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Un parc d'attractions veut mettre en place une nouvelle attraction extrême. Pour s'assurer du succès de cette nouvelle attraction, il aimerait connaître le pourcentage de la population qui a le vertige. Certains employés du parc d'attractions ont interrogé 500 personnes et 40 % d'entre elles ont déclaré avoir le vertige, tandis que d'autres employés ont interrogé 600 personnes, dont 30 % avaient également le vertige. Avec ces informations, pouvons-nous déjà conclure quel pourcentage de la population totale a peur du vide ?
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Inscris-toi gratuitementL'écart-type de la distribution d'échantillonnage de la proportion est donné par
Un restaurant veut savoir combien de clients commandent un dessert. Il a posé la question à 50 clients, dont 23 ont répondu qu'ils commandaient un dessert. Quelle est la notation correcte pour représenter cette proportion ?
Si tu connais la proportion de la population et la taille de l'échantillon, peux-tu calculer l'écart-type de la proportion de l'échantillon ?
C'est la condition de normalité pour les proportions d'un échantillon
La proportion de l'échantillon ne peut prendre que des valeurs comprises dans \N[0,1]. \]
Un agriculteur affirme qu'en moyenne 10 % des œufs de ses poules sont cassés. Dans un échantillon aléatoire de 150 œufs, comment calculer la probabilité qu'au moins 11 % des œufs soient cassés ?
Si la distribution d'échantillonnage d'une proportion \(\widehat{p}\) est normalement distribuée, comment convertir une valeur \(\widehat{p}\) en une valeur \(z\) ?
L'écart-type de la distribution d'échantillonnage de la proportion est donné par
Un restaurant veut savoir combien de clients commandent un dessert. Il a posé la question à 50 clients, dont 23 ont répondu qu'ils commandaient un dessert. Quelle est la notation correcte pour représenter cette proportion ?
Si tu connais la proportion de la population et la taille de l'échantillon, peux-tu calculer l'écart-type de la proportion de l'échantillon ?
C'est la condition de normalité pour les proportions d'un échantillon
La proportion de l'échantillon ne peut prendre que des valeurs comprises dans \N[0,1]. \]
Un agriculteur affirme qu'en moyenne 10 % des œufs de ses poules sont cassés. Dans un échantillon aléatoire de 150 œufs, comment calculer la probabilité qu'au moins 11 % des œufs soient cassés ?
Si la distribution d'échantillonnage d'une proportion \(\widehat{p}\) est normalement distribuée, comment convertir une valeur \(\widehat{p}\) en une valeur \(z\) ?
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Équipe enseignants Proportions d'échantillon
Dans l'exemple ci-dessus, les pourcentages obtenus représentent le pourcentage de personnes d'un groupe qui ont une caractéristique d'intérêt, dans ce cas, la peur du vide. Ce type de pourcentage correspond à une proportion.
Une proportion d'échantillon est la proportion d'individus dans un échantillon qui ont une caractéristique particulière d'intérêt.
Alors que la proportion de la population totale est désignée par \(p\N), la proportion de l'échantillon est désignée par \N(\Nwidehat{p}\N), et est calculée en comptant le nombre de succès dans l'échantillon (un succès signifie qu'un individu possède la caractéristique en question) et en le divisant par la taille totale de l'échantillon \N(n\N).
\[\widehat{p}=\frac{\text{nombre de succès dans l'échantillon}}{n}.\]
Généralement, la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) est différente de la proportion de la population \(p\).
Disons que tu as un sac de \(40\) gommes, dont \(20\) sont acides et \(20\) sont sucrées. Attribuons un numéro à chaque gomme pour faciliter leur identification.
| Bonbons acidulés | \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) |
| Gommes sucrées | \(21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30)(31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40) |
Supposons que tu ne connaisses pas la proportion réelle de chaque saveur dans le sachet, et que tu sois intéressé par le nombre de gommes sucrées dans le sachet. Tu décides de prendre un petit échantillon de taille \(4\), et tu finis par choisir les chewing-gums \(1, 13, 14, 29.\) Alors, pour cet échantillon, un succès signifie que le chewing-gum est sucré, donc la proportion de l'échantillon est :
\[\widehat{p}=\frac{1}{4}=0.25\]
Prenons d'autres échantillons et voyons ce qui se passe.
| Échantillon | Gummies sélectionné | \N- (\N-widehat{p}\N) | Échantillon | Gummies sélectionné | \N-(\N-widehat{p}\N) |
| \(1\) | \(1, 13, 14, 29\) | \(0.25\) | \(7\) | \(3, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(2\) | \(11, 12, 13, 14\) | \(0\) | \(8\) | \(4, 26, 38, 39\) | \(0.75\) |
| \(3\) | \(1, 2, 26, 37,\) | \(0.5\) | \(9\) | \(15, 26, 27, 38\) | \(0.75\) |
| \(4\) | \(2, 14, 26, 38\) | \(0.5\) | \(10\) | \(5, 26, 37, 39\) | \(0.75\) |
| \(5\) | \(2, 13, 15, 28\) | \(0.25\) | \(11\) | \(26, 27, 28, 29\) | \(1\) |
| \(6\) | \(3, 4, 15, 36\) | \(0.25\) | \(12\) | \(26, 37, 38, 40\) | \(1\) |
Comme tu peux le constater, des échantillons différents peuvent te donner des proportions d'échantillons différentes.
Figure 1. Histogramme avec la fréquence des proportions d'échantillons de gommes sucrées.
En traçant les fréquences de chaque proportion d'échantillon, il est plus facile de voir le comportement de la proportion d'échantillon \(\widehat{p}\).
Lorsque tu veux savoir quelle proportion d'individus ou d'objets d'une population entière possède un intérêt particulier, il est parfois très long, voire impossible, de collecter toutes les données.
L'idée de prendre les proportions d'un échantillon est qu'à partir de ces informations, tu peux déduire quelle serait la proportion de la population entière. Pour cela, tu auras besoin de connaître la distribution d'échantillonnage de la proportion.
Pour revenir à l'exemple des chewing-gums, le graphique de la figure 1 représente approximativement la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\). Si tu veux obtenir le véritable graphique de la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\), tu dois considérer tous les échantillons possibles de chewing-gums de taille \(4\) !
Pour que la distribution d'échantillonnage de la proportion \(\widehat{p}\) estime réellement la proportion de la population \(p\), tu dois t'assurer que les conditions suivantes sont vérifiées :
1. Condition de randomisation: la condition la plus importante nécessaire à la création d'une distribution d'échantillonnage est que tes données proviennent d'échantillons sélectionnés au hasard.
2. Indépendance (condition \(10\%)): les valeurs échantillonnées doivent être indépendantes les unes des autres. Cela peut se faire en considérant des tailles d'échantillon ne dépassant pas \(10\%\) de l'ensemble de la population.
Encore une fois, pour l'exemple des chewing-gums, tu peux choisir les chewing-gums au hasard (tu peux prendre le chewing-gum sans regarder le sachet ou écrire les nombres \(1-40\) sur des morceaux de papier et en prendre un au hasard). Et l'échantillon de taille sélectionnée satisfait également à la condition d'indépendance parce que \(4\) est \(10\%\) du total des chewing-gums dans le sac.
Soit \(p\) la proportion de succès dans une population et \(\widehat{p}\) la proportion de l'échantillon, c'est-à-dire la proportion de succès dans un échantillon aléatoire de taille \(n\). La moyenne et l'écart type de la distribution d'échantillonnage de \(\widehat{p}\) peuvent alors être calculés comme suit
\[\mu_{\widehat{p}}=p\,\text{ et }\, \sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.\]
De plus, lorsque \(np\geq 10\) et \(n(1-p)\geq 10\), la distribution de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) est approximativement normale.
Ainsi, lorsque la condition de normalité est satisfaite, tu peux convertir n'importe quelle proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) en un score \(z\) (voir l'article score \(z\) pour plus d'informations) en utilisant la formule suivante
\[ z=\frac{\widehat{p}-\mu_\widehat{p}}{\sigma_\widehat{p}}=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}.\]
La proportion de succès dans une population est \N(p=0,35\). Trouve la moyenne et l'écart type de la proportion de l'échantillon \(\widehat{p}\) obtenue à partir d'échantillons aléatoires de taille \(n=70\).
Solution :
En utilisant les formules énoncées ci-dessus, la moyenne est égale à
\[\mu_{\widehat{p}}=0.35,\]
et l'écart-type
\[\sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{(0.35)(0.65)}{70}}\approx 0.057.\]
Voyons un exemple de calcul des probabilités de la distribution d'une proportion de l'échantillon.
Une entreprise affirme que seuls \(10\%\) des produits qu'elle fabrique sont défectueux. Un inspecteur de la qualité a prélevé un échantillon aléatoire de taille \(200\).
(a) Quelle est la probabilité qu'au plus \(12\%) d'entre eux soient défectueux ?
(b) Quelle est la probabilité qu'il y ait entre \(9\%) et \(11\%) de produits défectueux ?
Solution :
(1) Puisque
\[np=200(0.10)=20>10\]
et
\[n(1-p)=200(0.90)=180>10,\]
la distribution d'échantillonnage de \(\widehat{p}\) est approximativement normale. Tu peux donc utiliser les propriétés de la distribution normale (voir l'article Distribution normale pour plus d'informations) pour calculer ces probabilités.
(2) Calculons la moyenne et l'écart-type de la proportion \(\widehat{p}\). En utilisant les formules données précédemment
\N- [\Nmu_widehat{p}=0.10\N] et
\[\sigma_\widehat{p}=\sqrt{\frac{(0.10)(0.90)}{200}}\approx 0.021.\]
(3) Conversion des valeurs en notes : pour (a) tu auras
\[ \begin{align}P(\widehat{p}<0.12) &= P\left(z<\frac{0.12-0.10}{0.021}\right) \\ &= P(z<0.95) \\ &=0.8289. \Nend{align} \]
Et pour (b) tu auras
\[ \begin{align}P(0.09<\widehat{p}<0.11) &= P\left(\frac{0.09-0.10}{0.021} Ainsi, la probabilité qu'au plus \(12\N%) d'entre eux soient défectueux est de \N(0,8289\N), et la probabilité qu'il y ait de \N(9\N%) à \N(11\N%) défectueux est de \N(0,3688\N).
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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