Moyenne Échantillonnale

Définition de la moyenne d'un échantillon

La moyenne d'un ensemble de nombres est simplement la moyenne, c'est-à-dire la somme de tous les éléments de l'ensemble divisée par le nombre d'éléments de l'ensemble.

Il est facile de voir que si deux ensembles sont différents, ils auront très probablement aussi des moyennes différentes.

Calcul de la moyenne de l'échantillon

La moyenne de l'échantillon est désignée par \(\overline{x}\), et est calculée en additionnant toutes les valeurs obtenues dans l'échantillon et en les divisant par la taille totale de l'échantillon \(n\). Le processus est le même que le calcul de la moyenne d'un ensemble de données. La formule est donc la suivante : \[\Noverline{x}=\Nfrac{x_1+\Nldots+x_n}{n},\N].

où \(\overline{x}\) est la moyenne de l'échantillon, \(x_i\) est chaque élément de l'échantillon et \(n\) est la taille de l'échantillon.

Écart-type et variance de la moyenne de l'échantillon

Comme la variance est le carré de l'écart type, pour calculer l'une ou l'autre valeur, il faut considérer deux cas :

1. Tu connais l'écart type de la population.

2. Tu ne connais pas l'écart type de la population.

La section suivante montre comment calculer cette valeur dans chaque cas.

Formule de calcul de la moyenne et de l'écart-type pour les moyennes des échantillons

La moyenne de l'échantillon, désignée par \(\mu_overline{x}\), est donnée par la moyenne de la population, c'est-à-dire que si \(\mu\) est la moyenne de la population, \[\mu_overline{x}=\mu.\].

Pour calculer l'écart type de la moyenne de l'échantillon (également appelé erreur standard de la moyenne (SEM)), désigné par \(\sigma_\overline{x}\), les deux cas précédents doivent être pris en compte. Explorons-les l'un après l'autre.

Calcul de l'écart-type moyen de l'échantillon à l'aide de l'écart-type de la population

Si l'échantillon de taille \(n\) est tiré d'une population dont l'écart type \(\sigma\) est connu, alors l'écart type de la moyenne de l'échantillon sera donné par \[\sigma_\overline{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\].

Calculer l'écart-type moyen de l'échantillon sans utiliser l'écart-type de la population

Parfois, lorsque tu veux estimer la moyenne d'une population, tu n'as pas d'autres informations que les données de l'échantillon que tu as prélevé. Heureusement, si l'échantillon est suffisamment grand (supérieur à \(30\)), l'écart type de la moyenne de l'échantillon peut être approximé à l'aide de l'écart type de l'échantillon. Ainsi, pour un échantillon de taille \(n\), l'écart type de la moyenne de l'échantillon est \[\sigma_\overline{x}\approx\frac{s}{\sqrt{n}},\] où \(s\) est l'écart type de l'échantillon (voir l'article Écart type pour plus d'informations) calculé par :

\[s=\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x})^2+\ldots+(x_n-\overline{x})^2}{n-1}},\]

où \(x_i\) représente chaque élément de l'échantillon et \(\overline{x}\) la moyenne de l'échantillon.

❗❗ L'écart type de l'échantillon mesure la dispersion des données au sein de l'échantillon, tandis que l'écart type de la moyenne de l'échantillon mesure la dispersion entre les moyennes de différents échantillons.

Distribution d'échantillonnage de la moyenne

Rappelle la définition de la distribution d'échantillonnage.

Si \(\overline{x}\) est la moyenne d'un échantillon de taille \(n\) d'une population avec une moyenne \(\mu\) et un écart type \(\sigma\). Alors, la distribution d'échantillonnage de \(\overline{x}\) a une moyenne et un écart type donnés par \[\mu_\overline{x}=\mu\,\text{ et },\sigma_\overline{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\].

De plus, si la distribution de la population est normale ou si la taille de l'échantillon est suffisamment grande (selon le théorème de la limite centrale, \(n\geq 30\) est suffisant), alors la distribution d'échantillonnage de \(\surligne{x}\) est également normale.

Lorsque la distribution est normale, tu peux calculer les probabilités à l'aide de la table de distribution normale standard. Pour cela, tu dois convertir la moyenne de l'échantillon \(\overline{x}\) en un score \(z\) à l'aide de la formule suivante

\[z=\frac{\overline{x}-\mu_\overline{x}}{\sigma_\overline{x}}=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}.\]

Voyons un exemple de graphique d'une distribution d'échantillonnage de la moyenne.

Exemples de moyennes d'échantillons

Voyons un exemple de calcul de probabilités.