Variables Aléatoires

Variables aléatoires en statistiques : Définition et types

Examinons quelques scénarios dans lesquels nous utilisons des variables aléatoires. Par exemple, dans le cas d'une sélection aléatoire dans une boîte, on nous donne un ensemble de nombres possibles {1, 2, 3, 4, 5}. N'importe lequel de ces nombres peut être tiré au sort dans le cadre d'une expérience statistique ou d'un test de probabilité. Si le nombre 2 est choisi, alors 2 prend la valeur de la variable aléatoire pour cette itération de l'expérience.

Un autre exemple d'utilisation de variables aléatoires est le lancer d'un dé. Pour chaque lancer, on peut obtenir n'importe quel nombre compris entre 1 et 6. Le résultat du rôle du dé, mesuré par X, est une variable aléatoire.

Une variable aléatoire peut être classée comme discrète, continue ou mixte, et elle est représentée par une lettre majuscule, par exemple X ou Y. L'éventail des valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire est appelé son espace d'échantillonnage.

Variables aléatoires discrètes

Lorsqu'une variable aléatoire prend des valeurs spécifiées ou finies dans un intervalle, on dit qu'elle est discrète. Les valeurs d'une variable aléatoire discrète doivent être un nombre dénombrable. Par exemple, lorsqu'on lance un dé, les résultats possibles représentés par X sont les nombres dénombrables de 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Nous ne pouvons cependant pas lancer un dé et obtenir un résultat de 5,243, par exemple.

Variables aléatoires continues

Lorsque les données ne sont pas dénombrables et peuvent prendre une infinité de valeurs, on dit qu'elles sont continues. Les probabilités associées aux données continues sont représentées par une variable aléatoire continue. Par exemple, le temps nécessaire pour accomplir une tâche donnée pendant une période donnée de 30 minutes est considéré comme continu.

Tu te demandes peut-être comment cette plage de 30 minutes peut être considérée comme infinie et indénombrable. C'est parce que la tâche peut être accomplie à n'importe quel moment de l'intervalle de 30 minutes, mesuré à la milliseconde, par exemple, ou à des unités de plus en plus précises. Cela contraste avec les données dénombrables, comme le nombre de personnes, par exemple, qui ne peuvent être représentées que par des nombres entiers.

Ainsi, pour l'occurrence d'une variable aléatoire X, étant donné la fonction y = f(x), X peut prendre n'importe quelle valeur comprise dans la zone grisée, de a à b.

Variables aléatoires mixtes

Lorsqu'une variable n'est ni entièrement discrète, ni entièrement continue, mais qu'elle présente des caractéristiques des deux, on parle de variable aléatoire mixte.

Les occurrences sur le marché boursier et les modèles de précipitations hydrologiques sont des exemples de variables aléatoires mixtes. Ces événements présentent à la fois des caractéristiques discrètes et continues.

Variables aléatoires : La formule de la probabilité des événements aléatoires

La probabilité des événements aléatoires peut être calculée à l'aide de la formule suivante : $P\left(X\right)=\frac{n}{N}$.

Où :

"n" est le nombre de résultats favorables, et

"N" est le nombre total de résultats possibles.

Prenons un exemple qui utilise cette formule.

Note que cet exemple ci-dessus concerne une variable aléatoire discrète. Nous mesurons des nombres dénombrables de boules, et nous ne pourrions pas obtenir 1,4 boule rouge, par exemple.

Détermination des distributions de probabilité pour les variables aléatoires

Les distributions de probabilité peuvent être classées en fonction des types de variables aléatoires qu'elles décrivent : distribution de probabilité discrète et distributions de probabilité continue.

Distribution de probabilité discrète

Les distributions de probabilités discrètes sont formées par la fonction de masse de probabilité (PMF ). Quelle est la probabilité qu'une variable aléatoire discrète soit égale à une valeur spécifique ? Cette gamme de probabilités dans l'espace d'échantillonnage est définie par la FMP. Examinons la notation et les propriétés de la fonction de masse de probabilité, qui décrit les distributions de probabilité des variables aléatoires discrètes.

Pour la fonction de masse de probabilité (PMF) d'une variable aléatoire discrète :

Notation : $P_x\left(X\right)=P\left(X=x\right)$

Propriétés : $$\begin{gathered} p_x\left(x\right)\ge 0 \\ \sum _x{P}_x\left(x\right)=1 \end{gathered}$$

Par les propriétés des variables aléatoires discrètes, on sait que la probabilité de chaque valeur doit être comprise entre 0 et 1, et que la somme de toutes les valeurs de l'espace d'échantillonnage doit être égale à 1.

Distribution de probabilité continue

Les distributions de probabilité continues sont formées par la fonction de densité de probabilité (PDF) . Contrairement aux variables aléatoires discrètes, il n'est pas facile de déterminer directement les probabilités de valeurs spécifiques de variables continues, car il existe une infinité de valeurs !

Pour cette raison, nous pouvons choisir de simplifier cette mesure en "discrétisant" les variables. Cela signifie que nous considérons la variable continue comme prenant des quantités discrètes, ce qui nous permet de travailler avec des intervalles de valeurs plutôt qu'avec des valeurs spécifiques.

Pour représenter l'espace d'échantillonnage de la variable aléatoire continue en termes de probabilité associée à ses valeurs, nous utilisons la fonction de densité de probabilité (PDF). Jetons un coup d'œil à la notation et aux propriétés de la PDF.

Pour la fonction de densité de probabilité (PDF) d'une variable continue,$f_x$:

Notation : $P\left(a\le X\le b\right)={\int }_a^b{f}_x\left(x\right)dx$

Propriétés : $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_x\left(x\right)dx=1 \\ {f}_x\left(x\right)\ge 0 \end{gathered}$$

D'après les propriétés, nous savons que l'aire sous la courbe PDF est égale à 1, et que la probabilité de chaque valeur distincte est nulle (parce que les valeurs sont infinies).