Test d'hypothèse de comparaison de deux moyennes

Décris le type de test d'hypothèse que tu utiliserais dans les scénarios suivants.

1. Une société de téléphonie mobile a publié une nouvelle mise à jour de son logiciel. Elle t'a demandé de trouver des preuves statistiques pour appuyer son affirmation selon laquelle la mise à jour du logiciel a amélioré l'autonomie de la batterie.

2. Une animalerie vend des chiots Welsh Corgi provenant de deux éleveurs différents. Elle souhaite déterminer s'il existe une différence significative entre les poids des chiots de chaque éleveur.

Solution

1. Pour réaliser cette expérience, tu aurais besoin de collecter des échantillons d'informations sur l'autonomie de la batterie du téléphone avant et après la mise à jour du logiciel. Comme les échantillons seront prélevés dans la même population après qu'un changement a été effectué, ils ne sont pas indépendants. Par conséquent, tu dois utiliser un test t par paires.

2. Dans ce cas, tu devrais prélever des échantillons de poids chez deux éleveurs différents et donc deux distributions indépendantes. Tu dois supposer que les populations ont les mêmes variances, tu devras donc utiliser une estimation groupée de la variance pour trouver la valeur t et non un test t apparié.

Une animalerie vend des chiots Welsh Corgi pour le compte de deux éleveurs de chiots, $X$ et $Y$. Ils ont échantillonné les poids des chiots de chaque éleveur.

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Poids des chiots de l'éleveur $X$ en kilogrammes : $5.44,5.32,5.21,5.67.$

Poids des chiots de l'éleveur $Y$ en kilogrammes : $5.02,4.99,5.42,5.21,5.11.$

L'animalerie souhaite savoir s'il existe une différence statistiquement significative entre les poids des chiots de chaque éleveur.

a. Si tu voulais tester la différence entre les poids des chiots, quelles hypothèses doivent être faites ?

b. Teste si les poids moyens des chiots des deux éleveurs sont différents au niveau de confiance \(10\%).

Solution

a. Pour tester la différence de poids des chiots, les hypothèses à faire sont que les échantillons de chiots sont normalement distribués, indépendants et ont les mêmes variances.

b. Le test est bilatéral, les hypothèses sont donc ,

\N- [\N-] &H_0:\N, \Nmu _x=\Nmu _y \N- [\N-] &H_1 : \,\mu _x \neq \mu _y.\end{align}\]

Il s'agit d'un test bilatéral puisque l'hypothèse alternative est que les poids moyens sont différents. Le niveau de signification est de $10$%, la région critique aura donc une probabilité de $0,05$ dans chaque queue de la distribution.

Le nombre de degrés de liberté est

\N- [\N-upsilon = (4-1)+(5-1)=7.\N]

La valeur critique peut être trouvée à l'aide d'une calculatrice ou de tables de probabilités :

$$t_{\upsilon =7}(0.05)=1.895.$$

Ensuite, trouve l'estimation groupée de la variance. Tu devrais avoir $\overline{x}=5.41$ et $\overline{y}=5.17.$.

Les variances des échantillons sont $s_x^2=0.038866667$ et $s_y^2=0.03015$.

Par conséquent, l'estimation groupée de la variance est,

\[\N-[\N-]s^2_p &= \frac{(n_x-1)s^2_x+(n_y-1)s^2_y}{(n_x-1)+(n_y-1)} \N&= \frac{(4-1)0.038867 +(5-1)0.03015 }{(4-1)+(5-1)} \N&=0.033886 \N-[\N-] texte{ à 5 s.f.} \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Ta valeur de $t^{\ast }$ est alors :

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{(\overline{x}-\overline{y})-({\mu }_x-{\mu }_y)}{\sqrt{s_p^2({\displaystyle \frac{1}{n_x}}+{\displaystyle \frac{1}{n_y}})}}\mathrm{\&}={\displaystyle \frac{(5.41-5.17)-(0)}{\sqrt{0.033886({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})}}}\\ & =1.9435\end{array}$$

Puisque $t^{\ast }=1.9435>1.895=t_{\upsilon }$, ta valeur de $t^{\ast }$ se situe dans la région critique. Par conséquent, au niveau de signification de $10$%, tu peux rejeter l'hypothèse nulle.

En conclusion, il existe des preuves suggérant qu'il y a une différence entre les moyennes des poids des chiots Welsh Corgi des deux éleveurs.

Un service de livraison de nourriture, \N(A\N), affirme que son délai moyen de livraison de nourriture est plus de \N(5\N) minutes plus rapide que le délai de livraison de son concurrent, \N(B\N).

Un échantillon aléatoire des délais de livraison de chaque entreprise est collecté :

• Délai de livraison des produits alimentaires pour $A$, en minutes : $22,16,45,23,39,32.$
• Délai de livraison de la nourriture pour \N(B\N), en minutes : $34,42,63,18,25,46,47.$

Le service de livraison de nourriture \N(B\N) t'engage pour tester si cette affirmation est statistiquement significative au niveau de signification \N(10\N%). Effectue un test d'hypothèse pour la différence entre les moyennes et explique ce que cela signifie pour les deux services de livraison de nourriture.

Solution

Puisque les échantillons sont indépendants, l'hypothèse nulle serait normalement que les deux moyennes sont identiques. Cependant, l'affirmation est que le service \N(A) est en moyenne \N(5) minutes plus rapide que son concurrent, donc l'hypothèse nulle est plutôt \N(\Nmu _A=\Nmu _B -5 \N). Puisque tu t'intéresses uniquement à la question de savoir si le temps de livraison des repas est plus important pour un service, les hypothèses sont :

\N- [\N-] &H_0:\N,\Nmu _A=\Nmu _B -5 \N- &H_1 : \,\mu_A < \mu _B-5. \N- [Fin{align}\N]

Il s'agit d'un test unilatéral. Le niveau de signification est de $10$%, la région critique aura donc une probabilité de $0,10$ dans la queue gauche de la distribution.

Le nombre de degrés de liberté est

\N- [\N-upsilon = (6-1)+(7-1)=11.\N]

La valeur critique peut être trouvée à l'aide d'une calculatrice ou de tables de probabilités,

$$t_{\upsilon =11}(0.10)=1.363.$$

Puisque tu veux seulement savoir si ${\mu }_a$ est inférieur à ${\mu }_b-5$, la valeur critique est \(t_{upsilon = -1,363\).

Trouve ensuite l'estimation groupée de la variance. Tu as $\overline{a}=29.5$ et $\overline{b}=39.3$. Les variances des échantillons sont $s_a^2=123.50$ et $s_b^2=226.57$. Par conséquent, l'estimation groupée de la variance est :

\[\N-[\N-]s^2_p &= \frac{(n_a-1)s^2_a+(n_b-1)s^2_b}{(n_a-1)+(n_b-1)} \N&= \frac{(6-1)123.50 +(7-1)226.57 }{(6-1)+(7-1)} \N&=179.72 \N-[\N-]\N-[\N-]text{ à 5 s.f.} \N- [end{align}\N]

La valeur de $t^{\ast }$ est donc,

\[\N- t^*&=\frac{(\Nbar{a}-\Nbar{b})-(\Nmu _a - \Nmu _b)}{\sqrt{s^2_p\Nleft(\Ndfrac{1}{n_a}+\Ndfrac{1}{n_b}\Nright)}\N&=\dfrac{(29.5 -39.3)-(-5)}{\sqrt{179.72 \left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)}}\&=-0.64357.\end{align}\]

Puisque $t^{\ast }=-0.64357>-1.363=t_{\upsilon }$, la valeur de $t$ se situe dans la zone d'acceptation. Par conséquent, au niveau de signification $10\mathrm{\%}$, tu ne parviens pas à rejeter l'hypothèse nulle.

Cela signifie qu'il n'y a pas de preuves suffisantes pour suggérer que le service de livraison \N(A) a un délai de livraison supérieur à \N(5) minutes plus rapide que le service de livraison \N(B).