Les variables aléatoires discrètesa> sont un type de variables aléatoiresa> dont les valeurs sont finies.
En d'autres termes, les valeurs sont dénombrables et ont un nombre limité de résultats. Le nombre de livres dans un paquet, le nombre de cubes de sucre dans une boîte, le nombre de chèvres dans un enclos et la pointure d'une personne, entre autres, sont des exemples de variables aléatoires discrètes. Dans cette leçon, nous allons apprendre en détail les variables aléatoires discrètes et leurs distributions de probabilité.
Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs spécifiées et dénombrables. Toutes les valeurs du domaine de la variable aléatoire sont associées à des probabilités. La somme de ces probabilités doit être égale à \(1\) lorsque toutes les valeurs possibles sont prises en compte.
Variables aléatoires discrètes : Types de distribution
Rappelons tout d'abord le concept de distribution. La distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète X est un ensemble complet de chaque valeur potentielle de \(X\), ainsi que la probabilité que \(X\) prenne cette valeur lors d'un essai de l'expérience. En d'autres termes, les distributions de probabilités discrètes sont utilisées pour décrire les probabilités associées aux valeurs de la variable aléatoire discrète. Deux types courants de variables aléatoires discrètes sont les variables aléatoires binomiales (avec une distribution de probabilité binomiale) et les variables aléatoires géométriques (avec une distribution de probabilité géométrique).
Dans cet article, nous ne considérons que les variables aléatoires binomiales et géométriques, qui sont pertinentes pour un cours de statistiques AP. D'autres types de variables ne seront pas abordés dans cet article, notamment les distributions de Bernoulli, multinomiale, hypergéométrique et de Poisson.
Distributions de probabilités binomiales et géométriques de variables aléatoires discrètes.
La distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète fait référence au catalogue des valeurs potentielles de cette variable aléatoire discrète, ainsi qu'à la probabilité qu'elle prenne cette valeur lors d'un essai de l'expérience.
Les distributions des variables aléatoires discrètes doivent satisfaire aux deux conditions suivantes, étant donné une variable aléatoire discrète \(X\) :
Chaque probabilité \(P(x)\) doit être comprise entre \(0\) et \(1, 0 \leq P(x) \leq 1\).
L'addition de toutes les probabilités ne dépasse pas \N(1\N) : \(somme P(x) = 1).
Voyons un exemple de ce que l'on entend par distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.
Soit \(X\) le nombre de têtes observées en lançant deux fois une pièce de monnaie juste. Tout d'abord, construis la distribution de probabilité de \(X\). Deuxièmement, trouve la probabilité qu'au moins un face soit observé.
Solution :
Pour cet espace d'échantillonnage, les valeurs possibles de \N(X\N) sont \N(0\N), \N(1\N) et \N(2\N). Les résultats potentiels ont des chances égales de se produire et se présentent comme suit :
\N(S = {hh, ht, th, tt}\N).
Autrement dit, "\N(hh\N)" fait référence au résultat de deux têtes,
"\(ht\)" se réfère au résultat d'une tête et d'une queue, et ainsi de suite.
Le nombre de têtes observées est représenté par \N(X = 0\N) :
\N(X = 0\N) correspond à \N({tt}\N), sans aucune tête observée.
\(X = 1\) correspond à \({ht, th}\), avec \(1\) têtes observées
\N- X = 2\N correspond à \N({hh}\N), avec \N(2\N) têtes observées.
En comptant simplement, nous obtenons la probabilité de chacun de ces trois événements, représentée par la variable discrète \(X\). Ainsi :
Tableau 1 : Distribution de probabilité de lancer deux fois une pièce de monnaie équitable
| \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \N(P(x)\N) | \(0.25\) | \(0.50\) | \(0.25\) |
La probabilité qu'au moins une tête soit observée est un événement qui peut être décrit par l'expression mathématique : \(X \geq 1\). La probabilité de cet événement particulier (au moins une tête) est calculée en additionnant les deux événements mutuellement exclusifs que sont \N(X = 1\N) et \N(X = 2\N). Par conséquent, \NP (P (X = 1) = P (1) + P (2) = 0,50 + 0,25 = 0,75). En d'autres termes, il y a une chance sur 75 qu'au moins un face soit obtenu en lançant deux fois une pièce de monnaie.
Variables aléatoires binomiales
Une variable aléatoire binomiale est un type de variable aléatoire discrète que l'on utilise pour exprimer la fréquence d'un résultat (ou événement) particulier au cours d'un nombre fixe d'essais expérimentaux. La variable aléatoire binomiale est exprimée dans le cadre d'une distribution binomiale.
Pour qu'une variable aléatoire discrète soit également une variable aléatoire binomiale, les caractéristiques suivantes doivent s'appliquer :
Le nombre d'essais est prédéterminé ou fixe.
Les essais sont indépendants. (Les résultats des essais n'ont pas d'incidence les uns sur les autres).
Pour chaque essai, seuls deux résultats peuvent se produire : un "succès" ou un "échec". En d'autres termes, l'événement particulier qui nous intéresse se produira ou ne se produira pas. Ce type de résultat peut également être qualifié de "binaire".
Tout essai donné a la même probabilité de "réussite" que les autres essais de l'expérience.
Si la variable aléatoire discrète \((X)\) est classée comme binomiale, elle peut être utilisée pour compter le nombre de succès dans les n essais. Cela implique que \(X)\) a une distribution binomiale avec les deux paramètres suivants :
"\N(n\N)", qui mesure le nombre d'essais et "\N(p\N)", qui mesure le nombre d'essais.
"\(p\)", qui mesure la probabilité de réussite d'un événement particulier.
Par exemple, considérons un échantillon aléatoire de 125 infirmières sélectionnées dans un grand hôpital dans lequel la proportion d'infirmières est de 57 %. Supposons que X représente le nombre d'infirmières dans l'échantillon. Dans cette expérience, il y a 125 (n = 125) essais identiques et indépendants d'une procédure commune : sélectionner une infirmière au hasard. Il y a exactement deux résultats possibles pour chaque essai, le "succès" (l'événement que nous comptons, à savoir que l'infirmière est une femme) et l'"échec" (pas une femme). Enfin, la probabilité de réussite pour chaque essai est le même nombre (p = 0,57). La proportion d'infirmières étant de 57 %, un choix aléatoire offrirait donc 57 % de chances de sélectionner une infirmière. Ainsi, X est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n = 125 et p = 0,57.
Formule de probabilité pour une variable aléatoire binomiale
Si une distribution est décrite par une variable aléatoire binomiale, tu peux appliquer la formule ci-dessous pour calculer la probabilité de \N(X\N) :
\[P(X=x)= \begin{pmatrix} n \\N X \Nend {pmatrix} p^x q^{n-x}={\frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X !)p^x q^{n-x}}\]
où ,
\N(P\N) = probabilité binomiale
\(x\) = fréquence d'un résultat spécifique dans un nombre spécifique d'essais
\N(\Nbut{pmatrix} n \NX \Nfin {pmatrix} \N)= nombre de combinaisons
\N(p\N) = probabilité de réussite d'un seul essai
\(q\) = probabilité d'échec lors d'un seul essai
\N(n\N) = nombre d'essais
En supposant qu'une pièce de monnaie équitable est lancée \(10\) fois, quelle est la probabilité d'obtenir \(6\) queues ?
Solution
Deux résultats peuvent être obtenus lors d'une expérience de pile ou face : un pile ou un face. Par conséquent :
La probabilité d'obtenir un pile est de \(50\%\) (ou \(0,5\)) lors d'un lancer donné.
Nombre d'essais, \(n = 10\).
Fréquence des résultats, \(x = 6\).
- Probabilité de succès sur un seul essai, \(p = 0,5\)
- Probabilité d'échec sur un seul essai, \(q = 0,5\).
Introduis ces valeurs dans la formule :
\[P(X=x)={\frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X !)p^x q^{n-x}}\]
\N- [P(X=x)=0,205\N]
Variables aléatoires géométriques
Les variables aléatoires géométriques sont des variables aléatoires discrètes qui forment une distribution géométrique. Ce concept est utilisé dans plusieurs domaines de la vie, comme l'analyse coûts-avantages dans les industries financières, entre autres.
Les conditions expérimentales requises pour les variables aléatoires géométriques sont très similaires à celles des variables aléatoires binomiales : elles classent toutes deux les essais en deux catégories, succès ou échecs, et les essais doivent être indépendants, avec la même probabilité d'occurrence pour chacun d'entre eux. Cependant, contrairement aux variables aléatoires binomiales, le nombre d'essais n'est pas fixé à l'avance pour les variables aléatoires géométriques. Il dépend plutôt du nombre d'échecs successifs qui se produisent avant qu'un succès ne soit obtenu.
Par exemple, considérons une variable aléatoire géométrique, \(X = 3\), qui représente l'obtention d'un nombre \(3\) comme résultat du lancer d'un dé juste.
Dans cette expérience de variable aléatoire géométrique, nous comptons le nombre de fois où le dé est lancé avant qu'une valeur de \(3 (X = 3)\) ne soit obtenue une fois.
L'essai au cours duquel un \N(3\N)est obtenu est qualifié de "succès", et tout essai au cours duquel un \N(3\N)n'est pas obtenu est qualifié d'"échec". Comme il s'agit d'une expérience de variable aléatoire géométrique, nous n'avons besoin d'obtenir qu'un seul succès pour la terminer.
Comme les observations sont indépendantes les unes des autres, la probabilité que \(X = 3\) (un \(3\) résultera du lancer du dé) sera de \(1/6\) pour chaque lancer. Cette probabilité de \N(1/6\N) est due au fait que le dé a six faces, qui donnent des valeurs de 1 à \N(6\N).
Formule de probabilité pour une variable aléatoire géométrique
Si une distribution est décrite par une variable aléatoire géométrique, tu peux appliquer la formule ci-dessous pour calculer la probabilité de \(X\) :
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
où \(0<p<1\) et \(x=1, 2, 3...\)
Un représentant de la division marketing du théâtre national sélectionne au hasard des personnes dans une rue de Washington D.C. jusqu'à ce qu'il trouve une personne qui a assisté à la dernière séance de cinéma.
Soit \(p\), la probabilité qu'il réussisse à trouver une telle personne, égale \(0,20\). Et que \(X\) désigne le nombre de personnes qu'il sélectionne jusqu'à ce qu'il trouve son premier succès.
a. Quelle est la probabilité que le représentant marketing doive sélectionner 4 personnes avant d'en trouver une qui a assisté à la séance de cinéma ?
Solution :
\[f(x)=P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
\[P(X=4)=(1-0.2)^{4-1}0.2=0.1024\]
Par conséquent, il y a environ \(10\%\) de chances que le représentant marketing doive sélectionner \(4\) personnes avant d'en trouver une qui assiste à la dernière séance de cinéma.
La moyenne, la variance et l'écart type des variables aléatoires discrètes
Dans cette section, nous discutons de la moyenne, de la variance et de l'écart type appliqués aux variables aléatoires discrètes. Ensuite, nous appliquons ces concepts à un problème d'exemple.
La moyenne
La moyenne est également connue sous le nom de valeur attendue, et elle fait référence à la moyenne des valeurs. Pour les variables aléatoires discrètes, la moyenne se réfère à la moyenne de toutes les valeurs attribuées aux événements qui se produisent dans les essais répétés de l'expérience. La moyenne d'une variable aléatoire discrète est donnée par l'expression ci-dessous :
\[\mu= E(x)=\sum x \cdot P(x)\]
Ainsi, la moyenne est obtenue en multipliant chaque valeur par sa probabilité d'apparition. Ces valeurs sont ensuite additionnées pour générer la moyenne de l'expérience.
Trouve la moyenne de la distribution de probabilité discrète ci-dessous :
| \(x\) | \(-2\) | \(1\) | \(2\) | \(3.5\) |
| \N(P(x)\N) | \(0.21\) | \(0.34\) | \(0.54\) | \(0.31\) |
Solution :
En suivant la formule :
\[\mu= E(x)=\sum x \cdot P(x)\]
\[\mu = ((-2)\cdot(0.21))+((1)\cdot(0.34))+((2)\cdot(0.54))+((3.5)\cdot(0.31))\]
Ainsi, \(\mu = 2.085\)
Variance
La variance mesure le degré de dispersion des données. Plus précisément, il s'agit de la moyenne pondérée mesurant les écarts au carré ou les variabilités de chaque valeur par rapport à la moyenne des essais répétés d'une expérience. Elle est donnée par :
\[\sigma^2 = \somme (x-\mu)^2P(x)\].
Écart type
Semblable à la variance, l'écart type mesure également la dispersion des données. Plus précisément, il mesure l'ampleur de l'écart entre chaque observation et la moyenne. Pour calculer l'écart type d'une variable aléatoire discrète, il suffit de prendre la racine carrée de la valeur de la variance.
\[\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2P(x)}\]
Une variable aléatoire discrète X a la distribution de probabilité suivante :
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
| \N(P(x)\N) | \(0.2\) | \(0.5\) | \(α\) | \(0.1\) |
1. \(α\)
2. \(P (0)\)
3. \N- (P (X > 0)\N)
4. \N(P (X ≥ 0)\N)
5. La moyenne \(\mu\) de \(X\)
6. La variance de \(X\)
7. L'écart type de \(X\)
Solution
1. Puisque la somme de toutes les probabilités doit être égale à \(1\),\( α = 1 - (0,2 + 0,5 + 0,1) = 0,2\).
2. En se référant au tableau, \(P (0) = 0,5\)
3. En se référant à nouveau au tableau, \N(P (X > 0) = P (1) + P (4) = 0,2 + 0,1 = 0,3\)
4. À partir du tableau, \N(P (X ≥ 0) = P (0) + P (1) + P (4) = 0,5 + 0,2 + 0,1 = 0,8\N).
5. En utilisant la formule de la définition de la moyenne \(\mu\) :
\N[\Nmu=E(x)=\Nsomme x P(x)= ((-1)\cdot 0,2) + ((0)\cdot 0,5)+((1)\cdot 0,2)+((4)\cdot 0,1)=0,4 \N].
6. En utilisant la valeur de \(\mu\) obtenue avec la formule de la variance :
[\sigma^2 = \sum (x-\mu)^2P(x)=((-1-0.4)^2\cdot 0.2) + ((0-0.4)^2\cdot 0.5+ ((1-0.4)^2\cdot 0.2)+((4-0.4)^2\cdot 0.1)=1.84 \nbsp;\n-]
7. En utilisant la variance calculée, nous pouvons alors obtenir l'écart-type en utilisant sa formule comme suit :
\[\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2P(x)}\]
\[\sigma= \sqrt{1,84}=1,3565\]
Variable aléatoire discrète - Principaux enseignements
- Les variables aléatoires discrètes sont des variables aléatoires qui prennent des valeurs spécifiées ou finies dans un intervalle. Les valeurs peuvent être dénombrables et avoir un nombre fini de résultats.
Les types de variables aléatoires discrètes sont : Bernoulli, multinomiale, binomiale, géométrique, hypergéométrique et Poisson.
La liste de chaque valeur potentielle d'une variable aléatoire discrète \(X\), ainsi que la probabilité que \(X\) prenne cette valeur au cours d'un essai de l'expérience, constitue la distribution de probabilité de cette variable aléatoire discrète \(X\).
La distribution de probabilité d'une variable aléatoire binomiale est donnée par :
\[P(X=x)={\frac{n!}{(n-X)!}\cdot (X !)p^x q^{n-x}}\]
La distribution de probabilité d'une variable aléatoire géométrique est donnée par :
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\]
.
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