Qu'est-ce que le test d'hypothèse pour le coefficient de corrélation ?
Lorsqu'on dispose d'un échantillon de données bivariées (données qui comprennent deux variables), il est possible de calculer le degré de corrélation linéaire des données, à l'aide d'un coefficient de corrélation.
Le coefficient de corrélation du moment produit (CCMP) décrit le degré de corrélation entre une variable et une autre. En d'autres termes, la force de la corrélation entre deux variables. Le PMCC pour un échantillon de données est désigné par r, tandis que le PMCC pour une population est désigné par ρ.
Le PMCC est limité à des valeurs comprises entre -1 et 1 (inclus).
Si, il y a une corrélation linéaire positive parfaite. Tous les points se situent sur une ligne droite avec une pente positive, et plus l'une des variables est élevée, plus l'autre l'est aussi.
Siil n'y a pas de corrélation linéaire entre les variables.
Si il existe une corrélation linéaire négative parfaite. Tous les points se trouvent sur une ligne droite avec une pente négative, et plus l'une des variables est élevée, plus l'autre est faible.
La corrélation n'est pas équivalente à la causalité, mais un PMCC proche de 1 ou de -1 peut indiquer qu'il y a une plus grande probabilité que deux variables soient liées.
Données bivariées sans corrélation, avec corrélation positive et avec corrélation négativeLe PMCC doit pouvoir être calculé à l'aide d'une calculatrice graphique en trouvant la droite de régression de y sur x, et donc en trouvant r (cette valeur est automatiquement calculée par la calculatrice), ou en utilisant la formulequi se trouve dans le livret de formules. Plus r est proche de 1 ou de -1, plus la corrélation entre les variables est forte, et donc plus les variables sont étroitement associées. Tu dois être capable d'effectuer des tests d'hypothèse sur un échantillon de données bivariées afin de déterminer si nous pouvons établir une relation linéaire pour une population entière. En calculant le PMCC, et en le comparant à une valeur critique, il est possible de déterminer la probabilité qu'une relation linéaire existe.
Quel est le test d'hypothèse pour la corrélation négative ?
Pour effectuer un test d'hypothèse, il faut comprendre un certain nombre de mots-clés:
Hypothèse nulle ( ) : l'hypothèse supposée correcte jusqu'à preuve du contraire.
Hypothèse alternative ( ) : la conclusion tirée si est rejetée.
Test d'hypothèse : procédure mathématique permettant d'examiner la valeur d'un paramètre de la population proposée par l'hypothèse nulle par rapport à l'hypothèse alternative.
Statistique du test : elle est calculée à partir de l'échantillon et testée dans des tableaux de probabilités cumulées ou avec la distribution normale comme dernière partie du test de signification.
Région critique : la plage de valeurs qui conduit au rejet de l'hypothèse nulle.
Niveau de signification : le niveau de signification réel est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle. alors qu'elle est en fait vraie.
L'hypothèse nulle est également appelée "hypothèse de travail". C'est ce que nous supposons être vrai pour les besoins du test, ou jusqu'à preuve du contraire.
L'hypothèse alternative est ce que l'on conclut si l'hypothèse nulle est rejetée. Elle détermine également si le test est unilatéral ou bilatéral.
Un test unilatéral permet la possibilité d'un effet dans une seule direction, tandis que les tests bilatéraux permettent la possibilité d'un effet dans deux directions, c'est-à-dire à la fois dans le sens positif et dans le sens négatif. Méthode : Une série d'étapes doit être suivie pour déterminer l'existence d'une relation linéaire entre 2 variables. 1. Écris l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative (). L'hypothèse nulle est toujourstandis que l'hypothèse alternative dépend de ce qui est demandé dans la question. Les deux hypothèses doivent être formulées en symboles uniquement (pas en mots).
2. À l'aide d'une calculatrice, calcule la valeur du PMCC de l'échantillon de données, r.
3. Utilise le niveau de signification et la taille de l'échantillon pour calculer la valeur critique. Celle-ci se trouve dans le tableau PMCC du livret de formules.
4. Prends la valeur absolue du PMCC et de r, et compare-les à la valeur critique. Si la valeur absolue est supérieure à la valeur critique, l'hypothèse nulle doit être rejetée. Dans le cas contraire, l'hypothèse nulle doit être acceptée.
5. Rédige une conclusion complète dans le contexte de la question. La conclusion doit être énoncée dans son intégralité : à la fois en langage statistique et dans des mots reflétant le contexte de la question. Une corrélation négative signifie que l'hypothèse alternative est rejetée : l'absence d'une variable est corrélée avec une présence plus forte de l'autre variable, alors que, lorsqu'il y a une corrélation positive, la présence d'une variable est corrélée avec la présence de l'autre.
Comment interpréter les résultats basés sur l'hypothèse nulle ?
À partir des résultats observés (statistique du test), il faut prendre une décision, en déterminant s'il faut rejeter l'hypothèse nulle ou non.
Image : Repapetilto CC BY-SA 3.0,
Test bilatéral appliqué à une distribution normale. Image : domaine public
Les tests unilatéraux et bilatéraux sont tous deux présentés au niveau de signification de 5 %. Cependant, les 5% sont distribués à la fois dans le côté positif et négatif dans le test bilatéral, et uniquement dans le côté positif dans le test unilatéral.
À partir de l'hypothèse nulle, le résultat peut se situer n'importe où sur le graphique. Si le résultat observé se trouve dans la zone ombrée, la statistique du test est significative à 5 %, en d'autres termes, nous rejetons l'hypothèse nulle.. Par conséquent, [...] pourrait être vrai, mais il est quand même rejeté. Par conséquent, le niveau de signification, 5 %, est la probabilité que soit rejetée même si elle est vraie, en d'autres termes, la probabilité que est rejetée à tort. Lorsque est rejetée, (l'hypothèse alternative) est utilisée pour écrire la conclusion.
Nous pouvons définir l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative pour les tests unilatéraux et bilatéraux :
Pour un test unilatéral :
Pour un test bilatéral :
Prenons un exemple de test de corrélation.
12 étudiants ont passé deux tests de biologie : l'un était théorique et l'autre pratique. Les résultats sont indiqués dans le tableau.
| Score à l'épreuve théorique, t | 5 | 9 | 7 | 11 | 20 | 4 | 6 | 17 | 12 | 10 | 15 | 16 |
| Score à l'épreuve pratique, p | 6 | 8 | 9 | 13 | 20 | 9 | 8 | 17 | 14 | 8 | 17 | 18 |
a) Trouve le coefficient de corrélation du moment du produit pour ces données, à 3 chiffres significatifs.
b) Un enseignant prétend que les élèves qui réussissent bien l'épreuve théorique ont tendance à bien réussir l'épreuve pratique. Teste cette affirmation au niveau de signification de 0,05, en énonçant clairement tes hypothèses.
a) A l'aide d'une calculatrice, nous trouvons le PMCC (entre les données dans deux listes et calcule la droite de régression. le PMCC apparaîtra). r = 0,935 à 3 chiffres de signe.
b) Nous testons une corrélation positive, puisque l'affirmation est qu'une note plus élevée à l'épreuve théorique est associée à une note plus élevée à l'épreuve pratique. Nous allons maintenant utiliser les cinq étapes que nous avons examinées précédemment.
1. Énonce l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative. ρ = 0 et : ρ > 0
2. Calcule le PMCC. D'après la partie a), r = 0,935
3. Détermine la valeur critique à partir de la taille de l'échantillon et du niveau de signification. La taille de l'échantillon, n, est de 12. Le niveau de signification est de 5 %. L'hypothèse est unilatérale puisque nous ne testons qu'une corrélation positive. En utilisant le tableau du livret de formules, la valeur critique est cv = 0,4973.
4. La valeur absolue du PMCC est de 0,935, ce qui est supérieur à 0,4973. Puisque le PMCC est plus grand que la valeur critique au niveau de signification de 5 %, nous pouvons tirer une conclusion.
5. Puisque le PMCC est plus grand que la valeur critique, nous choisissons de rejeter l'hypothèse nulle. Nous pouvons conclure qu'il existe des preuves significatives à l'appui de l'affirmation selon laquelle les élèves qui obtiennent de bons résultats à l'épreuve théorique de biologie ont également tendance à obtenir de bons résultats à l'épreuve pratique de biologie.
Prenons un deuxième exemple.
Un dé tétraédrique (quatre faces) est lancé 40 fois et 6 "uns" sont observés. Y a-t-il une preuve au niveau de 10 % que la probabilité d'un résultat de 1 est inférieure à un quart ?
La moyenne attendue est de 10 . La question demande si le résultat observé (statistique de test 6) est inhabituellement bas.
Nous suivons maintenant la même série d'étapes.
1. Énonce l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative. : ρ = 0 et : ρ <0 .25
2. Nous ne pouvons pas calculer le PMCC puisque nous ne disposons que des données relatives à la fréquence des " uns ".
3. Un test unilatéral est nécessaire ( ρ < 0,25) au niveau de signification de 10 %. Nous pouvons convertir ceci en une distribution binomiale dans laquelle X est le nombre de "uns". Nous utilisons ensuite les tables binomiales cumulatives. La valeur observée est X = 6. A .
4. Puisque 0,0962, soit 9,62 % <10 %, le résultat observé se situe dans la région critique.
5. Nous rejetons et acceptons l'hypothèse alternative. Nous concluons qu'il existe des preuves montrant que la probabilité d'obtenir un "un" est inférieure à .
Test d'hypothèse pour la corrélation - Principaux enseignements
- Le coefficient de corrélation du moment du produit (CCPM), ou r, est une mesure du degré de corrélation entre deux variables. Il varie entre -1 et 1, indiquant la force d'une corrélation.
- Plus r est proche de 1 ou de -1, plus la corrélation (positive ou négative) entre deux variables est forte.
- L'hypothèse nulle est l'hypothèse qui est supposée correcte jusqu'à preuve du contraire. Elle affirme qu'il n'y a pas de corrélation entre les variables.
- L'hypothèse alternative est celle qui est acceptée lorsque l'hypothèse nulle est rejetée. Elle peut être unilatérale (elle porte sur un seul résultat) ou bilatérale (elle porte sur les deux résultats - positif et négatif).
- Si le niveau de signification est de 5 %, cela signifie qu'il y a 5 % de chances que l'hypothèse nulle soit rejetée à tort.
ImagesTest unilatéral : https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=35569621
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