Probabilité

Fig. 1 - Exemple d'un arbre de probabilité

Dans cet arbre de probabilité, nous représentons les issues de deux jeux de pile ou face. L'issue « pile » est représentée par un T et l'issue « face » est représentée par un H. Si nous supposons que la pièce de monnaie est équilibrée, alors la probabilité de chaque résultat est \( \frac{1}{2} \).

1. Un sondage a trouvé que parmi 88 adultes, 32 fument des cigarettes régulièrement. Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard est fumeur.

Ici, le nombre d'issues total est de 88. Le nombre d'issues favorables est de 32. La probabilité que quelqu'un choisi au hasard est fumeur est donc de \( \frac{32}{88} = \frac{4}{11} = 0{,}36 \).

2. Supposons que la probabilité que quelqu'un commence à fumer quotidiennement est de 0,2. La probabilité que quelqu'un commence à fumer et développe le cancer du poumon par la suite est de 0,15. Calculons la probabilité que quelqu'un développe le cancer du poumon sachant que cette personne a commencé à fumer.

Soit A l'événement que quelqu'un commence à fumer régulièrement.

Soit B l'événement que quelqu'un développe le cancer du poumon.

Alors, \(P(A) = 0{,}2\) et \(P(A \cap B) = 0{,}15\). Nous pouvons donc appliquer la formule de probabilité conditionnelle.

Ainsi, \(P(B|A) = \frac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75\)

Utilisons l'arbre de probabilité ci-dessous pour établir la loi de probabilité pour deux jeux de pile ou face consécutifs. Ici, l'événement « obtenir face » est représenté par H et l'événement « obtenir pile » est représenté par T.

Fig. 2 - Utilisation d'un arbre de probabilité

Il s'agit de trouver les probabilités de toutes les issues possibles. Ici, les issues possibles sont deux fois face, deux fois pile et une fois pile, une fois face. En multipliant le long d'une branche, nous obtenons que la probabilité d'obtenir deux fois face est de \(\frac{1}{4}\).

Fig. 3 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

En procédant de la même façon, nous obtenons la probabilité d'obtenir deux fois pile.

Fig. 4 - Calculer une probabilité avec un arbre de probabilité

Remplissons un tableau pour résumer la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire.

Comme la somme des probabilités est 1, la probabilité correspondante à la dernière issue est \(1-(\frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\).

Enfin, la loi de probabilité pour cette expérience aléatoire est donné par ce tableau :