Plan en blocs randomisés

Définition du plan en blocs aléatoires

Lorsque les données sont regroupées en fonction de variables indésirables mesurables et connues, on dit que les données ont été bloquées. Cette opération est effectuée pour éviter que des facteurs indésirables ne réduisent la précision d'une expérience.

Lorsque tu réalises une expérience ou une enquête, tu dois essayer de réduire les erreurs qui peuvent être dues à différents facteurs. Un facteur peut être connu et contrôlable, alors tu bloques (groupes) les échantillons en fonction de ce facteur afin de réduire la variabilité causée par ce facteur. L'objectif final de ce processus est de minimiser les différences entre les composants d'un groupe bloqué par rapport aux différences entre les composants de l'échantillon entier. Cela te permettrait d'obtenir des estimations plus précises à partir de chaque bloc, puisque la variabilité des membres de chaque groupe est faible.

Dans l'exemple ci-dessus, Femi a identifié que la texture du sol peut faire une différence. Mais Femi est intéressé par la question de savoir quelle brosse est meilleure, il a donc décidé de faire trois blocs pour son expérience : la cuisine, la chambre à coucher et le salon. Le facteur qui a conduit Femi à la décision de faire des blocs est souvent considéré comme un facteur de nuisance.

Les facteurs de nuisance ne sont pas la même chose que les variables cachées.

Une variable cachée dont il faut tenir compte dans les essais médicaux est l'effet placebo, où les gens croient que le médicament aura un effet et ressentent donc un effet, même si ce qu'ils obtiennent en réalité est une pilule de sucre au lieu d'un véritable traitement médical.

Voyons deux illustrations d'un plan en blocs aléatoires pour aider à clarifier la façon dont un plan en blocs aléatoires serait construit.

Fig. 1 : Blocage dans un plan en blocs aléatoires

Sur la figure ci-dessus, tu peux voir comment Femi a regroupé l'expérience en trois sections. Il s'agit là d'une idée importante concernant le plan en blocs aléatoires.

Randomisation dans un plan en blocs aléatoires

D'après la figure ci-dessus, après le blocage en groupes, Femi échantillonne au hasard chaque groupe pour le test. Après cette étape, l'analyse de la variance est effectuée.

Plan en blocs aléatoires vs plan complètement aléatoire

Un plan complètement aléatoire consiste à choisir au hasard des échantillons pour une expérience de façon à ce que tous les éléments sélectionnés au hasard soient traités sans ségrégation (regroupement). Cette méthode est susceptible d'entraîner une erreur par hasard, puisque les caractéristiques communes ne sont pas prises en compte au départ, ce qui devrait minimiser la variabilité s'ils étaient mis en groupes. Cette variabilité est minimisée par le plan en blocs aléatoires grâce au regroupement, de sorte qu'un équilibre est forcé entre les groupes d'étude.

Un exemple te permettra de mieux comprendre la différence entre un plan en blocs aléatoires et un plan complètement aléatoire.

Alors, qu'est-ce qui est mieux, le blocage ou la randomisation ?

Le blocage est-il préférable à la randomisation ou non ?

Le plan en blocs aléatoires est plus avantageux que la randomisation complète car il réduit les erreurs en créant des groupes qui contiennent des éléments beaucoup plus similaires par rapport aux échantillons entiers.

Cependant, le blocage n'est préférable que lorsque la taille de l'échantillon n'est pas trop importante et que les facteurs de nuisance ne sont pas trop nombreux. Lorsque tu as affaire à de grands échantillons, les facteurs de nuisance ont tendance à être plus nombreux, ce qui t'obligerait à augmenter le nombre de groupes. Le principe est que plus tu fais de regroupements, plus la taille de l'échantillon dans chaque groupe est petite. Par conséquent, lorsque la taille des échantillons est importante ou qu'il y a de nombreux facteurs de nuisance, il est préférable d'aborder ces cas avec un plan complètement randomisé.

De plus, comme nous l'avons déjà mentionné, lorsque la variable de blocage est inconnue, il est préférable d'utiliser un plan complètement aléatoire.

Plan par blocs aléatoires et plan par paires appariées

Un plan par paires appariées consiste à regrouper les échantillons par deux (paires) sur la base de caractéristiques confusionnelles (telles que l'âge, le sexe, le statut, etc.), et les membres de chaque paire se voient attribuer les conditions de traitement de façon aléatoire. Les plans en blocs aléatoires diffèrent des paires appariées car il peut y avoir plus de deux groupes. Cependant, lorsqu'il n'y a que deux groupes dans un plan en blocs aléatoires, il peut sembler similaire à un plan en paires appariées.

De plus, les plans en blocs aléatoires et en paires appariées ne s'appliquent de préférence qu'à des échantillons de petite taille.

Quels sont donc les avantages d'un plan en blocs aléatoires ?

Quels sont les avantages d'un plan en blocs aléatoires ?

L'un des principaux avantages du plan en blocs aléatoires est la création de groupes qui augmentent les similitudes entre les membres du bloc par rapport à la grande variation qui peut se produire lorsque chaque membre est comparé à l'ensemble des données. Cet attribut est très avantageux car :

• Il réduit les erreurs.

• Il augmente la fiabilité statistique d'une étude.

• Il reste une meilleure approche pour analyser des échantillons de petite taille.

Examinons de plus près le modèle d'un plan en blocs aléatoires.

Le modèle statistique d'un plan en blocs aléatoires

Le modèle statistique d'un plan en blocs aléatoires pour un facteur de nuisance bloqué est donné par :

\[y_{ij}=µ+T_1+B_j+E_{ij}\]

où :

• \(y_{ij}\) est la valeur d'observation pour les traitements dans \(j\) et les blocs dans \(i\) ;

• \(μ\) est la grande moyenne ;

• \(T_j\) est le \(j\)ième effet de traitement ;

• \(B_i\) est le \(i\)ième effet de blocage ; et

• \(E_{ij}\) est l'erreur aléatoire.

La formule ci-dessus est équivalente à celle de l'analyse de la variance. Tu peux donc utiliser :

\[SS_T=SS_t+SS_b+SS_e\]

où :

• \(SS_T\) est la somme totale des carrés ;

• \N(SS_t\N) est la somme des carrés des traitements ;

• \(SS_b\) est la somme des carrés du blocage ; et

• \(SS_e\) est la somme des carrés de l'erreur.

La somme totale des carrés est calculée en utilisant :

\[SS_T=\sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j=1}^{\beta}(y_{ij}-\mu)^2\]

La somme des carrés des traitements est calculée en utilisant :

\[SS_t=\beta \sum_{j=1}^{\alpha}(\bar{y}_{.j}-\mu)^2\]

La somme des carrés du blocage est calculée en utilisant :

\[SS_b=\alpha \sum_{i=1}^{\beta}(\bar{y}_{i.}-\mu)^2\]

où :

• \(\alpha\) est le nombre de traitements ;

• \(\beta\) est le nombre de blocs ;

• \(\bar{y}_{.j}\) est la moyenne du \(j\)ième traitement ;

• \(\bar{y}_{i.}\) est la moyenne du \(i\)ème bloc ; et

• la taille totale de l'échantillon est le produit du nombre de traitements et de blocs, soit \(\alpha \beta\).

La somme des carrés de l'erreur peut être calculée en utilisant :

\[SS_e=SS_T-SS_t-SS_b\]

Cela devient :

\[SS_e=\sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j=1}^{\beta}(y_{ij}-\mu)^2- \beta \sum_{j=1}^{\alpha}(\bar{y}_{.j}-\mu)^2 -\alpha \sum_{i=1}^{\beta}(\bar{y}_{i.}-\mu)^2\]

Cependant, la valeur de la statique de test est obtenue en divisant les valeurs carrées moyennes du traitement par celle de l'erreur. Cela s'exprime mathématiquement comme suit :

\[F=\frac{M_t}{M_e}\]

où :

• \(F\) est la valeur statique du test.

• \(M_t\) est la valeur carrée moyenne du traitement, qui est équivalente au quotient de la somme des carrés des traitements et de son degré de liberté, ce qui s'exprime comme suit :\[M_t=\frac{SS_t}{\alpha -1}\]

• \(M_e\) est la valeur carrée moyenne de l'erreur qui est équivalente au quotient de la somme des carrés de l'erreur et de son degré de liberté, ce qui s'exprime comme suit :\[M_e=\frac{SS_e}{(\alpha -1)(\beta -1)}\]

La section suivante examine un exemple pour expliquer l'application de ces formules.

Exemples de plans en blocs aléatoires

Comme mentionné à la fin de la section précédente, tu comprendras mieux le plan en blocs aléatoires grâce à son application dans l'illustration ci-dessous.

Essaie d'autres exemples par toi-même, tout en gardant à l'esprit que le blocage aléatoire consiste essentiellement à se débarrasser des facteurs de nuisance par le biais du blocage (regroupement) avant la randomisation. L'objectif est de créer des groupes qui sont similaires avec moins de variabilité par rapport aux échantillons entiers. De plus, si la variabilité est plus observable à l'intérieur des blocs, cela indique que le blocage n'est pas fait correctement ou que le facteur de nuisance n'est pas une très bonne variable à bloquer. En espérant que tu commenceras à bloquer par la suite !