ &\quad +{10\choose{2}}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^{8} \\ &\approx 0.678.\end{align}\]

c) La probabilité d'obtenir \(8\) ou plus de réponses correctes est donnée par [\N-begin{align}]. P(X\geq 8)&=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \\N- &= {10\choisir{8}} \left(\frac{1}{5}\right)^8\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+{10\choose{9}}\left(\frac{1}{5}\right)^9\left(\frac{4}{5}\right)^{1} \\ & \quad+{10\choose{10}}\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\left(\frac{4}{5}\right)^{0} \N- &\N-Approximativement 0.00008.\N- [end{align}\N]

En d'autres termes, deviner les réponses est une très mauvaise stratégie de test si c'est tout ce que tu comptes faire !

Soit \N(X\N) une variable aléatoire telle que \N(X\Nsim \Ntext{B}(10,0,3)\N). Trouve la moyenne \(\text{E}(X)\) et la variance \(\text{Var}(X)\).

Solution :

En utilisant la formule de la moyenne, tu as

\[\text{E}(X)=np=(10)(0.3)=3.\]

Pour la variance, tu as

\[\text{Var}(X)=np(1-p) =(10)(0.3)(0.7)=2.1.\]

Soit \N(X\N) une variable aléatoire telle que \N(X\Nsim \Ntext{B}(12,p)\N) et \N(\Ntext{Var}(X)=2,88\N). Trouve les deux valeurs possibles de \(p\N).

Solution :

D'après la formule de la variance, tu as

\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2.88.\]Comme tu connais \(n=12\), en le substituant à l'équation ci-dessus, tu obtiens

\N- [12p(1-p)=2.88,\N]

ce qui est la même chose que

\N- p(1-p)=0,24\N]

ou

\N- [p^2-p+0,24=0,\N]

Note que tu as maintenant une équation quadratique, donc en utilisant la formule quadratique, tu obtiens que les solutions sont \(p=0,4\) et \(p=0,6\).

Soit \N(X) une variable aléatoire telle que \N(X\sim \text{B}(n,p)\N), avec \N(\text{E}(X)=3,6\N) et \N(\text{Var}(X)=2,88\N).

Trouve les valeurs de \N(n) et \N(p).

Solution :

Rappelle que d'après les formules de la moyenne et de la variance

\[\text{E}(X)=np=3.6\]

et

\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2.88.\]

A partir de là, en faisant des substitutions, tu as

\[3.6(1-p)=2.88,\]

ce qui implique que

\[1-p=\frac{2.88}{3.6}=0.8.\]

Par conséquent, \(p=0,2\) et encore une fois, à partir de la formule de la moyenne, vous avez

\[n=\frac{3.6}{0.2}=18.\]

La distribution originale est donc \N (X\sim \text{B}(18,0.8)\N).