Somme de variables aléatoires indépendantes

Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\)

Il existe un théorème très important qui couvre ce cas : le théorème de convolution.

Théorème de convolution : Supposons que deux variables aléatoires discrètes indépendantes \N(X) et \N(Y) aient des fonctions génératrices de probabilité \N(G_X(t)\Net \N(G_Y(t)\N). La fonction génératrice de probabilité de \(Z=X+Y\) est

\[G_Z(t)=G_X(t)G_Y(t).\]

Voyons une application.

Le principal avantage du théorème de convolution est qu'il te permet de trouver la fonction génératrice de probabilité sans construire de tableau, ce qui réduit les risques d'erreur.

Trouver la fonction génératrice de probabilité de \(Z=aX+b\)

Voyons rapidement comment tu peux construire la fonction génératrice de probabilité de \(Z=nX\) où \(n\) est un nombre naturel à partir de la fonction génératrice de probabilité de \(X\). En commençant par \N(n=2\N),

\N[ Z = 2X = X+X\N]

tu peux donc utiliser le théorème de convolution pour obtenir que

\N- G_Z(t)=G_X(t)G_X(t) = (G_X(t))^2.\N]

Ensuite, tu peux utiliser la preuve par induction pour montrer que pour tout nombre naturel \N(n\N), si \N(Z=nX\N) alors

\[G_Z(t)=\nunderbrace{G_X(t)G_X(t)\cdots G_X(t)}_{n \text{ fois}} = (G_X(t))^n.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Comme tu le sais, il n'y a pas que les nombres naturels, et tu dois aussi tenir compte de ce "\(+b\)". Il est donc utile d'examiner l'autre définition de la fonction génératrice de probabilité :

\[G_Z(t) = \text{E}(t^Z).\N-]

Tu peux ensuite utiliser les propriétés de la fonction de valeur attendue pour obtenir ce qui suit :

\[\N- Début{alignement} G_Z(t) &= \text{E}(t^Z) \\N- &= \text{E}(t^{aX+b}) \N- &= \text{E}(t^{aX}t^b) \N- &= t^b\text{E}(t^{aX}) \N- &= t^b\text{E}\Nà gauche((t^a)^X\Nà droite) \N- &= t^bG_X(t^a) . \N- [end{align}\N]

Bien que cette propriété n'ait pas de nom sophistiqué, elle mérite d'être énoncée séparément.

Si \(X\) est une variable aléatoire discrète et a une fonction génératrice de probabilité de \(G_X(t)\), la fonction génératrice de probabilité de \(Z\) où \(Z=aX+b\) est :

\[G_Z(t)=t^bG_X(t^a).\]

Prenons un exemple rapide.

Espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes

Comme toutes les variables aléatoires, les sommes de variables aléatoires indépendantes ont également une espérance ou une moyenne. Tu peux utiliser le théorème de convolution et la définition alternative de la fonction génératrice de probabilité pour trouver l'espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que les formules :

• \(G'_X(1) = E(X)\) ;

• \(\text{E}(aX+b) = a\text{E}(X) + b\) ; et

• \(\text{E}(X+Y) = \text{E}(X) + \text{E}(Y)\).

Prenons un exemple.

Variance de la somme de variables aléatoires indépendantes

Tout comme tu as trouvé la moyenne ci-dessus, tu peux aussi trouver la variance des sommes de variables aléatoires indépendantes. Pour ce faire, tu auras besoin des formules suivantes :

• \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) ; et
• \(\text{Var}(Z)= G''_Z(1)+G'_Z(1)-(G'_Z(1))^2\).

Prenons un exemple.

Exemples de sommes de variables aléatoires indépendantes

Tu as déjà vu quelques exemples de financement de la somme de variables aléatoires indépendantes, ainsi que leur moyenne et leur variance. Cependant, pour des types de distributions spécifiques, comme la distribution binomiale et la distribution uniforme, le fait de les examiner, en particulier, peut être éclairant. Continue donc pour les détails !

Somme de variables aléatoires binomiales indépendantes

Suppose que tu aies deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des distributions binomiales. En d'autres termes, \sim \text{Bin}(n_X, p_X)\N et \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N Y \sim \text{Bin}(n_Y, p_Y)\N. Tu sais déjà que

\[G_X(t) = (1-p_X+p_Xt)^{n_X}\]

et

\N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.\N- G_Y(t) = (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}.

En utilisant le théorème de convolution, si \N(Z = X+Y\N) alors

\N- [\N- Début{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\\N- &= (1-p_X+p_Xt)^{n_X} (1-p_Y+p_Yt)^{n_Y}. \N-{align}\N- [\N]

Prenons un exemple.

Somme de variables aléatoires uniformes indépendantes

Rappelle-toi qu'une variable aléatoire uniforme discrète prend des probabilités égales pour chaque résultat possible. Ainsi, si la distribution \(X\) comporte des événements se produisant avec une probabilité \(\dfrac{1}{n}\), alors

\[ G_X(t) = \frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}.\]

Si \N(Y\N) est une seconde distribution aléatoire discrète et uniforme dont les événements se produisent avec une probabilité de \N(\Ndfrac{1}{m}\N), et \N(Z = X+Y\N), alors

\[ \begin{align} G_Z(t) &= G_X(t) G_Y(t) \\N- &= \left(\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)} \right)\left(\frac{t(1-t^m)}{m(1-t)}\right) \N- &= \frac{t^2(1-t^n)(1-t)^m}{nm(1-t)^2} .\Nend{align}\N]

Prenons un exemple.

Il n'est en fait pas nécessaire de mémoriser les différentes formules pour les divers types de distributions de probabilités discrètes tant que tu gardes à l'esprit le théorème de convolution !