Hypothèses du test t pour paires
Il est important de savoir quand tu as besoin d'un test apparié plutôt que d'un test plus standard. Si
tu contrôles une personne avant et après un traitement, ou
tu utilises un jumeau comme témoin et l'autre comme sujet du test,
tu utiliseras alors un test apparié.
Dans une expérience par paires, tu t'intéresses à la différence entre les résultats, plutôt qu'aux résultats eux-mêmes.
Supposons que ton école te fasse passer un pré-test, qu'elle t'enseigne ensuite les informations, puis qu'elle te fasse passer l'examen proprement dit. L'école essaie de voir si l'enseignement est réellement efficace. En d'autres termes, les élèves sont les sujets du test, le traitement est l'enseignement, et l'école s'intéresse à la différence entre les résultats du pré-test et ceux de l'examen réel.
S'il n'y a pas de différence entre les résultats du pré-test et ceux de l'examen, l'école saura qu'elle doit changer sa façon d'enseigner les informations.
La principale hypothèse pour utiliser un test t jumelé, autre que le fait d'avoir des données jumelées, est que les différences dans les données sont normalement distribuées.
Définition du test t par paires
Un test \(t\) apparié, également connu sous le nom de test \(t\) d'échantillons appariés, est utilisé pour comparer la différence moyenne entre des paires de mesures est nulle ou non.
Lessujets appariés, également appelés échantillons appariés ou paires appariées, sont deux mesures qui ne sont pas indépendantes l'une de l'autre.
Dans l'exemple ci-dessus, l'école examinerait le score du pré-test d'un élève particulier et le comparerait au score réel de cet élève à l'examen. Ces deux notes ne sont pas indépendantes car c'est le même élève qui passe le pré-test et l'examen. Les deux résultats sont des paires appariées.
Si tu avais des échantillons indépendants, tu utiliserais un test d'hypothèse différent. Voir l'article Test d'hypothèse pour deux distributions normales dans le cas d'échantillons indépendants.
Même si les paires appariées ne sont pas indépendantes, les différences dans les mesures doivent être indépendantes. Qu'est-ce que cela signifie ?
Dans l'exemple des examens, tu dois supposer que les élèves ne trichent pas entre eux. Si l'élève A trichait sur les copies d'examen de l'élève B, les différences entre les résultats du pré-test et ceux de l'examen pour les élèves A et B ne seraient pas indépendantes. Dans ce cas, tu ne pourrais pas utiliser un test par paires.
Étant donné que l'une des hypothèses pour utiliser un test \N(t) apparié est que les différences sont normalement distribuées, tu peux traiter les différences comme s'il s'agissait d'un échantillon aléatoire provenant d'une distribution \N(\Ntext{N}(\Nmu,\Nsigma^2 )\N), puis effectuer le test d'hypothèse comme si tu disposais d'un seul échantillon. Pour plus d'informations sur ce type de test d'hypothèse, voir l'article Test d'hypothèse pour la différence entre deux moyennes.
En général, lorsque tu effectues un test de paires, tu ne connais pas la variance de la population et le nombre de paires appariées est relativement faible.
Tests t appariés ou non appariés
Il est très important de comprendre quand tu utilises un test t standard par rapport à un test t apparié. Rappelle-toi qu'untest t non apparié est utilisé pour comparer les moyennes de deux échantillons indépendants afin de déterminer s'il y a une différence significative entre les deux.
La principale différence entre les tests \ (t\) appariés et non appariés est que les tests\ (t\)appariés testent la différence entre la moyenne de deux échantillons.
Disons que tu souhaites savoir si le fait de modifier l'agencement d'un magasin de vêtements signifie que davantage de personnes sont susceptibles d'acheter dans ce magasin. Tu souhaites comparer les ventes avant et après la modification de l'agencement. Les deux ensembles de données ne sont pas indépendants (tu fais correspondre les ventes avant et après), c'est pourquoi il faut utiliser un test par paires.
En revanche, si tu veux voir si deux magasins différents qui ont un agencement similaire ont un nombre similaire de personnes qui y font des achats, tu utiliseras un test \(t\)-non apparié car les échantillons sont indépendants.
Qu'en est-il des degrés de liberté du test ?
Tests t appariés : degrés de liberté
Un test \(t\) apparié fonctionne exactement de la même manière qu'un test \(t\) normal lorsqu'il s'agit de calculer les degrés de liberté. Les degrés de liberté sont égaux à la taille de l'échantillon moins \(1\) : \(\upsilon =n-1\).
Qu'est-ce que \N(n\N) ? Dans un test t pairé, les deux échantillons prélevés ont la même taille d'échantillon, donc \N(n\N) est simplement le nombre de paires appariées.
Formule du test t pour les échantillons appariés
Bien sûr, il est utile d'avoir une définition plus formelle de la formule d'un test \(t\) apparié.
Dans une expérience par paires où \N(n) est petit et \N(\sigma ^2) inconnu, si la différence entre deux moyennes de population, \N(D), est distribuée comme \N(\text{N}(\mu _D, \sigma ^2)\N), alors
\[t=\dfrac{\bar{D}-\mu _D}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{n-1}\]
où \(\bar{D}\) est la moyenne des différences entre les deux échantillons.
Ce qu'il faut retenir ici, c'est que tu devras prendre la moyenne des différences plutôt que la moyenne des échantillons réels.
Exemples de tests t pour échantillons appariés
Prenons quelques exemples.
Supposons que tu cherches à savoir si une lotion médicamenteuse pour la peau est plus efficace qu'une lotion non médicamenteuse. Tu rassembles donc un groupe de 20 personnes qui ont la peau sèche aux pieds. Pendant une semaine, elles se frottent le pied gauche avec une lotion médicamenteuse et le pied droit avec une lotion non médicamenteuse. À la fin de la semaine, tu vérifies le niveau de sécheresse de chaque pied. S'agit-il d'une situation dans laquelle tu devrais utiliser un test par paires ?
Solution
Remarque que la taille de l'échantillon est relativement petite et que tu ne connais pas la variance des populations. Un test de \(t\) est donc indiqué. La question est de savoir si tu utiliserais un test \(t\) apparié ou non.
Tu vérifies le niveau de sécheresse du pied gauche et du pied droit d'une même personne et tu regardes la différence. Puisque tu examines les pieds de la même personne, cela correspond à des données appariées. Les données que tu collectes auprès d'une personne sont indépendantes des données que tu collectes auprès d'une autre personne, les différences sont donc indépendantes. Par conséquent, tu peux utiliser un test par paires tant que tu supposes que les différences dans les données sont normalement distribuées.
Et si la situation changeait un peu ?
Supposons que tu essaies de voir si une lotion médicamenteuse pour la peau est plus efficace qu'une lotion non médicamenteuse. Tu rassembles donc un groupe de 20 personnes ayant la peau sèche aux pieds. Pendant une semaine, la moitié d'entre elles se frottent les pieds avec une lotion médicamenteuse, et l'autre moitié du groupe se frotte les pieds avec une lotion non médicamenteuse. À la fin de la semaine, tu vérifies le niveau de sécheresse des pieds des personnes. S'agit-il d'une situation dans laquelle tu devrais utiliser un test par paires ?
Solution
Remarque que la principale différence entre cet exemple et le précédent est qu'il n'y a pas d'appariement ! Tu as vraiment deux groupes distincts de sujets qui reçoivent des traitements différents, et il n'y a aucun moyen d'apparier les données de manière significative. Ainsi, même si la petite taille de l'échantillon indique qu'un test de \(t\) sera utilisé, il ne s'agira pas d'un test de \(t\) apparié.
Test T apparié - Principaux enseignements
- Pour effectuer un test T apparié, tu dois avoir des données appariées, les différences entre les mesures sont indépendantes et les différences sont approximativement distribuées normalement .
- Les degrés de liberté d'un test \(t\)-paire sont \(\upsilon =n-1\).
- Dans une expérience par paires où \N(n) est petit et \N(\Nsigma ^2) est inconnu, si la différence entre deux moyennes de population, \N(D), est distribuée comme \N(\Ntext{N}(\Nmu _D, \sigma ^2)\), alors\[t=\dfrac{\bar{D}-\mu _D}{\dfrac{S}{\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\]où \(\bar{D}\) est la moyenne des différences entre les deux échantillons.
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