Quartiles et étendue interquartile: Statistiques, Analyse

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La visualisation de leur salaire à l'aide d'une fourchette risque de ne pas tenir compte de l'écart de salaire entre le personnel débutant et le personnel confirmé.

Les quartiles et l'écart interquartile permettent de prendre en compte les valeurs des données situées entre les deux extrémités de l'ensemble de données.

Dans cet article, nous allons en apprendre davantage sur les quartiles et l'écart interquartile.

Qu'est-ce qu'un quartile ?

Les quartiles sont les valeurs qui divisent un ensemble en quarts (quatre parties).

Bien que les quartiles divisent l'ensemble des données en quatre parties, nous avons donc trois quartiles : le premier quartile, le deuxième quartile et le troisième quartile.

Le quartile inférieur

Le quartile inférieur, également connu sous le nom de premier quartile, est ce qui représente les données inférieures à 25 %. Techniquement, il s'agit de la valeur du point médian entre le point de données le plus bas et la médiane de l'ensemble des données. Il est également désigné par $Q_{1}$ .

Nous rappelons que la médiane d'un ensemble de données est la valeur du point médian. Le quartile inférieur est la médiane de l'ensemble des valeurs allant du point de données le plus bas à la médiane de l'ensemble des données.

Pour trouver le quartile inférieur, nous utilisons la médiane comme point de référence.

Si le nombre de valeurs de l'ensemble de données est impair, ne tiens pas compte du nombre du milieu. Le quartile inférieur est la médiane de la moitié inférieure de l'ensemble de données.
Si le nombre de valeurs de l'ensemble de données est pair, le quartile inférieur est toujours la médiane de la moitié inférieure de l'ensemble de données.

Trouve le quartile inférieur de l'ensemble de données 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4.

Solution

Étape 1.

Nous réarrangeons les valeurs des données dans l'ordre croissant pour obtenir

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Étape 2.

Nous constatons que 5 est la médiane de l'ensemble des données. Cependant, cela signifie que la moitié inférieure des données se retrouve avec 3, 3, 4.

Étape 3.

La médiane de cette moitié est 3. Par conséquent, le quartile inférieur est le suivant

$Q_{1} = 3$ .

Trouve le quartile inférieur de l'ensemble de données donné 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons les valeurs des données par ordre croissant pour obtenir ,

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Étape 2.

Puisque le nombre de valeurs de données est pair, nous pouvons les diviser en deux parties égales, la moitié inférieure étant,

23, 45, 46, 62

Étape 3.

Pour trouver la médiane de ces valeurs, nous devrons trouver la moyenne des deux valeurs du milieu, puisque cet ensemble de données est également pair. Ainsi, le quartile inférieur est donné par ,

$\frac{45 + 46}{2} = 45.5$

$Q_{1} = 45.5$

Le deuxième quartile

Le deuxième quartile désigné par $Q_{2}$ est la médiane de l'ensemble des données. Il s'agit de la valeur du point milieu de l'ensemble des données.

Pour trouver le deuxième quartile, nous identifions la valeur médiane de l'ensemble de données donné si le nombre de valeurs de données est impair. Si le nombre de valeurs de données de l'ensemble de données donné est pair, nous trouvons la moyenne des deux valeurs médianes. Cette moyenne est le deuxième quartile.

Trouve le deuxième quartile de l'ensemble de données 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4.

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons les valeurs des données dans l'ordre croissant, pour obtenir

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Étape 2.

Ici, 5 est identifié comme la valeur moyenne de l'ensemble des données. Par conséquent, le deuxième quartile est

$Q_{2} = 5$

Trouve le deuxième quartile de l'ensemble de données donné 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons les valeurs des données dans l'ordre croissant

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Étape 2.

Comme le nombre de données est pair, deux nombres peuvent être identifiés comme étant les valeurs moyennes. Il s'agit de 62 et 77. Nous allons trouver la moyenne de ces valeurs, pour obtenir

$\frac{62 + 77}{2} = 69.5$

$Q_{2} = 69.5$

Le troisième quartile

Le troisième quartile, également appelé quartile supérieur, est la valeur sous laquelle se trouvent 75 % des données lorsqu'elles sont classées par ordre croissant. Il est désigné par $Q_{3}$ . Cette valeur correspond à la valeur du point milieu entre la médiane et la valeur la plus élevée des données.

Pour trouver le quartile supérieur, utilise la médiane comme point de référence.

Si le nombre de valeurs de données dans l'ensemble de données est impair, ne tiens pas compte du nombre du milieu. Le quartile supérieur est la médiane de la moitié supérieure de l'ensemble des données.
Si le nombre de valeurs de l'ensemble de données est pair, le quartile supérieur est toujours la médiane de la moitié supérieure de l'ensemble de données.

Trouve le quartile supérieur de l'ensemble de données 9, 12, 3, 5, 8, 3, 4.

Solution

Étape 1. Nous réorganisons les valeurs des données par ordre croissant pour obtenir ,

3, 3, 4, 5, 8, 9, 12

Étape 2.

Nous constatons que 5 est la médiane de l'ensemble des données. Cependant, cela signifie que la moitié supérieure des données est maintenant composée de

8, 9, 12.

La médiane de ces données est 9. Par conséquent,

$Q_{3} = 9$

Trouve le quartile supérieur de l'ensemble de données donné 78, 62, 46, 89, 98, 23, 45, 77.

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons les valeurs des données par ordre croissant pour obtenir ,

23, 45, 46, 62, 77, 78, 89, 98

Étape 2.

Puisque le nombre de valeurs de données est pair, nous pouvons les diviser en deux parties égales, la moitié supérieure étant,

77, 78, 89, 98

Étape 3.

Pour trouver la médiane de ces valeurs, nous devrons trouver la moyenne des deux valeurs du milieu, puisque cet ensemble de données est également pair.

$\frac{78 + 89}{2} = 83.5$

$Q_{3} = 83.5$

Importance des quartiles dans les statistiques

La recherche de quartiles dans les statistiques a des utilités importantes. Elles sont présentées ci-dessous.

Les quartiles permettent d'identifier facilement la tendance centrale d'un ensemble de données et sa variabilité.
Les quartiles permettent d'identifier les valeurs aberrantes d'un ensemble de données.
Les quartiles donnent des informations sur la forme de la distribution des données.
Ils résument les grands ensembles de données.
Les quartiles sont les principaux éléments utilisés pour calculer les intervalles interquartiles.

L'écart interquartile et l'écart des quartiles

L'écart interquartile est la différence entre la valeur du quartile supérieur et celle du quartile inférieur.

Cela signifie que pour réussir à trouver l'écart interquartile de n'importe quelles données données, tu devras connaître les quartiles supérieur et inférieur.

Formule de l'écart interquartile

La formule de l'écart interquartile est donnée par la formule suivante

$I Q R = Q_{3} - Q_{1}$

où $Q_{3} = t h i r d q u a r t i l e$ , $Q_{1} = f i r s t q u a r t i l e$

Pour trouver les quartiles et l'écart interquartile d'un ensemble de données donné, tu peux procéder comme suit,

Ordonne les valeurs par ordre croissant.
Trouve la médiane. Celle-ci est toujours appelée deuxième quartile ( $Q_{2}$ ).
Trouve maintenant la médiane des deux moitiés de l'ensemble de données. La moitié la plus basse est étiquetée $Q_{1}$ et la moitié la plus élevée est étiquetée $Q_{3}$ .
Trouve l'intervalle interquartile (IQR) en soustrayant $Q_{1}$ de $Q_{3}$ .

Calcul des quartiles et de l'écart interquartile

Dans cette section, nous allons prendre un exemple de calcul des quartiles et de l'écart interquartile.

Trouve l'écart interquartile pour l'ensemble de données 6, 47, 49, 15, 43, 41, 7, 39, 43, 41, 36.

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons l'ensemble des données dans l'ordre, de la plus petite à la plus grande, pour obtenir

6, 7, 15, 36, 39, 41, 41, 43, 43, 47, 49

Étape 2.

Nous trouvons la médiane en localisant le point de données du milieu, qui est 41. C'est ce qu'on appelle aussi le deuxième quartile,

$Q_{2} = 41$

Étape 3.

Pour trouver la médiane des deux moitiés, nous devons comprendre que le point où se trouve la médiane divise les points de données en deux.

Par conséquent, la médiane de la première moitié sera le premier quartile, tandis que la médiane de la seconde moitié sera le troisième quartile. Trouvons d'abord la médiane de la première moitié.

La première moitié est composée de 6, 7, 15, 36, 39 . La médiane est 15. Ainsi $Q_{1} = 15$

Trouvons également la médiane de la deuxième moitié, qui est 41, 43, 43, 47, 49 . La médiane est 43. Donc $Q_{3} = 43$ .

Nous pouvons maintenant calculer l'écart interquartile,

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 43 - 15 = 28$

Représentation graphique des écarts interquartiles

Tracer les écarts interquartiles sur un graphique signifie que tu dessines un diagramme en boîte. Pour en construire un, nous suivons les étapes suivantes,

Réorganise les valeurs de l'ensemble des données de la plus basse à la plus haute.
Identifie les valeurs les plus élevées et les plus basses de l'ensemble de données.
Identifie la valeur médiane de l'ensemble de données (médiane).
Trouve le quartile supérieur et le quartile inférieur.
Trouve l'écart interquartile.
Construis le diagramme en boîte avec les valeurs nécessaires trouvées.

Le tableau ci-dessous représente les données des points marqués par les joueurs de basket-ball par match sur une période de sept matchs. Visualise ces données sur un diagramme en boîte.

Jeu	Points
1	10
2	17
3	5
4	32
5	16
6	18
7	20

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons lesvaleurs de l'ensemble des données de la plus faible à la plus élevée.

5, 10, 16, 17, 18, 20, 32.

Étape 2.

Identifie maintenant les valeurs les plus élevées et les plus basses de l'ensemble des données.

$H i g h e s t v a l u e = 32 L o w e s t v a l u e = 5$

Étape 3.

Nous pouvons maintenant identifier la valeur moyenne (médiane) de l'ensemble des données,

$M e d i a n = 17$

Étape 4.

Nous allons maintenant trouver les quartiles supérieur et inférieur.

Le quartile inférieur est la médiane de la première moitié de l'ensemble de données. Cela signifie que nous trouvons la médiane pour 5, 10 et 16.

$L o w e r q u a r t i l e = 10$

Le quartile supérieur est la médiane de la deuxième moitié de l'ensemble des données. Cela signifie que nous trouvons la médiane pour 18, 20, 32.

$U p p e r q u a r t i l e = 20$

Étape 5.

Nous pouvons maintenant trouver l'écart interquartile à l'aide de la formule,

$I Q R = U p p e r q u a r t i l e (Q_{3}) - l o w e r q u a r t i l e (Q_{1}) = 20 - 10 = 10$

Étape 6.

Maintenant que nous avons toutes les valeurs nécessaires, nous allons construire notre diagramme en boîte et notre diagramme à moustaches.

H i g h e s t v a l u e = 32

$L o w e s t v a l u e = 5$

$M e d i a n = 17$

$U p p e r q u a r t i l e = 20$

$L o w e r q u a r t i l e = 10$

Nous allons d'abord tracer une droite numérique qui s'adapte aux données, et reporter toutes les valeurs nécessaires que nous avons trouvées.

Construis un rectangle qui entoure la médiane de l'ensemble des données que ses lignes verticales passent par les quartiles supérieur et inférieur. Construis maintenant une ligne verticale passant par la médiane qui touche les deux extrémités du rectangle.

Écart de quartile

L'écart des quartiles est défini comme la moitié de la différence entre le quartile supérieur et le quartile inférieur.

L'écart des quartiles est l'une des mesures qui permettent d'évaluer la dispersion d'un ensemble de données. Mathématiquement, cela mesure la mesure dans laquelle les quartiles inférieur et supérieur diffèrent de la médiane. Il est calculé en divisant l'écart interquartile d'un ensemble de données par 2.

L'écart des quartiles est également connu sous le nom d'écart semi-interquartile. Sa formule est définie par ,

$Q u a r t i l e d e v i a t i o n = \frac{T h i r d q u a r t i l e - f i r s t q u a r t i l e}{2} = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2}$

Quel sera l'écart des quartiles pour l'ensemble de données 6, 9, 3, 6, 6, 5, 2, 3, 8 ?

Solution

Étape 1.

Nous réorganisons l'ensemble des données dans l'ordre, de la plus faible à la plus élevée,

2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9

Étape 2.

Nous trouvons la médiane en localisant le point de données du milieu, qui est 6. Cela signifie que le deuxième quartile est 6.

$Q_{2} = 6$

Étape 3.

Nous trouvons la médiane pour les deux moitiés. Commençons par la première moitié.

2, 3, 3, 5

Nous avons les deux valeurs qui sont 3, donc le premier quartile est 3.

$Q_{1} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Nous allons maintenant trouver la médiane pour la deuxième moitié

6, 6, 8, 9

Puisque nous avons deux chiffres ici, nous allons trouver la moyenne de ces deux chiffres.

$Q_{3} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Maintenant que nous avons trouvé les quartiles inférieur et supérieur, nous voulons savoir de combien ces valeurs s'écartent de la médiane (qui est la valeur du point central de l'ensemble des données). Pour trouver l'écart entre les quartiles, nous allons soustraire le premier quartile du troisième quartile et le diviser par 2,

$Q u a r t i l e d e v i a t i o n = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Quartiles et écart interquartile - Principaux enseignements

Un quartile est un type de quantile qui divise un ensemble de données ordonnées en quatre quarts.
L'écart interquartile est la différence entre la valeur du quartile supérieur et celle du quartile inférieur.
Le troisième quartile représente les données inférieures à 75 %.
La formule de l'écart interquartile est la suivante $I Q R = Q_{3} - Q_{1}$ .
La formule de l'écart quartile est $Q u a r t i l e d e v i a t i o n = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2}$

Fiches dans Quartiles et étendue interquartile 6

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Quel est le type de quantile qui divise un ensemble de données ordonnées en quatre parties ?

Quartile

L'écart interquartile est la différence entre deux valeurs ?

Troisième quartile et premier quartile

Quelles sont les mesures de dispersion qui donnent un aperçu assez frappant de la dispersion des données ?

Les quartiles et les intervalles interquartiles

Lesquels de ces éléments représentent des données inférieures à 25 % ?

Premier quartile

Le deuxième quartile est également connu sous le nom de _____.

Médiane

Comment ordonner les valeurs d'un ensemble de données donné pour trouver ses quartiles ?

Du plus bas au plus haut

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Questions fréquemment posées en Quartiles et étendue interquartile

Qu'est-ce qu'un quartile en maths?

Un quartile est une valeur qui divise un ensemble de données en quatre parties égales. Il y a trois quartiles : Q1 (premier quartile), Q2 (médiane) et Q3 (troisième quartile).

Comment calculer les quartiles?

Calculer les quartiles nécessite d'abord de trier les données par ordre croissant, puis de trouver les valeurs situées aux positions correspondant aux 25%, 50% (médiane), et 75% de l'ensemble des données.

Qu'est-ce que l'étendue interquartile?

L'étendue interquartile est la différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1). Elle mesure la dispersion des données centrales.

A quoi sert l'étendue interquartile?

L'étendue interquartile sert à identifier l’étendue de la distribution des données centrales et est moins sensible aux valeurs extrêmes par rapport à la plage totale.

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