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Définition des proportions d'un échantillon
Dans l'exemple ci-dessus, les pourcentages obtenus représentent le pourcentage de personnes d'un groupe qui ont une caractéristique d'intérêt, dans ce cas, la peur du vide. Ce type de pourcentage correspond à une proportion.
Une proportion d'échantillon est la proportion d'individus dans un échantillon qui ont une caractéristique particulière d'intérêt.
Symbole de la proportion de l'échantillon
Alors que la proportion de la population totale est désignée par \(p\N), la proportion de l'échantillon est désignée par \N(\Nwidehat{p}\N), et est calculée en comptant le nombre de succès dans l'échantillon (un succès signifie qu'un individu possède la caractéristique en question) et en le divisant par la taille totale de l'échantillon \N(n\N).
\[\widehat{p}=\frac{\text{nombre de succès dans l'échantillon}}{n}.\]
Généralement, la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) est différente de la proportion de la population \(p\).
Comprendre la proportion de l'échantillon
Disons que tu as un sac de \(40\) gommes, dont \(20\) sont acides et \(20\) sont sucrées. Attribuons un numéro à chaque gomme pour faciliter leur identification.
| Bonbons acidulés | \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) |
| Gommes sucrées | \(21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30)(31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40) |
Supposons que tu ne connaisses pas la proportion réelle de chaque saveur dans le sachet, et que tu sois intéressé par le nombre de gommes sucrées dans le sachet. Tu décides de prendre un petit échantillon de taille \(4\), et tu finis par choisir les chewing-gums \(1, 13, 14, 29.\) Alors, pour cet échantillon, un succès signifie que le chewing-gum est sucré, donc la proportion de l'échantillon est :
\[\widehat{p}=\frac{1}{4}=0.25\]
Prenons d'autres échantillons et voyons ce qui se passe.
| Échantillon | Gummies sélectionné | \N- (\N-widehat{p}\N) | Échantillon | Gummies sélectionné | \N-(\N-widehat{p}\N) |
| \(1\) | \(1, 13, 14, 29\) | \(0.25\) | \(7\) | \(3, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(2\) | \(11, 12, 13, 14\) | \(0\) | \(8\) | \(4, 26, 38, 39\) | \(0.75\) |
| \(3\) | \(1, 2, 26, 37,\) | \(0.5\) | \(9\) | \(15, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(4\) | \(2, 14, 26, 38\) | \(0.5\) | \(10\) | \(5, 26, 37, 39\) | \(0.75\) |
| \(5\) | \(2, 13, 15, 28\) | \(0.25\) | \(11\) | \(26, 27, 28, 29\) | \(1\) |
| \(6\) | \(3, 4, 15, 36\) | \(0.25\) | \(12\) | \(26, 37, 38, 40\) | \(1\) |
Comme tu peux le constater, des échantillons différents peuvent te donner des proportions d'échantillons différentes.
Figure 1. Histogramme avec la fréquence des proportions d'échantillons de gommes sucrées.
En traçant les fréquences de chaque proportion d'échantillon, il est plus facile de voir le comportement de la proportion d'échantillon \(\widehat{p}\).
Importance des proportions de l'échantillon
Lorsque tu veux savoir quelle proportion d'individus ou d'objets d'une population entière possède un intérêt particulier, il est parfois très long, voire impossible, de collecter toutes les données.
L'idée de prendre les proportions d'un échantillon est qu'à partir de ces informations, tu peux déduire quelle serait la proportion de la population entière. Pour cela, tu auras besoin de connaître la distribution d'échantillonnage de la proportion.
Pour revenir à l'exemple des chewing-gums, le graphique de la figure 1 représente approximativement la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\). Si tu veux obtenir le véritable graphique de la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\), tu dois considérer tous les échantillons possibles de chewing-gums de taille \(4\) !
Conditions pour la distribution d'échantillonnage des proportions
Pour que la distribution d'échantillonnage de la proportion \(\widehat{p}\) estime réellement la proportion de la population \(p\), tu dois t'assurer que les conditions suivantes sont vérifiées :
1. Condition de randomisation: la condition la plus importante nécessaire à la création d'une distribution d'échantillonnage est que tes données proviennent d'échantillons sélectionnés au hasard.
2. Indépendance (condition \(10\%)): les valeurs échantillonnées doivent être indépendantes les unes des autres. Cela peut se faire en considérant des tailles d'échantillon ne dépassant pas \(10\%\) de l'ensemble de la population.
Encore une fois, pour l'exemple des chewing-gums, tu peux choisir les chewing-gums au hasard (tu peux prendre le chewing-gum sans regarder le sachet ou écrire les nombres \(1-40\) sur des morceaux de papier et en prendre un au hasard). Et l'échantillon de taille sélectionnée satisfait également à la condition d'indépendance parce que \(4\) est \(10\%\) du total des chewing-gums dans le sac.
Formule de la moyenne et de l'écart type pour les proportions d'un échantillon
Soit \(p\) la proportion de succès dans une population et \(\widehat{p}\) la proportion de l'échantillon, c'est-à-dire la proportion de succès dans un échantillon aléatoire de taille \(n\). La moyenne et l'écart type de la distribution d'échantillonnage de \(\widehat{p}\) peuvent alors être calculés comme suit
\[\mu_{\widehat{p}}=p\,\text{ et }\, \sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.\]
De plus, lorsque \(np\geq 10\) et \(n(1-p)\geq 10\), la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) est approximativement normale.
Ainsi, lorsque la condition de normalité est satisfaite, tu peux convertir n'importe quelle proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) en un score \(z\) (voir l'article score \(z\) pour plus d'informations) en utilisant la formule suivante
\[ z=\frac{\widehat{p}-\mu_\widehat{p}}{\sigma_\widehat{p}}=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}.\]
La proportion de succès dans une population est \N(p=0,35\). Trouve la moyenne et l'écart type de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) obtenue à partir d'échantillons aléatoires de taille \(n=70\).
Solution :
En utilisant les formules énoncées ci-dessus, la moyenne est égale à
\[\mu_{\widehat{p}}=0.35,\]
et l'écart-type
\[\sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{(0.35)(0.65)}{70}}\approx 0.057.\]
Exemples de proportions d'échantillons
Voyons un exemple de calcul des probabilités de la distribution d'une proportion de l'échantillon.
Une entreprise affirme que seuls \(10\%\) des produits qu'elle fabrique sont défectueux. Un inspecteur de la qualité a prélevé un échantillon aléatoire de taille \(200\).
(a) Quelle est la probabilité qu'au plus \(12\%) d'entre eux soient défectueux ?
(b) Quelle est la probabilité qu'il y ait entre \(9\%) et \(11\%) de produits défectueux ?
Solution :
(1) Puisque
\[np=200(0.10)=20>10\]
et
\[n(1-p)=200(0.90)=180>10,\]
la distribution d'échantillonnage de \(\widehat{p}\) est approximativement normale. Tu peux donc utiliser les propriétés de la distribution normale (voir l'article Distribution normale pour plus d'informations) pour calculer ces probabilités.
(2) Calculons la moyenne et l'écart-type de la proportion \(\widehat{p}\). En utilisant les formules données précédemment
\N- [\Nmu_widehat{p}=0.10\N] et
\[\sigma_\widehat{p}=\sqrt{\frac{(0.10)(0.90)}{200}}\approx 0.021.\]
(3) Conversion des valeurs en notes : pour (a) tu auras
\[ \begin{align}P(\widehat{p}<0.12) &= P\left(z<\frac{0.12-0.10}{0.021}\right) \\ &= P(z<0.95) \\ &=0.8289. \Nend{align} \]
Et pour (b) tu auras
\[ \begin{align}P(0.09<\widehat{p}<0.11) &= P\left(\frac{0.09-0.10}{0.021} Ainsi, la probabilité qu'au plus \(12\N%) d'entre eux soient défectueux est de \N(0,8289\N), et la probabilité qu'il y ait de \N(9\N%) à \N(11\N%) défectueux est de \N(0,3688\N).
Proportion d'un échantillon - Points clés
- L'objectif de la prise de proportions d'échantillons est d'estimer la proportion de la population.
- La proportion de l'échantillon est désignée par \(\widehat{p}\).
- La formule permettant de calculer la moyenne et l'écart type de la distribution d'échantillonnage de la proportion \(\widehat{p}\) est donnée par\[\mu_{\widehat{p}}=p\,\]et\[ \sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.\N}].
- Lorsque \(np\geq 10\) et \(n(1-p)\geq 10\), la distribution d'échantillonnage de la proportion \(\widehat{p}\) est similaire à une distribution normale.
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