Supposons que ton professeur t'ait fourni une liste d'exercices de préparation à l'examen final. Le professeur t'assure que l'examen comportera \Ndes questions, et qu'elles seront tirées de la liste fournie.
Bien que tu te sois bien préparé à l'avance, tu n'as réussi à résoudre que \(200) exercices. Quelle est la probabilité que le professeur choisisse \(10\) questions que tu as résolues ?
On peut répondre à ce type de question à l'aide de la distribution binomiale, et dans cet article, tu en apprendras plus à ce sujet.
Qu'est-ce qu'une distribution binomiale ?
Une distribution binomiale est une distribution de probabilité discrète utilisée pour calculer la probabilité d'observer un certain nombre de succès dans un nombre fini d'essais de Bernoulli. Un essai de Bernoulli est une expérience aléatoire dans laquelle tu ne peux avoir que deux résultats possibles qui s'excluent mutuellement, dont l'un est appelé succès et l'autre échec.
Si \(X\) est une variable aléatoire binomiale avec \(X\sim \text{B}(n,p)\), alors la probabilité d'obtenir exactement \(x\) succès dans \(n\) essais de Bernoulli indépendants est donnée par la fonction de masse de probabilité :
\[P(X=x)={n\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}\]
pour \N(x=0,1,2,\Npoints , n\N), où
\[\displaystyle {n\choose{x}}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\]
sont connus sous le nom de coefficient binomial.
Consulte notre article Distribution binomiale pour plus de détails sur cette distribution.
Prenons un exemple pour voir comment calculer les probabilités dans une distribution binomiale.
Suppose que tu vas passer un test à choix multiples avec \(10\) questions, où chaque question a \(5\) réponses possibles, mais où seule \(1\) option est correcte. Si tu devais deviner au hasard pour chaque question.
a) Quelle est la probabilité que tu devines exactement \(4) réponses correctes ?
b) Quelle est la probabilité que tu répondes correctement à \(2\) ou moins ?
c) Quelle est la probabilité que tu devines correctement 8 ou plus ?
Solution :Tout d'abord, notons qu'il y a \N(10\N) questions, donc \N(n=10\N). Maintenant, étant donné que chaque question comporte 5 choix et que seul 1 choix est correct, la probabilité d'obtenir le bon choix est de 4 (\dfrac{1}{5}\), donc de 4 (p=dfrac{1}{5}\). Par conséquent ,
\[1-p=1-\dfrac{1}{5}=\frac{4}{5} .\]
a) La probabilité d'obtenir exactement \(4\) correctement est donnée par
\N- [\N- Début{align} P(X=4)&={10\choose{4}}\left(\frac{1}{5}\right)^4\left(\frac{4}{5}\right)^{6} \\N- \N- Environ 0,088. \N- [end{align}\N]
b) La probabilité d'obtenir \(2\) ou moins de réponses correctes est donnée par
\N- [\N- Début{align}] P(X\leq 2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\N- &= {10\N-choisir{0}} \left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^{10}+{10\choose{1}}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^{9}\\ &\quad +{10\choose{2}}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^{8} \\ &\approx 0.678.\end{align}\]
c) La probabilité d'obtenir \(8\) ou plus de réponses correctes est donnée par [\N-begin{align}]. P(X\geq 8)&=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \\N- &= {10\choisir{8}} \left(\frac{1}{5}\right)^8\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+{10\choose{9}}\left(\frac{1}{5}\right)^9\left(\frac{4}{5}\right)^{1} \\ & \quad+{10\choose{10}}\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\left(\frac{4}{5}\right)^{0} \N- &\N-Approximativement 0.00008.\N- [end{align}\N]
En d'autres termes, deviner les réponses est une très mauvaise stratégie de test si c'est tout ce que tu comptes faire !
Dérivation de la moyenne et de la variance de la distribution binomiale
Note qu'une variable binomiale \(X\) est la somme de \(n\) essais de Bernoulli indépendants avec la même probabilité de succès \(p\), c'est-à-dire \(X=X_1+X_2+\ldots+X_n\), où chaque \(X_i\) est une variable de Bernoulli. À partir de là, voyons comment dériver les formules de la moyenne et de la variance.
Calcul de la moyenne de la distribution binomiale
Pour calculer la valeur attendue de \(X\), à partir de ce qui précède, tu as
\[\text{E}(X)=\text{E}(X_1+X_2+\ldots+X_n),\]
puisque la valeur attendue est linéaire
\[\text{E}(X_1+X_2+\ldots+X_n)=\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\ldots+\text{E}(X_n).\]
Enfin, rappelle-toi que pour une variable de Bernoulli \N(Y\N) avec une probabilité de succès \N(q\N), la valeur attendue est \N(q\N). Ainsi ,
\[\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\ldots+\text{E}(X_n)=\underbrace{p+p+\ldots+p}_{n\text{ times}}=np.\]
En mettant tout cela ensemble, on obtient la formule mentionnée précédemment
\[\text{E}(X)=np.\N]
Dérivation de la variance de la distribution binomiale
Pour calculer la variance de \(X\), tu as
\[\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1+X_2+\ldots+X_n),\]
en utilisant le fait que la variance est additive pour les variables indépendantes
\N- [\N- Début{alignement} \text{Var}(X_1+X_2+\ldots+X_n)&=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2) \\ &\quad +\ldots+\text{Var}(X_n). \N- [end{align}\N]
Encore une fois, rappelle-toi que pour une variable de Bernoulli \(Y\N), avec une probabilité de succès \N(q\N), la variance est \N(q(1-q)\N). Alors ,
\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X) &= \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\ldots+\text{Var}(X_n)\\N &= \underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\ldots+p(1-p)}_{n\text{ fois}} \N- & =np(1-p).\Nend{align}\N]
Assemblons tout cela,
\[\text{Var}(X)=np(1-p).\]
Moyenne et écart type pour une distribution binomiale
Dans la section précédente, tu as vu que la moyenne de la distribution binomiale est
\[\text{E}(X)=np,\]
et que la variance est
\[\text{Var}(X)=np(1-p).\]
Pour obtenir l'écart-type, \(\sigma\), de la distribution binomiale, il suffit de prendre la racine carrée de la variance, soit
\[\sigma = \sqrt{np(1-p) }.\]
Formule pour la moyenne de la distribution binomiale
La moyenne d'une variable est la valeur moyenne que l'on s'attend à observer lorsqu'une expérience est réalisée plusieurs fois.
Si \(X\) est une variable aléatoire binomiale avec \(X\sim \text{B}(n,p)\), alors la valeur attendue ou la moyenne de \(X\) est donnée par \[\text{E}(X)=\mu=np.\N].
Formule pour la variance d'une distribution binomiale
La variance d'une variable est une mesure de la différence entre les valeurs et la moyenne.
Si \(X\) est une variable aléatoire binomiale avec \(X\sim \text{B}(n,p)\), alors :
La variance de \(X\N) est donnée par \N[\text{Var}(X)=\sigma^2=np(1-p).\N].
L'écart-type de \(X\) est la racine carrée de la variance et est donné par \N[\sigma=\sqrt{np(1-p)}.\N].
Pour une explication plus détaillée de ces concepts, tu peux consulter notre article Moyenne et variance des distributions de probabilités discrètes.
Exemples de moyenne et de variance de la distribution binomiale
Examinons quelques exemples, en commençant par un exemple classique.
Soit \N(X\N) une variable aléatoire telle que \N(X\Nsim \Ntext{B}(10,0,3)\N). Trouve la moyenne \(\text{E}(X)\) et la variance \(\text{Var}(X)\).
Solution :
En utilisant la formule de la moyenne, tu as
\[\text{E}(X)=np=(10)(0.3)=3.\]
Pour la variance, tu as
\[\text{Var}(X)=np(1-p) =(10)(0.3)(0.7)=2.1.\]
Prenons un autre exemple.
Soit \N(X\N) une variable aléatoire telle que \N(X\Nsim \Ntext{B}(12,p)\N) et \N(\Ntext{Var}(X)=2,88\N). Trouve les deux valeurs possibles de \(p\N).
Solution :
D'après la formule de la variance, tu as
\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2.88.\]Comme tu connais \(n=12\), en le substituant à l'équation ci-dessus, tu obtiens
\N- [12p(1-p)=2.88,\N]
ce qui est la même chose que
\N- p(1-p)=0,24\N]
ou
\N- [p^2-p+0,24=0,\N]
Note que tu as maintenant une équation quadratique, donc en utilisant la formule quadratique, tu obtiens que les solutions sont \(p=0,4\) et \(p=0,6\).
L'exemple précédent montre que tu peux avoir deux distributions binomiales différentes avec la même variance !
Enfin, note qu'en utilisant la moyenne et la variance d'une variable, tu peux retrouver sa distribution.
Soit \N(X) une variable aléatoire telle que \N(X\sim \text{B}(n,p)\N), avec \N(\text{E}(X)=3,6\N) et \N(\text{Var}(X)=2,88\N).
Trouve les valeurs de \N(n) et \N(p).
Solution :
Rappelle que d'après les formules de la moyenne et de la variance
\[\text{E}(X)=np=3.6\]
et
\[\text{Var}(X)=np(1-p)=2.88.\]
A partir de là, en faisant des substitutions, tu as
\[3.6(1-p)=2.88,\]
ce qui implique que
\[1-p=\frac{2.88}{3.6}=0.8.\]
Par conséquent, \(p=0,2\) et encore une fois, à partir de la formule de la moyenne, vous avez
\[n=\frac{3.6}{0.2}=18.\]
La distribution originale est donc \N (X\sim \text{B}(18,0.8)\N).
Moyenne et variance de la distribution binomiale - Principaux enseignements
Si \(X\) est une variable aléatoire binomiale avec \(X\sim \text{B}(n,p)\). Alors, [P(X=x)={n\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}]pour \N(x=0,1,2,\Npoints,n\N) où [\Ndisplaystyle {n\Nchoose{x}}=\Nfrac{n!}{x !(n-x)!}].
Si \(X\sim \text{B}(n,p)\), alors la valeur attendue ou la moyenne de \(X\) est \(\text{E}(X)=\mu=np\).
Si \(X\sim \text{B}(n,p)\), alors la variance est \(\text{Var}(X)=\sigma^2=np(1-p) \) et l'écart type est \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
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