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Ainsi, pour n'importe quel ensemble de données, tu peux savoir quel pourcentagea> des données se trouve dans une section particulière du graphique. En particulier, le pourcentage qui te préoccupe le plus est le pourcentage des données qui est inférieur à la valeur que tu souhaites, communément appelé le centile.
Dans cet article, nous en apprendrons davantage sur les pourcentages et les centiles d'une distribution normale.
Signification du percentile d'une distribution normale
Une distribution normale est une distribution de probabilité où les données sont réparties autour de la moyenne de façon symétrique pour ressembler à une courbe en forme de cloche, qui est parfois appelée courbe de densité.
Les distributions normales sont généralement plus adaptées aux grands ensembles de données. De nombreuses données naturelles, comme les résultats des examens ou la masse des organismes, ont tendance à se rapprocher d'une distribution normale.
La courbe de distribution normale illustrée dans le graphique ci-dessous montre que la majorité des données sont regroupées autour du milieu du graphique, là où se trouve la moyenne.
Le graphique se rétrécit ensuite vers les extrémités gauche et droite, pour montrer une plus petite partie des données éloignées de la moyenne. La moitié des données se situe en dessous de la moyenne, et l'autre moitié au-dessus de la moyenne ; la moyenne est donc aussi la médiane des données. Le point le plus élevé du graphique est également situé au milieu du graphique, c'est donc là que se trouve le mode.
Ainsi, pour une distribution normale, la moyenne, la médiane et le mode sont tous égaux.
De plus, la courbe est divisée en morceaux par les écarts types. L'aire sous la courbe de la distribution normale représente 100 % des données. Pour une distribution normale standard, cela signifie que l'aire sous la courbe est égale à 1.
Un pourcentage spécifique des données est attribué à chaque écart-type par rapport à la moyenne d'une distribution normale. Ces pourcentages spécifiques sont appelés larègle empirique de la distribution normale ,
- Environ 68 % des données se situent à moins d'un écart-type de la moyenne.
- Environ 95 % des données se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne.
- Environ 99,7 % (presque toutes les données !) se situent à moins de 3 écarts types de la moyenne.
Cette règle est parfois appelée "règle des 68-95-99,7".
Distribution normale standard avec les pourcentages d'écart type.
Ces pourcentages sont très utiles pour connaître la répartition des données. Mais l'une des informations les plus importantes à connaître au sujet d'une valeur de données dans une distribution normale est la proportion des données qui est supérieure ou inférieure à une valeur spécifique, appelée percentile.
Le percentile d'une distribution normale est une valeur à laquelle correspond un pourcentage spécifique des données observées.
Pour un test standardisé comme le GRE, tu recevras à la fois ta note au test et le pourcentage de candidats ayant obtenu une note inférieure à la tienne. Cela te permet de savoir où se situe une certaine valeur de données, ici ton score, par rapport au reste des données, c'est-à-dire par rapport aux scores des participants au test.
Ton score est appelé percentile.
Le percentile est une mesure cumulative, c'est la somme de toutes les sections de pourcentages inférieures à cette valeur. Souvent, le percentile d'une valeur est indiqué en même temps que la valeur elle-même.
Distribution normale Percentile de la moyenne
Comme indiqué dans le paragraphe précédent, la moyenne de la courbe de distribution normale se situe en son milieu. La courbe distribue donc les données de façon symétrique autour de la moyenne, c'est-à-dire que 50 % des données sont au-dessus de la moyenne et 50 % des données sont au-dessous de la moyenne. Cela signifie que la moyenne correspond au 50e centile des données.
Pour une probabilité de distribution normale, le percentile de distribution normale de la moyenne, est le 50e percentile.
Prenons l'exemple suivant pour mieux comprendre.
Si tu devais obtenir la note moyenne à un test standardisé, ton relevé de notes indiquerait que tu te situes dans le 50e percentile. Cela peut sembler mauvais à première vue, car cela donne l'impression que tu as obtenu 50 % au test, mais cela t'indique simplement où tu te situes par rapport à tous les autres participants au test.
Le 50e percentile ferait de ton score une moyenne parfaite.
L'écart-type a-t-il lui aussi un percentile ? Nous allons le découvrir dans le paragraphe suivant !
Distribution normale Percentile de l'écart type
Une très bonne question que l'on peut se poser est la suivante : quel est le centile pour chaque écart-type ?
Eh bien, sachant que la moyenne est le 50e centile, et en te rappelant ce que représente chaque pourcentage dans chaque section du graphique de la distribution normale, tu peux calculer le centile à chaque écart-type.
Pour 1 écart-type au-dessus de la moyenne, c'est-à-dire à droite de la moyenne, trouve le centile en ajoutant les 34,13 % au-dessus de la moyenne aux 50 % pour obtenir 84,13 %. En général, pour le centile, tu arrondis au nombre entier le plus proche.
Ainsi, 1 écart-type correspond à peu près au 84e centile.
Si tu voulais trouver le centile de 2 écarts types, tu continuerais à additionner les pourcentages à droite de la moyenne jusqu'à 50 %. Par conséquent, le centile du deuxième écart type est de 13,59 % et 34,13 % ajouté à 50 %, cela te donne 97,72 %, soit environ le 98e centile.
Ainsi, 2 écarts types correspondent à peu près au percentile 98 % .
Pour trouver le centile d'un écart-type inférieur à la moyenne, c'est-à-dire à gauche de la moyenne, soustrais le pourcentage de l'écart-type de 50 %.
Pour un écart-type inférieur à la moyenne, trouve le centile en soustrayant 34,13 % de 50 % pour obtenir 15,87 %, soit environ le 16e centile.
Tu peux soustraire le pourcentage de l'écart type suivant pour trouver le centile de 2 écarts types sous la moyenne, 15,87 % - 13,59 % est 2,28 %, soit environ le 2e centile.
Le graphique de distribution normale suivant montre le pourcentage correspondant qui se trouve en dessous de chaque écart type.
Fig. 1. Distribution normale standard montrant le pourcentage de données en dessous de chaque écart type.
Formule du percentile de la distribution normale
Lorsque tu travailles avec une distribution normale, tu ne t'intéresses pas seulement au centile des écarts types ou au centile de la moyenne. En fait, tu travailleras parfois avec des valeurs qui se situent quelque part entre les écarts types, ou tu seras peut-être intéressé par un centile spécifique qui ne correspond pas à l'un des écarts types mentionnés ci-dessus, ni à la moyenne.
Et c'est là que le besoin d'une formule de percentile de distribution normale se fait sentir. Pour ce faire, nous rappelons la définition suivante du z-score.
Pour plus d'explications sur la façon dont les z-scores sont trouvés, voir l'article sur les z-scores.
Le score z indique à quel point une valeur donnée diffère d'un écart type.
Pour une distribution normale avec une moyenne de \(\mu\) et un écart type de \(\sigma\), le score z de toute valeur de données \(x\) est donné par, \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\].
La formule ci-dessus recentre les données autour d'une moyenne de 0 et d'un écart-type de 1, afin de pouvoir comparer toutes les distributions normales.
L'importance du score z réside dans le fait qu'il ne te renseigne pas seulement sur la valeur elle-même, mais aussi sur l'endroit où elle se situe dans la distribution.
Inversement, pour trouver une valeur basée sur un percentile donné, la formule du z-score peut être reformulée en \[x=\mu+Z\sigma.\N].
Heureusement, tu n'auras probablement pas à calculer le percentile à chaque fois pour obtenir le score z que tu souhaites, ce serait plutôt fastidieux ! Au lieu de cela, tu peux utiliser un tableau de scores z, comme ceux ci-dessous.
Un tableau de scores z contient la proportion des données qui se situent en dessous de chaque score z, ce qui te permet de trouver directement le percentile.
Fig. 2. Tableau de scores z négatifs pour une distribution normale
Fig. 3. Tableau de z-score positif pour une distribution normale.
Comment lire un tableau de score z pour trouver le centile ?
Une fois que tu as trouvé ton score z, suis les étapes suivantes pour utiliser le score z afin de trouver le centile correspondant. La plupart des tableaux de scores z indiquent les scores z au centième près, mais tu peux trouver des tableaux plus précis si nécessaire.
La lecture d'un tableau de z-score peut se faire en suivant les étapes suivantes,
Étape 1. Regarde le score z qui t'a été donné ou que tu as trouvé.
Étape 2. Regarde le long du côté gauche du tableau, qui indique les uns et les dixièmes de ton z-score. Trouve la ligne qui correspond à tes deux premiers chiffres.
Étape 3. Regarde en haut du tableau, qui indique les centièmes. Trouve la colonne qui correspond à ton troisième chiffre.
Étape 4. Trouve l'intersection de la ligne et de la colonne qui correspond à tes uns, dixièmes et centièmes. Il s'agit de la proportion de données inférieures à ton z-score, qui est égale au pourcentage de données inférieures à ton z-score.
Étape 5. Multiplie par 100 pour obtenir un pourcentage. En général, tu arrondis au nombre entier le plus proche pour obtenir un centile.
Pour une distribution normale standard, quel est le centile de 0,47 ?
Solution :
Étape 1. Pour la distribution normale standard, cette valeur est la même chose que le score z. Il s'agit du nombre d'écarts types par rapport à la moyenne. Il se situe également à droite de la moyenne, il devrait donc être un centile plus élevé que le 50e.
Étape 2. En utilisant le tableau du score z, les uns et les dixièmes sont 0 et 4, alors regarde toute la ligne à côté de 0,4.
Étape 3. La centième place est 7, soit 0,07. Regarde la colonne en dessous de 0,07.
Étape 4. L'intersection de la ligne 0,4 et de la colonne 0,07 est 0,6808.
Étape 5. Donc 68,08 % des données sont inférieures à 0,47. Par conséquent, 0,47 correspond à peu près au 68e centile d'une distribution normale standard.
Graphique des percentiles d'une distribution normale
Le graphique ci-dessous montre une courbe de distribution normale standard avec quelques percentiles courants marqués de leurs z-scores correspondants.
Fig. 4. Distribution normale standard avec les z-scores pour les centiles courants.
Remarque que ces centiles sont symétriques, tout comme les écarts types. Le 25e centile et le 75e centile se situent tous deux à 25 points de centile de la moyenne, de sorte que leurs z-scores sont tous deux de 0,675, la seule différence étant le négatif pour montrer que le 25e centile est en dessous de la moyenne. Il en va de même pour les 10e et 90e centiles.
Cela peut être utile lorsque tu veux trouver des percentiles qui peuvent être présentés différemment.
Supposons qu'une personne déclare avoir obtenu une note dans le 10e centile supérieur d'un test. Cela semble évidemment très bien, mais le 10e centile est bien en dessous de la moyenne, n'est-ce pas ? En fait, cette personne ne dit pas vraiment qu'elle se situe dans le dixième percentile. Ils indiquent qu'ils ont obtenu une note inférieure à seulement 10 % des autres participants au test. Cela équivaut à dire qu'ils ont obtenu une note supérieure à 90 % des participants au test, ou plutôt qu'ils ont obtenu une note dans le 90e centile.
Le fait de savoir que la distribution normale est symétrique permet une certaine souplesse dans la façon dont nous voyons les données.
Les graphiques ci-dessus et les tableaux de scores z sont tous basés sur la distribution normale standard qui a une moyenne de 0 et un écart type de 1. Cette distribution est utilisée comme norme afin qu'elle puisse être adaptée à n'importe quel ensemble de données.
Mais, évidemment, la plupart des ensembles de données n'ont pas une moyenne de zéro ou un écart type de 1. C'est ce que les formules de score z peuvent aider à faire.
Exemples de distribution normale Percentile
Les courbes de croissance, les résultats de tests et les problèmes de probabilité sont des problèmes courants que tu rencontreras lorsque tu travailleras avec des distributions normales.
Un fermier a un nouveau veau dans son ranch, et il doit le peser pour ses archives. Le veau pèse 46,2 kg. Il consulte son tableau de croissance des veaux Angus et note que le poids moyen d'un veau nouveau-né est de 41,9 kg avec un écart type de 6,7 kg. Dans quel centile se situe le poids de son veau ?
Solution :
Tu dois commencer par trouver le score z du poids du veau. Pour cela, tu auras besoin de la formule \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\N].
Pour la courbe de croissance de cette race, la moyenne est \N(\Nmu =41,9\N), l'écart type est \N(\Nsigma =6,7\N), et la valeur \N(x=46,2\N). Substitue ces valeurs dans la formule pour obtenir : [Z=\frac{46,2-41,9}{6,7}=\frac{4,3}{6,7} \approx 0,64.\N].
Passe maintenant à ton tableau de scores z. Trouve la ligne pour \N(0,6\N) et la colonne pour \N(0,04\N).
Fig. 5. Recherche de percentile à partir d'un tableau de scores z pour une distribution normale.
La ligne et la colonne se croisent à \(0.73891\). Multiplie donc par \(100\) pour trouver qu'une proportion de 73,891 % de la population se situe en dessous du z-score \(0,64\) Par conséquent, le poids du veau se situe environ dans le 74e percentile.
Tu peux aussi avoir besoin de trouver une valeur basée sur un certain percentile. Dans la plupart des cas, cela implique de faire les étapes ci-dessus à l'envers.
Marie passe le test GRE pour s'inscrire à des études supérieures. Elle veut avoir de bonnes chances d'entrer dans l'école de ses rêves et décide d'essayer d'obtenir un score dans le 95e centile. Elle fait quelques recherches et découvre que le score moyen au GRE est de 302, avec un écart type de 15,2. Quel score devrait-elle viser ?
Solution :
Pour ce problème, tu commences par le tableau des scores z. Trouve la cellule qui contient la valeur la plus proche de 95 %, ce qui correspond à environ 0,95 % dans le tableau.
Fig. 6 Trouver le score z à partir du percentile.
La première valeur qui est au moins égale à \(0,95\) est la cellule ci-dessus qui contient \(0,95053\). Regarde l'étiquette de sa ligne, \N(1,6\N), et de sa colonne, \N(0,05\N), pour trouver le score z du 95e percentile. Le z-score sera \N(1,65) Cela signifie que Mary doit obtenir un score d'environ \N(1,65) écart-type au-dessus de la moyenne de \N(302). Pour trouver le score correspondant au test, utilise la formule \[x=\mu+Z\sigma.\].
Remplace les valeurs de \(\mu\), \(Z\), et \(\sigma\) pour obtenir \[x=302+1.65(15.2)\Napprox 327.\N].
Mary doit donc obtenir au moins 327 au GRE pour atteindre son objectif.
Distribution normale Proportion
Les distributions normales sont si utiles parce qu'elles sont proportionnelles les unes aux autres par le biais du score z et des centiles.
Chaque distribution normale peut avoir sa propre moyenne et son propre écart type, ce qui peut affecter la dispersion des données. Mais la proportion des données qui se situe dans chaque écart-type est la même pour toutes les distributions normales. Chaque aire sous la courbe représente une proportion de l'ensemble des données ou de la population.
Cela signifie que tu peux trouver le centile pour n'importe quelle valeur de n'importe quelle distribution normale à condition de connaître la moyenne et l'écart type.
Examinons les deux exemples suivants de tests standardisés pour les comparer.
Deux enseignants ont fait passer leurs examens finaux au même groupe d'élèves et comparent les résultats de leurs élèves. Le professeur de mathématiques indique une moyenne de 81 points avec un écart-type de 10 points. Le professeur d'histoire a obtenu une note moyenne de 86 avec un écart type de 6.
Le graphique ci-dessous montre les distributions normales des deux examens.
Fig. 7. Comparaison des distributions normales avec des moyennes et des écarts types différents.
Comparaison de données à l'aide d'une distribution normale
Comme toutes les distributions normales sont proportionnelles, tu peux comparer les données de deux ensembles différents, avec des moyennes et des écarts types différents, à condition qu'ils soient tous deux normalement distribués.
Mary a passé le test GRE, mais elle a également envisagé de faire des études de droit, pour lesquelles elle a dû passer le test LSAT.
Elle veut maintenant comparer ses résultats et peut-être ses chances d'entrer dans le programme de son choix, mais les deux tests sont notés différemment.
Son score au GRE était de 321, avec une moyenne de 302 et un écart type de 15,2. Et son score au LSAT était de 164, avec une moyenne de 151 et un écart type de 9,5.
Quel est le test pour lequel elle a obtenu les meilleurs résultats ? Dans quel percentile se situe-t-elle pour chaque test ?
Solution :
Commence par le score du GRE et la formule \N[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\N] Remplace la moyenne, l'écart type et son score au GRE, pour obtenir \N[Z=\frac{321-302}{15.2}=1.25.\N].
Regarde le tableau du score z ci-dessus pour trouver la proportion du score z \N(1.25.\N) La proportion des données inférieures à \N(1.25.\N) est \N(0.89435.\N). Cela représente un pourcentage de 89,435 %, soit environ le 89e centile.
Regarde maintenant son score au LSAT et remplace sa moyenne, son écart-type et son score par la formule suivante : [Z=\frac{164-151}{9,5}\approx 1,37.\N].
Tu peux dire, rien qu'à partir des scores z, qu'elle a obtenu de meilleurs résultats au LSAT puisque \(1,37\) écart-type est plus à droite que \(1,25\) écart-type.
Mais la question demande également le centile qu'elle a obtenu à chaque test. Alors, une fois de plus, consulte le tableau des scores z ci-dessus et trouve la proportion correspondant à \(1,37\), qui est \(0,91466.\) Cela représente un pourcentage de 91,466 % ou environ le 91e percentile.
Elle a donc obtenu de meilleurs résultats que 89 % des autres candidats au GRE et que 91 % des autres candidats au LSAT.
Distribution normale Percentile - Principaux enseignements
- Pour une distribution normale, le z-score est le nombre d'écart-type par rapport à la moyenne d'une valeur, et le percentile est le pourcentage de données qui se situent en dessous de ce z-score.
- Pour un score z (Z) dans une distribution normale, une valeur de données (x), une moyenne (mu) et un écart type (sigma), tu peux utiliser l'une ou l'autre formule : \[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}.\] \[x=\mu+Z\sigma.\]
- Tu as besoin d'un tableau de scores z pour trouver la proportion des données qui correspond à chaque score z afin de trouver le centile.
- Pour une distribution normale, la moyenne correspond au centile 50 %.
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