Définition d'une proportion
Une proportion est un rapport entre deux quantités. Plus spécifiquement, il s'agit d'un rapport entre les cardinaux d'un ensemble et un de ses sous-ensembles.
Soit \(E\) un ensemble et soit \(F\) un sous-ensemble (ou une partie) de \(E\). La proportion de \(F\) par rapport à \(E\) est le nombre d'éléments dans \(F\) divisé par le nombre d'éléments dans \(E\), soit \(\frac{|F|}{|E|}\).
Il y a plusieurs façons de noter le nombre d'éléments dans un ensemble \(E\) : \(|E|\), \(\#E\), \(\text{card}(E)\), \(n_E\). Pour approfondir ce sujet, consulte notre résumé de cours sur les ensembles mathématiques.
Nous pouvons faire une analogie avec les termes statistiques population et échantillon. La population est l'ensemble que nous considérons, alors qu’un échantillon en est une partie. Pour plus d'informations, n'hésite pas à lire notre résumé de cours sur l'échantillonnage.
Regardons maintenant comment calculer une proportion.
Comment calculer une proportion ?
Pour calculer une proportion, il faut diviser le nombre d'éléments dans le sous-ensemble par le nombre d'éléments total.
Dans une classe de terminale, il y a \(30\) élèves. Parmi ces élèves, \(12\) ont choisi les mathématiques comme matière de spécialité. Peux-tu déterminer la proportion d'élèves qui font les mathématiques comme spécialité ?
Pour calculer cette proportion, tu dois diviser le nombre d'élèves ayant les maths comme spécialité par le nombre d'élèves dans la classe : \(\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).
En d'autres termes, deux élèves sur cinq dans cette classe font les maths comme spécialité.
Nous pouvons exprimer une proportion comme une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage.
Calculer un pourcentage
Pour calculer une proportion en pourcentage, tu dois multiplier la proportion écrite comme un nombre décimal par \(100\).
Il y a cinq ans, une forêt occupait une aire de 12 000 m2. À cause de la déforestation, son aire est maintenant 10 050 m2. Peux-tu calculer le pourcentage de la forêt qu'il reste actuellement et l'exprimer en pourcentage ?
Pour calculer cette proportion, nous devons diviser l'aire de la forêt après par l'aire de la forêt avant la déforestation : \(\frac{10 050}{12 000} = 0{,}8375\).
Pour convertir ce nombre décimal en pourcentage, nous devons maintenant multiplier par \(100\) : \(0{,}8375 \times 100 = 83{,}75\).
La proportion de forêt restante est donc \(83{,}75 \ \%\).
Les augmentations ou réductions sont souvent données en termes de pourcentage car il permet de mieux comprendre s'il s'agit d'un changement important. Par exemple, une augmentation de 5 € du prix d'une voiture n'est pas pareille à une augmentation de 5 € du prix d'une baguette. Pour cela, il est important de savoir calculer un pourcentage de réduction.
Comment calculer un pourcentage de réduction
Pour calculer un pourcentage de réduction, nous devons diviser la réduction par la valeur initiale et ensuite multiplier par \(100\). Nous pouvons utiliser la formule suivante : \[\frac{\text{valeur initiale} - \text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}} \times 100\] Voyons un exemple de comment utiliser cette formule.
Pendant les soldes, une boutique a décidé de réduire le prix d'une chemise de 90 € à 75 €. Sais-tu comment calculer le pourcentage de réduction ?
Nous devons appliquer la formule. Ici, la valeur initiale est 90 € et la valeur finale est 75 €. Le pourcentage de réduction est donc :
\(\frac{90 - 75}{90} \times 100\)
\( = \frac{15}{90} \times 100\)
\(= \frac{1}{6} \times 100\)
\(= 16{,}7\)
Le pourcentage de réduction est donc \(16{,}7 \ \%\)
S'il s'agit d'un pourcentage d'augmentation, nous devons remplacer \(\text{valeur initiale} - \text{valeur finale}\) avec \(\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}\), comme la valeur finale est plus élevée que la valeur initiale après une augmentation.
Que faire si nous avons le pourcentage de réduction, mais pas la valeur initiale ? Dans ce cas, il faut faire un calcul de pourcentage inversé.
Faire un calcul de pourcentage inversé
Faire un calcul de pourcentage inversé revient à trouver la valeur initiale avec la valeur finale et le pourcentage d'augmentation ou de réduction. Imagine qu'une valeur ait changé par \(x \ \%\), alors nous pouvons faire un calcul de pourcentage inversé avec une des formules suivantes :
s'il s'agit d'une augmentation, \[\text{valeur initiale} = \frac{\text{valeur finale}}{1 +\frac{x}{100}}\]
s'il s'agit d'une réduction, \[\text{valeur initiale} = \frac{\text{valeur finale}}{1 -\frac{x}{100}}\]
Dû à l'inflation, une boulangerie a augmenté le prix de tous ses produits de \(10 \ \%\). Une baguette coûte maintenant 1,65 € combien coûtait-elle avant ?
Appliquons la formule. Ici, la valeur finale est \(1{,}65\) et \(x = 10\).
\(\text{valeur initiale} = \frac{1{,}65}{1 +\frac{10}{100}}\)
\(\text{valeur initiale} = \frac{1{,}65}{1 +0{,}1}\)
\(\text{valeur initiale} = \frac{1{,}65}{1{,}1} = 1{,}5\)
Une baguette coûtait donc 1,50 € avant la hausse des prix.
Le concept de proportion en mathématiques est assez générique. Or, le taux d'évolution nous donne des informations plus précises.
Qu'est-ce qu'un taux d'évolution ?
Le taux d'évolution, également appelé variation relative, est une proportion spécifique qui indique comment une quantité a changé au fil du temps.
Le taux d'évolution d'une quantité \(x\) est donné par la formule : \[\Delta x = \frac{x_{\text{final}} - x_{\text{initial}}}{x_{\text{initial}}}\]
En mathématiques, la lettre grecque \(\Delta\), prononcée « delta », représente souvent un changement ou une variation.
Selon l'Insee, le taux d'inflation en France était de 0,5 % en 2020. En 2022, il était de 5,2 %. Es-tu capable de déterminer le taux d'évolution de l'inflation ?
Nous utilisons la formule avec \(x_{\text{final}} = 5{,}2\) et avec \(x_{\text{initial}} = 0{,}5\).
\(\Delta x = \frac{5{,}2 - 0{,}5}{0{,}5}\)
\(\Delta x = \frac{4{,}7}{0{,}5} = 9{,}4\)
Le taux d'évolution est positif si la quantité a augmenté et négatif si la quantité a diminué.
Proportions - Points clés
- Une proportion est le rapport entre le nombre d'éléments dans un ensemble et un de ses sous-ensembles.
- Il est possible d'exprimer une proportion comme une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage.
- Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, il faut le multiplier par \(100\).
- La formule suivante permet de calculer le pourcentage de réduction : \[\frac{\text{valeur initiale} - \text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}} \times 100\]
- Le taux d'évolution de \(x\) se calcule à l'aide la formule \[\Delta x = \frac{x_{\text{final}} - x_{\text{initial}}}{x_{\text{initial}}}\]
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