Test du chi-carré d'indépendance

Définition du test d'indépendance du khi-deux

Il arrive que tu veuilles savoir s'il existe une relation entre deux variables catégorielles.

Vois les choses de la façon suivante :

Si tu sais quelque chose sur une variable, peux-tu utiliser cette information pour en savoir plus sur l'autre variable ?

Tu peux utiliser le test d'indépendance du khi-deux pour y parvenir.

S'il existe une relation entre les deux variables catégorielles, le fait de connaître la valeur d'une variable te renseigne sur la valeur de l'autre variable.

S'il n'y a pas de relation entre les deux variables catégorielles, elles sont indépendantes.

Hypothèses pour un test d'indépendance du khi-deux

Tous les tests du khi-deux de Pearson, pour l'indépendance, l'homogénéité et la qualité de l'ajustement, reposent sur les mêmes hypothèses de base. La principale différence réside dans la façon dont ces hypothèses s'appliquent dans la pratique. Pour pouvoir utiliser ce test, les hypothèses d'un test d'indépendance du khi-deux sont les suivantes :

• Les deux variables doivent être catégoriques.

  • Ce test du Khi-deux utilise des tableaux croisés, en comptant les observations qui entrent dans chaque catégorie.

• Les groupes doivent être mutuellement exclusifs, c'est-à-dire que l'échantillon est sélectionné au hasard.

  • En poursuivant l'exemple de l'introduction, trois mois après que les méthodes d'intervention de la ville ont été testées, ils examinent les résultats et placent les données dans un tableau de contingence. Les groupes qui doivent être mutuellement exclusifs sont les sous-groupes : (recycle - dépliant), (ne recycle pas - témoin), etc.

Tableau 1. Tableau de contingence, test du chi-deux pour l'indépendance.

• Les effectifs attendus doivent être au moins égaux à \(5\).

  • Cela signifie que la taille de l'échantillon doit être suffisamment grande, mais il est difficile de déterminer à l'avance quelle est cette taille. En général, il suffit de s'assurer qu'il y a plus de \(5\) dans chaque catégorie.

• Les observations doivent être indépendantes.

  • Il s'agit de la façon dont les données sont collectées. Dans l'exemple du recyclage en ville, le chercheur ne doit pas échantillonner des maisons qui sont proches les unes des autres. En d'autres termes, il est plus probable qu'une rue de ménages recycle que des ménages choisis dans des quartiers différents.

Hypothèse nulle et hypothèse alternative pour un test d'indépendance du khi-deux

Lorsqu'il s'agit de l'indépendance des variables, tu supposes presque toujours que deux variables sont indépendantes, puis tu essaies de prouver qu'elles ne le sont pas.

• L'hypothèse nulle est que les deux variables catégorielles sont indépendantes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'association entre elles, qu'elles ne sont pas liées.\[ H_{0} : \text{"Variable A" et "Variable B" ne sont pas liées.} \]

• L'hypothèse alternative est que les deux variables catégorielles ne sont pas indépendantes, c'est-à-dire qu'il existe une association entre elles, elles sont liées.\[ H_{a} : \text{"Variable A" et "Variable B" sont liées.} \]

En remplaçant "Variable A" et "Variable B" par les variables de l'exemple du recyclage des villes, tu obtiens :

Fréquences attendues d'un test d'indépendance du khi-deux

Comme pour les autres tests du khi-deux, le test d'indépendance du khi-deux fonctionne en comparant les fréquences observées et les fréquences attendues. Tu calcules les fréquences attendues à l'aide du tableau de contingence. Ainsi, la fréquence attendue pour la ligne \(r\) et la colonne \(c\) est donnée par la formule :

\[ E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n} \]

où ,

• \(E_{r,c}\) est la fréquence attendue pour la population (ou ligne) \(r\) au niveau (ou colonne) \(c\) de la variable catégorielle,

• \(r\) est le nombre de populations, qui est également le nombre de lignes dans un tableau de contingence,

• \(c\) est le nombre de niveaux de la variable catégorielle, qui est également le nombre de colonnes d'un tableau de contingence,

• \(n_{r}\) est le nombre d'observations de la population (ou ligne) \(r\),

• \(n_{c}\) est le nombre d'observations du niveau (ou de la colonne) \(c\) de la variable catégorielle, et

• \(n\) est la taille totale de l'échantillon.

Reprenons l'exemple du recyclage en ville :

Degrés de liberté pour un test d'indépendance du khi-deux

Comme dans le test du Khi-deux pour l'homogénéité, tu compares deux variables et tu as besoin que le tableau de contingence s'additionne dans les deux dimensions.

La formule pour les degrés de liberté est la même pour les tests d'homogénéité et d'indépendance :

\[ k = (r - 1) (c - 1) \]

où,

• \N(k\N) est le degré de liberté,

• \(r\) est le nombre de populations, qui est également le nombre de lignes dans un tableau de contingence, et

• \(c\) est le nombre de niveaux de la variable catégorielle, qui est également le nombre de colonnes d'un tableau de contingence.

Formule du test d'indépendance du khi-deux

La formule (également appelée statistique de test) pour un test d'indépendance du khi-deux est la suivante :

\[ \chi^{2} = \sum \frac{(O_{r,c} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}} \]

où ,

• \(O_{r,c}\) est la fréquence observée pour la population \(r\) au niveau \(c\), et

• \(E_{r,c}\) est la fréquence attendue pour la population \(r\) au niveau \(c\).

La statistique du test du Khi-deux mesure l'écart entre les fréquences observées et les fréquences attendues si les deux variables ne sont pas liées.

Étapes pour calculer la statistique du test d'indépendance du khi-deux

Étape \(1\) : Créer un tableau

À l'aide de ton tableau de contingence, crée un tableau qui sépare tes valeurs observées et attendues en deux colonnes.

Tableau 3. Tableau des fréquences observées et des fréquences attendues, test d'indépendance du khi-deux.

Étape \(2\) : Soustraire les fréquences attendues des fréquences observées

Ajoute une nouvelle colonne à ton tableau, intitulée "O - E". Dans cette colonne, inscris le résultat de la soustraction de la fréquence attendue à la fréquence observée.

Tableau 4. Tableau des fréquences observées et des fréquences attendues, test du khi-deux pour l'indépendance.

Étape 3 : Élever au carré les résultats de l'étape \N(2\N)

Ajoute une nouvelle colonne à ton tableau, intitulée "(O - E⁾²". Dans cette colonne, inscris le résultat de la mise au carré des résultats de la colonne précédente.

Tableau 5. Tableau des fréquences observées et des fréquences attendues, test du Khi-deux pour l'indépendance.

Étape \(4\) : Diviser les résultats de l'étape 3 par les fréquences attendues

Ajoute à ton tableau une nouvelle colonne intitulée " (O - E⁾²"/E. Dans cette colonne, inscris le résultat de la division des résultats de la colonne précédente par leurs fréquences attendues.

Tableau 6. Tableau des fréquences observées et des fréquences attendues, test du Khi-deux pour l'indépendance.

Étape \(5\) : Additionne les résultats de l'étape 4 pour obtenir la statistique du test du khi-deux.

Enfin, additionne toutes les valeurs de la dernière colonne de ton tableau pour calculer la statistique de ton test du khi-deux :

\N-[ \N-{align}\N-{chi^{2} &= \sum \Nfrac{(O_{r,c} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}}]. \N-&= 0.9793 + 0.1907 + 1.0761 + 0.4966 + 0.04299 + 0.1269 \N-&= 2.91259\N-end{align} \]

La statistique du test du Khi-deux de l'indépendance dans l'exemple du recyclage de la ville est :

\N[ \NChi^{2} = 2,91259 \N]

Étapes à suivre pour effectuer un test d'indépendance du khi-deux

Si la statistique de test que tu as calculée est suffisamment grande, alors tu peux tirer la conclusion que les fréquences observées ne sont pas celles auxquelles tu t'attendrais si les variables n'étaient effectivement pas liées. Mais qu'est-ce qui est considéré comme "suffisamment grand" ?

Pour déterminer si la statistique du test est suffisamment grande pour rejeter l'hypothèse nulle, tu la compares à une valeur critique tirée d'une table de distribution du khi-deux. Cette comparaison est au cœur du test d'indépendance du khi-deux.

Suis les étapes ci-dessous pour effectuer un test d'indépendance du khi-deux.

Étape \(1\) : Énoncer les hypothèses

• L'hypothèse nulle est que les deux variables catégorielles sont indépendantes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'association entre elles, qu'elles ne sont pas liées.\[ H_{0} : \text{"Variable A" et "Variable B" ne sont pas liées.} \]

• L'hypothèse alternative est que les deux variables catégorielles ne sont pas indépendantes, c'est-à-dire qu'il existe une association entre elles, elles sont liées.\[ H_{a} : \text{"Variable A" et "Variable B" sont liées.} \]

Étape \N(2\N) : Calculer les fréquences attendues

Utilise ton tableau de contingence pour calculer les fréquences attendues à l'aide de la formule :

\[ E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n} \]

Étape \N(3\N) : Calculer la statistique du test du khi-deux

Utilise la formule du test d'indépendance du khi-deux pour calculer la statistique du test du khi-deux :

\N[ \Nchi^{2} = \Nsum \Nfrac{(O_{r,c} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}} \N]

Étape \(4\) : Trouver la valeur critique du khi-deux

Tu as deux possibilités pour trouver la valeur critique :

1. utiliser un tableau de distribution du Khi-deux, ou

2. utiliser une calculatrice de valeur critique.

Dans les deux cas, tu dois connaître deux éléments d'information pour trouver la valeur critique :

1. les degrés de liberté, \(k\), donnés par la formule :

   \[ k = (r - 1) (c - 1) \]

2. et le niveau de signification, \( \alpha \), qui est généralement \( 0,05 \).

En te référant à l'exemple du recyclage en ville, trouve la valeur critique.

Étape \(5\) : Comparer la statistique du test du khi-deux à la valeur critique du khi-deux

C'est maintenant le moment de vérité ! Ta statistique de test est-elle suffisamment grande pour rejeter l'hypothèse nulle ? Compare-la à la valeur critique que tu viens de trouver pour le savoir.

En reprenant l'exemple du recyclage de la ville, compare la statistique du test à la valeur critique.

Étape \(6\) : Décider de rejeter ou non l'hypothèse nulle

Enfin, décide de rejeter ou non l'hypothèse nulle.

• Si la valeur du Khi-deux est supérieure à la valeur critique, alors la différence entre les fréquences observées et attendues est significative ; \( (p < \alpha) \).

  • Cela signifie que tu rejettes l'hypothèse nulle selon laquelle les variables ne sont pas liées, et que tu as la preuve que l'hypothèse alternative est vraie.

• Si la valeur du Khi-deux est inférieure à la valeur critique, la différence entre les fréquences observées et attendues n'est pas significative ; \( (p > \alpha) \).

  • Cela signifie que tu ne rejettes pas l'hypothèse nulle, mais que tu n'as pas la preuve que l'hypothèse alternative est vraie.

Décide s'il faut rejeter l'hypothèse nulle pour l'exemple du recyclage en ville.

Utilisation de la valeur critique VS utilisation de la valeur P

Dans les étapes de réalisation d'un test d'indépendance du Khi-deux, tu as calculé et utilisé la valeur critique pour décider de rejeter ou non l'hypothèse nulle.

Il est toutefois important de savoir qu'il existe une autre option que tu peux utiliser : lavaleur\(p\)-.

L'image ci-dessous résume l'approche de la valeur critique par rapport à l'approche de la valeur \(p\).

Figure 1. Schéma montrant comment tu peux utiliser soit une valeur \(p\) soit une valeur critique pour déterminer s'il faut rejeter l'hypothèse nulle.

Test du khi-deux pour l'indépendance - Exemple

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