Test du khi-deux pour l'ajustement

Définition du test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement

Qu'est-ce que le test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement ? Eh bien...

On parle beaucoup de résultats, de distributions et de toutes sortes de statistiques, mais qu'est-ce que tout cela signifie ?

Imagine que tu lances un dé à 6 faces 100 fois. Tu t'attends à ce qu'il tombe sur chacune des faces à peu près autant de fois.

Si tu réalisais réellement cette opération et enregistrais les résultats, tu pourrais alors utiliser le test d'adéquation du chi carré pour vérifier si les données réelles correspondent à tes attentes, dans des limites raisonnables bien sûr.

Utile, n'est-ce pas ? Ok, maintenant que tu es familiarisé avec le pourquoi et le comment des tests du Khi-deux pour l'adéquation, entrons dans le vif du sujet. Le comment.

Test du khi-deux pour l'adéquation des hypothèses

Le test du khi-deux pour l'adéquation est un test d'hypothèse. Cela signifie qu'il faut bien sûr commencer par un ensemble d'hypothèses.

Pour effectuer un test d'hypothèse comme celui-ci, tu as besoin d'une hypothèse nulle et d'une hypothèse alternative.

Une hypothèse nulle est une hypothèse qui stipule que toute différence statistique entre les populations est due au hasard. Par exemple

\(H_0:\N) Une pièce de monnaie tirée à pile ou face tombera sur face dans 50 % des cas.

Si l'hypothèse nulle s'avère fausse à l'issue du test, qu'aura-t-on trouvé ? L'hypothèse alternative

\(H_a:\N-) Une pièce jouée à pile ou face ne tombera pas sur pile dans 50 % des cas.

Comment le test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement prouve-t-il ou réfute-t-il l'hypothèse nulle ? Il teste la probabilité que le résultat de l'échantillon se produise si l'hypothèse nulle est vraie. Si la probabilité est suffisamment faible, l'hypothèse nulle est considérée comme fausse et l'hypothèse alternative doit être vraie.

Par exemple, supposons que ton échantillon soit composé de 100 coups de coin et que tu obtiennes le résultat suivant.

Tableau 1. Test du pile ou face.

S'il y avait une chance sur deux de tomber sur face à chaque tour, comme l'affirme l'hypothèse nulle, quelle serait la probabilité de ce résultat ? Il est intuitivement logique que la probabilité soit si faible qu'elle soit à la limite de l'impossible.

Et si tu obtenais les résultats suivants ?

Tableau 2. Test du pile ou face.

C'est un peu plus serré, donc c'est difficile à dire, mais en utilisant le test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement, on peut déterminer si ce résultat a prouvé ou réfuté l'hypothèse nulle.

Test du khi-deux pour l'adéquation des résultats Hypothèses et conditions

Le test du Khi-deux pour l'adéquation n'est pas approprié pour être utilisé sur toutes les données. En fait, il y a des conditions(parfois appelées hypothèses) qui doivent se vérifier.

• La méthode d'échantillonnage est l'échantillonnage aléatoire simple.

• La variable étudiée est catégorique.

• La valeur attendue des observations pour chaque catégorie doit être d'au moins cinq.

• Chaque résultat de la variable étudiée doit être indépendant.

Examinons chacune de ces conditions de plus près.

Échantillonnage aléatoire

Pour que le test du Khi-deux permette de vérifier l'adéquation, l'échantillon analysé doit comporter des éléments qui ont été choisis au hasard.

Disons que tu souhaites essayer de prédire la fréquence à laquelle différents types de bonbons apparaissent dans un sac mélangé. Eh bien, si tu souhaites voir si ta prédiction est exacte, tu pourrais éventuellement utiliser un test du Khi-deux pour l'adéquation de l'échantillon seulement si les sachets que tu prends pour vérifier cela sont choisis complètement au hasard.

Variable catégorielle

Qu'est-ce qu'une variable catégorielle ? Reprenons l'exemple des sacs de bonbons mélangés de tout à l'heure. Chacun des bonbons contenus dans le sac peut être classé en fonction du type de bonbon qu'il contient. Il n'y a pas d'ordre inhérent à ces catégories, c'est pourquoi la variable est catégorique. Si, par exemple, tes catégories de données étaient les années scolaires, la variable serait simplement ordonnée de la plus faible à la plus élevée, et serait donc une variable ordinale, et non catégorielle.

De ces deux exemples de variables, seul l'exemple des bonbons est catégorique et, par conséquent, seuls les bonbons peuvent être testés à l'aide du Khi-deux pour le test d'adéquation.

Valeur attendue

La condition suivante pour un test du Khi-deux pour l'adéquation est la valeur attendue des observations de l'échantillon par catégorie, qui doit être d'au moins cinq. Cette condition est simple et agréable. Fondamentalement, ce test ne peut être utilisé que sur des échantillons de taille suffisamment importante. Ton hypothèse pourrait être qu'il y a le même nombre de chaque bonbon réparti dans les sacs. Si ton échantillon comprend \(200\) bonbons et cinq types de bonbons, alors le nombre attendu de chaque bonbon trouvé dans l'échantillon serait de \(40\). Ce nombre est supérieur à cinq et remplit donc la condition du test.

Indépendance des résultats

La dernière condition du test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement est l'indépendance des résultats. Cela signifie que la probabilité de chaque résultat n'est pas affectée par les résultats précédents. Par exemple, en ce qui concerne le sac de bonbons, chaque fois qu'un bonbon est choisi dans le sac, il y a \(\frac{1}{5}\) chance qu'il s'agisse d'une bouteille de cola. Cela est vrai quel que soit le nombre de bouteilles de cola qui ont été choisies auparavant, ou le nombre d'oursons en gélatine. Les résultats précédents n'ont aucun effet sur celui-ci, les résultats sont donc indépendants et la condition est remplie.

Formule pour la statistique du test d'adéquation du chi carré

Une fois que les hypothèses ont été formulées et que les conditions ont été confirmées, il est temps de calculer la statistique du test du khi-deux. Cela se fait à l'aide de cette simple formule

\[Khi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\]

Où \(O_i\) est la \(i^{th}\) valeur observée et \(E_i\) est la \(i^{th} \) valeur attendue.

Par exemple, avec les valeurs attendues et observées suivantes, le calcul serait effectué comme suit.

Tableau 3. Valeurs attendues et observées, test du chi-deux.

\[\begin{align} \chi^2 &= \sum_{i=1}^n \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \\\\ &= \frac{(20-40)^2}{40} + \frac{(25-40)^2}{40} + \frac{(15-40)^2}{40}+... \\\\ &= 51.45 \end{align} \]

Réalisation du test d'adéquation

Tout d'abord, tu dois connaître leniveau de signification , \(\alpha\). Le niveau de signification définit la force de la preuve dont tu as besoin pour pouvoir considérer que l'hypothèse nulle est prouvée. Souvent, les niveaux de signification sont fixés à \(5\%\), (\(\alpha=0,05\)). Un niveau de signification plus bas indique qu'une plus grande force de preuve est nécessaire.

Deuxièmement, tu dois connaître le nombre de degrés de liberté du problème. Le nombre de degrés de liberté est simplement le nombre de groupes indépendants de la variable. Cette valeur est simplement le nombre de groupes \(-1\). Par exemple, pour une variable comportant cinq groupes, le nombre de degrés de liberté est de quatre.

L 'étape suivante du test consiste à trouver la valeur du khi-deux ou la valeur p. L'une ou l'autre de ces valeurs peut être utilisée pour compléter le test.

Effectuer le test avec la valeur du khi-deux

À partir du tableau du khi-deux, tu peux trouver la valeur du khi-deux pour ton test pour le niveau de signification et les degrés de liberté de ton problème spécifique. Tu trouveras ci-dessous une petite partie du tableau.

Tableau 4 - Valeurs du khi-deux

Revenons à l'exemple des bonbons. Si le seuil de signification est fixé à \(5\%\), quelle est la valeur du khi-deux ? Eh bien, la valeur où \(\alpha = 0,05\) et \(4\) se rencontrent est \(9,49\).

La question qui se pose maintenant est de savoir si la statistique du test est supérieure ou inférieure à la valeur du Khi-deux. Si la statistique de ton test est inférieure à la valeur du khi-deux, tu peux considérer que l'hypothèse nulle est confirmée.

Effectuer le test avec la valeur P

La valeur \(p-\)est la probabilité que (si l'hypothèse nulle est vraie) la variation de l'échantillonnage produise une estimation plus éloignée de la valeur de l'hypothèse que celle trouvée dans l'échantillon actuel. C'est un peu verbeux, En d'autres termes, c'est la probabilité qu'un échantillonnage aléatoire puisse produire un résultat moins précis que le résultat actuel.

Une fois de plus, le tableau est consulté. Cette fois, trouve où se situe ta statistique de test dans le tableau, et extrais la valeur correspondante de la ligne du niveau de signification. Par exemple, pour une statistique de test de \(5\) lorsque les degrés de liberté sont de \(3\), \(0,2< p <0,1\). Tant que la valeur de \(p-\)est supérieure au niveau de signification, l'hypothèse nulle n'a pas été réfutée.

Test du khi-deux pour la qualité de l'ajustement Exemple