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C'est ce que sont les événements indépendants. L'entreprise est un événement et le Covid-19 en est un autre, et ils n'ont aucun effet l'un sur l'autre.
Dans cet article, nous verrons la définition des événements indépendants, les formules liées aux événements indépendants et des exemples de leur application. Nous verrons également comment nous pouvons représenter visuellement ce type d'événements sous la forme de ce que l'on appelle les diagrammes de Venn.
Définition des événements indépendants
On parle d'événement indépendant lorsque la survenue d'un événement n'influence pas la probabilité qu'un autre événement se produise.
Tu peux avoir deux événements distincts qui n'ont rien à voir l'un avec l'autre. Que l'un se produise ou non n'affectera pas le comportement de l'autre. C'est pourquoi on les appelle des événements indépendants.
Lorsque tu lances une pièce de monnaie, tu obtiens soit pile, soit face. Tu as peut-être lancé la pièce trois fois et elle est tombée sur pile ces trois fois. Tu pourrais penser qu'il y a une chance qu'elle tombe sur pile lorsque tu la lanceras la quatrième fois, mais ce n'est pas vrai.
Le fait qu'il soit tombé sur pile ne signifie pas que tu auras de la chance et que tu obtiendras pile la prochaine fois. Le fait d'obtenir pile et le fait d'obtenir face lorsqu'on lance une pièce sont deux événements indépendants.
Supposons que tu achètes une voiture et que ta sœur espère entrer dans une université. Dans ce cas, ces deux événements sont également indépendants, car ton achat de voiture n'affectera pas les chances de ta sœur d'entrer à l'université.
Voici d'autres exemples d'événements indépendants :
Gagner à la loterie et obtenir un nouvel emploi ;
Aller à l'université et se marier ;
Gagner une course et obtenir un diplôme d'ingénieur.
Il est parfois difficile de savoir si deux événements sont indépendants l'un de l'autre. Tu dois tenir compte des points suivants lorsque tu essaies de savoir si deux événements (ou plus) sont indépendants ou non :
Les événements doivent pouvoir se produire dans n'importe quel ordre ;
Un événement ne doit pas avoir d'effet sur le résultat de l'autre événement.
Formule de probabilité des événements indépendants
Pour trouver la probabilité qu'un événement se produise, la formule à utiliser est la suivante :
\[\text{Probabilité qu'un événement se produise} = \frac{\text{Nombre de façons dont l'événement peut se produire}}{\text{Nombre de résultats possibles}}\].Ici, nous parlons de probabilités d'événements indépendants et tu peux vouloir trouver la probabilité que deux événements indépendants se produisent en même temps. Il s'agit de la probabilité de leur intersection. Pour ce faire, tu dois multiplier la probabilité qu'un événement se produise par la probabilité de l'autre. La formule à utiliser pour cela est la suivante.
\[P(A \space et \space B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]où P est la probabilité
\(P (A \cap B)\) est la probabilité de l'intersection de A et B
P(A) est la probabilité de A P(B) est la probabilité de B
Considérons les événements indépendants A et B. P(A) est 0,7 et P(B) est 0,5, alors.. :
\(P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\)
Cette formule peut également être utilisée pour savoir si deux événements sont effectivement indépendants l'un de l'autre. Si la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités des événements individuels, alors il s'agit d'événements indépendants, sinon ce n'est pas le cas.
Nous verrons d'autres exemples plus tard.
Événements indépendants représentés dans les diagrammes de Venn
Un diagramme de Venn sert à la visualisation. Rappelle la formule permettant de trouver la probabilité que deux événements indépendants se produisent en même temps.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]L'intersection de A et B peut être représentée par un diagramme de Venn. Voyons comment.
Le diagramme de Venn ci-dessus montre deux cercles représentant deux événements indépendants A et B qui se croisent. S représente l'ensemble de l'espace, appelé espace d'échantillonnage. Le diagramme de Venn donne une bonne représentation des événements et il peut t'aider à mieux comprendre les formules et les calculs.
L'espace d'échantillonnage représente les résultats possibles de l'événement.
Lorsque tu dessines un diagramme de Venn, tu peux avoir besoin de trouver la probabilité de l'espace entier. La formule ci-dessous t'aidera à le faire.
\N- S = 1 - (P(A) + P(A \cap B) + P(B))\N]
Exemples de probabilités d'événements indépendants et calculs
Utilisons les formules dont nous avons parlé dans les exemples ci-dessous.
Considère deux événements indépendants A et B qui impliquent de lancer un dé. L'événement A consiste à lancer un nombre pair et l'événement B à lancer un multiple de 2. Quelle est la probabilité que les deux événements se produisent en même temps ?
Solution
Nous avons deux événements A et B.
Événement A - obtenir un nombre pair
Événement B - lancer un multiple de 2
Les deux événements sont indépendants. Un dé a six faces et les nombres pouvant apparaître sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On nous demande de trouver la probabilité que les deux événements se produisent en même temps, ce qui correspond à l'intersection des deux.
La formule à utiliser est la suivante :
\(P (A \cap B) = P (A) \cdot P(B)\)
D'après la formule, nous pouvons voir que pour calculer l'intersection, tu dois connaître la probabilité que chaque événement se produise.
\[\text{Probabilité qu'un événement se produise} = \frac{\text{Nombre de façons dont l'événement peut se produire}}{\text{Nombre de résultats possibles}}\]
Par conséquent
\(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
Nous allons maintenant substituer la formule
\(P (A \cap B) = \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
La probabilité que les deux événements se produisent est donc de \(\frac{1}{4}\).
Prenons un autre exemple.
\N(P(A) = 0,80\) et \N(P(B) = 0,30\) et A et B sont des événements indépendants. Quelle est la valeur de \N(P(A \cap B)\N) ?
Solution
On nous demande de trouver \N(P(A \cap B)\N) lorsque \N(P(A) = 0,80\) et \N(P(B) = 0,30\). Tout ce que nous avons à faire est de substituer dans la formule ci-dessous.
\(P (A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.80 \cdot 0.30\)
\N(P(A \Ncap B) = P(A) \Ncdot P(B) = 0.80 \Ncdot 0.30\N)
Par conséquent, \N(P(A \Ncap B) = 0.24\N)
Au troisième exemple.
Dans une classe, 65 % des élèves aiment les mathématiques. Si deux élèves sont choisis au hasard, quelle est la probabilité qu'ils aiment tous les deux les mathématiques et quelle est la probabilité que le premier élève aime les mathématiques et que le second ne les aime pas ?
Solution
Nous avons deux questions à te poser. La première consiste à trouver la probabilité que les deux élèves aiment les mathématiques et l'autre à trouver la probabilité que l'un aime les mathématiques et que l'autre ne les aime pas.
Le fait qu'un élève aime les mathématiques n'a pas d'incidence sur le fait que le deuxième élève aime aussi les mathématiques. Il s'agit donc d'événements indépendants. La probabilité que les deux élèves aiment les mathématiques est la probabilité de l'intersection des événements.
Si nous appelons les événements A et B, nous pouvons les calculer à l'aide de la formule ci-dessous.
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{65}{100} \cdot \frac{65}{100}\)
Remarque que nous avons divisé par 100. C'est parce que nous avons affaire à des pourcentages.
Maintenant, il faut trouver la probabilité que le premier élève aime les mathématiques et que le second ne les aime pas. Il s'agit de deux événements indépendants distincts et pour trouver ce que nous cherchons, nous devons trouver l'intersection des deux événements.
La probabilité que le premier élève aime les mathématiques est la suivante
\(P(A) = 65% = 0,65%)
La probabilité que le deuxième élève n'aime pas les mathématiques est de
\(P(B) = 1- 0,65 = 0,35)
Nous allons maintenant obtenir notre réponse finale en substituant l'équation ci-dessus.
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.65 \cdot 0.35\)
Voyons un quatrième exemple.
C et D sont des événements pour lesquels \(P(C) = 0,50, \space P(D) = 0,90\). Si \(P(C \cap D) = 0.60\), les événements C et D sont-ils indépendants ?
Solution
Nous voulons savoir si les événements C et D sont indépendants. Pour le savoir, nous utiliserons la formule ci-dessous.
\(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\)
On nous donne
\N(P(C) = 0,50 \Nquad P(D) = 0,90 \Nquad P(C \cap D) = 0,60 \N)Si nous remplaçons la formule et que nous obtenons une intersection différente de celle suggérée par la question, alors les événements ne sont pas indépendants ; sinon, ils sont indépendants.
Substituons.
\N(P(C \cap D) = 0,50 \Ncdot 0,90 \Nquad P(C \cap D) = 0,45\N)
Nous avons obtenu 0,45 et la question dit que l'intersection devrait être 0,60. Cela signifie que les événements ne sont pas indépendants.
Ensuite, le cinquième exemple.
A et B sont des événements indépendants pour lesquels \(P(A) = 0,2\) et \(P(B) = 0,5\). Dessine un diagramme de Venn montrant les probabilités de l'événement.
Solution
Le diagramme de Venn a besoin de certaines informations. Certaines d'entre elles ont été données et nous devons calculer pour les autres.
\N- P(A) = 0,2 \Npour P(B) = 0,5 \Npour P(A \Ncap B) = ? \NPourcentage P(S) = ? \space \text{(probabilité de l'espace entier)}\)
Trouvons maintenant l'information manquante.
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \cdot 0.5 = 0.1\)
\N- P(S) = 1 - (P(A) + P(A \cap B) + P(B)) = 1-(0,2 + 0,1 +0,5) = 1-0,8 = 0,2 \N)
Maintenant, dessinons le diagramme de Venn et inscrivons-y les informations.
Et la dernière.
Dans le diagramme de Venn ci-dessous, trouve
- \N-(P(C \cap D)\N)\N-(P(C \cap D)\N)
- \N-(P(C \Ncup D)\N-(P(C \Ncup D)\N)
- \N-(P(C \Ncup D')\N-(P(C \Ncup D')\N)
Solution
a. \N- P(C \Ncap D)\N- P(C \Ncap D)\N)
\N(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\N)
D'après le diagramme de Venn,
\N(P(C) = 0,2 \Nquad P(D) = 0,6 \N)Nous allons donc maintenant substituer la formule.
\N(P(C \Ncap D) = P(C) \Ncdot P(D) = 0,2 \Ncdot 0,6 = 0,12\N)
b. \N(P(C \Ncap D)\N)
Ici, nous devons trouver l'union des deux événements. Il s'agit de la somme des probabilités de C, D et de l'intersection.
\(P(C \cup D) = P(C) + P(D) +P(C \cup D) = 0.2 + 0.6 + 0.12\)c. \N- (P(C \cup D')\N)
\N(C \Ncup D'\N) signifie tout ce qui est dans C et qui n'est pas dans D. Si nous regardons le diagramme de Venn, nous verrons que cela comprend 0,2, \N(C \Ncup D'\N) et 0,8.Nous avons donc :
\(P(C \cap D') = P(C) + P(C \cap D) + S = 0,2 +0,12 + 0,08 = 0,4\).
Probabilités indépendantes - Points clés
- On parle de probabilité d'événement indépendant lorsque la survenue d'un événement n'a pas d'influence sur la probabilité de survenue d'un autre événement.
- La formule permettant de calculer la probabilité que deux événements se produisent en même temps est la suivante :
- La formule permettant de calculer la probabilité que deux événements se produisent peut également être utilisée pour savoir si deux événements sont effectivement indépendants l'un de l'autre. Si la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités des événements individuels, alors il s'agit d'événements indépendants, sinon ce n'est pas le cas.
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