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Quels sont les thèmes abordés dans les statistiques ?
Les probabilités
Dans les probabilités, nous explorons l'idée d'événements indépendants et dépendants. Tu apprendras à calculer les chances qu'un événement se produise en utilisant diverses méthodes telles que les diagrammes de Venn et les diagrammes en arbre, ainsi que les événements conditionnels et mutuellement exclusifs.
Les diagrammes de Venn te permettent de comprendre comment des événements peuvent se produire en même temps.
Dessine un diagramme de Venn pour les données suivantes :
U = nombres inférieurs à 20
A = nombres pairs
B = Multiples de 3
Solutions :
Calcule \(P(A \cap B)\)
Solutions :
Il y a 19 nombres dans l'ensemble.
Il y a 3 nombres à l'intérieur de l'intersection.
Donc \(P(A \cap B) = \frac{3}{19}\)
Collecte des données
Ici, nous nous intéressons à l'échantillonnage, notamment aux différentes méthodes d'échantillonnage et aux différents types de données. Certaines personnes trouvent que les questions sur l'échantillonnage sont les plus faciles à répondre dans un examen, mais elles peuvent aussi être assez verbeuses, il est donc important d'être attentif - et tu comprendras alors précisément ce que l'on te demande de faire.
Il y a plusieurs façons de classer les données. Nous pouvons classer les données comme étant quantitatives ou qualitatives, ainsi que descriptives et déductives.
Il y a 400 élèves dans l'école, 250 filles et 150 garçons. Explique comment prélever un échantillon stratifié de 40 élèves dans l'école.
Solution.
Nous voulons choisir 25 filles et 15 garçons (de façon à avoir la même proportion que la population entière). Une méthode consiste à attribuer à toutes les filles un numéro compris entre 1 et 250. Ensuite, à l'aide d'un générateur de nombres aléatoires, génère 25 numéros, puis choisis ces 25 filles.
Répète la même chose pour les garçons : attribue-leur un numéro compris entre 1 et 150. Utilise ensuite ton générateur de nombres aléatoires pour générer 15 nombres, puis choisis ces 15 garçons.
Mesures de la localisation et de la propagation
Nous devons analyser les données que nous recueillons, et la meilleure façon de le faire est d'utiliser des mesures de localisation et de dispersion. Cela nous permet de comparer les données à l'aide des éléments suivants
- La moyenne et l'écart type.
- Utiliser des analyses de données simples telles que le mode et l'étendue.
- Trouver les quartiles et les centiles.
- Utiliser l'algèbre pour coder ces données.
Un jour choisi au hasard, chacun des 32 élèves d'une classe a noté à la minute près le temps (t) qu'il lui a fallu pour se rendre à l'école. Trouve la moyenne et l'écart type à partir des données suivantes :
\[\sum t = 1414 \text{ and } \sum t^2 = 69378\].
Solutions :
Moyenne : \(\frac{\sum t}{n} = \frac{1414}{32} = 44.1875\)
Ecart par défaut : \sqrt{\frac{\sum t^2}{n} - \Big( \frac{\sum t}{n} \Big)^2} = \frac{69378}{32} - (44.1875)^2 = 215.52734375\)
Distributions statistiques
Une partie essentielle des statistiques consiste à comprendre la distribution des données. Les distributions sont essentiellement des fonctions mathématiques qui donnent la probabilité qu'une fonction se produise. Nous examinerons deux distributions principales, la distribution binomiale et la distribution normale.
La distribution binomiale s'applique chaque fois qu'il y a deux résultats possibles mutuellement exclusifs d'une expérience. Si une expérience dont la probabilité que le résultat se produise est p est réalisée n fois, la probabilité que ce résultat se produise n fois est :
\(P(X = a) = \left( \begin{array} {c} n \\ a \end{array} \right) p^{a} (1-p)^{n-a}\) avec \(\left( \begin{array} {c} n \ a \end{array} \right) = \frac{n !}{a !(n-a)!}\N- (également écrit \N(^n{C}_a\N))Un dé est lancé 10 fois. Le résultat du lancer de 5 présente une distribution binomiale : \(X \sim B(10, \frac{1}{6})\). Calcule \NP(P(X \leq 3)\N).
Solution.
Il suffit de calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3) et de les additionner. Par conséquent : \(P(X = 0) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\N 0 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = 0.1615055829 ; \quad P(X=1) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\ 1 \end{array} \right) (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 0.3230111658 ; \quad P(X=2) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\\N 2 \end{array} \Nright) (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = 0.2907100492 ; \quad P(X=3) = \left( \begin{array} {c} 10 \\\\N 3 \end{array} \Nright) (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^7 = 0.155043596\)
En faisant la somme de tous ces éléments, nous obtenons \(P(X \leq 3) = 0.9302721575\)
Dans certains examens, tu auras accès à un livret de formules avec une section dédiée aux statistiques. Vérifie sur le site Internet de ton jury d'examen si c'est le cas. Les formules les plus utiles sont celles de la distribution binomiale et de la probabilité mutualiste ; cependant, le livret contiendra également des tableaux statistiques. Tu n'en auras peut-être pas besoin si tu sais utiliser une calculatrice, mais ils indiquent les valeurs de probabilité aux niveaux de signification des distributions.
Tests d'hypothèses
Le test d'hypothèse consiste à utiliser la distribution pour calculer si une déclaration (une hypothèse) est vraie ou non. Dans le sujet sur les tests d'hypothèse, nous verrons comment effectuer des tests unilatéraux et bilatéraux et comment énoncer une hypothèse nulle.
Un café affirme qu'un quart des gâteaux qui lui sont envoyés n'ont pas de cerises sur le dessus. Pour tester cette affirmation, le nombre de gâteaux sans cerises dans un échantillon aléatoire de 40 est enregistré. En utilisant un niveau de signification de 5 %, trouve la région critique pour un test bilatéral de l'hypothèse selon laquelle la probabilité d'une cerise manquante est de 0,26.
Solutions :
Il s'agit d'un test bilatéral, ce qui signifie que nous devrons examiner les deux extrémités. Commence par un nombre aléatoire aux deux extrémités.
Extrémité inférieure :
P(X ≤ 6) = 0,07452108246
P(X ≤ 5) = 0.03207217407
P(X ≤ 4) = 0,01136083855
Comme il s'agit d'un test bilatéral, nous voulons être aussi proches que possible de 0,025 :
P(X ≤ 4) < 0,025 < P(X ≤ 5).
Extrémité supérieure :
P(X ≥ 16) = 1 - P(X ≤ 15) = 0,03703627013.
P(X ≥ 17) = 1 - P(X ≤ 16) = 0,0171086868649.
Encore une fois, nous voulons être aussi proches que possible de 0,025, donc :
P(X ≥ 17) < 0,025 < P(X ≥ 16).
Nos régions critiques sont donc P(X ≤ 4) et P(X ≥ 17).
Représenter les données
Dans le sujet sur la représentation des données, nous allons nous intéresser aux méthodes graphiques pour présenter les données. Il s'agit notamment des histogrammes, des diagrammes en boîte et des fréquences cumulées. Nous verrons également comment trouver des valeurs aberrantes dans les données et comment traiter les anomalies dans les données.
Si tu étudies pour des examens de niveau A, certains conseils d'examen prouvent un grand ensemble de données, par exemple une feuille de calcul contenant des données météorologiques provenant d'aéroports du Royaume-Uni et du monde entier. Tu n'as pas à mémoriser de données, mais tu dois te familiariser avec les différents types de données qu'il contient et les unités de ces données.
Statistiques - Principaux enseignements
- Les statistiques peuvent être décomposées en de nombreux concepts.
- De nombreux concepts issus des mathématiques pures sont utilisés dans les statistiques, tels que l'expansion binomiale dans la distribution binomiale.
- Le processus mathématique des statistiques est le même que celui des mathématiques pures.
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