La règle du produit des probabilités

Étant donné deux événements X et Y dont les probabilités d'occurrence sont respectivement de 0,3 et 0,4. La probabilité d'occurrence de X et Y est de 0,1, trouve la probabilité que X ou Y se produise.

Solution

Les probabilités de X et Y sont données par $P\left(X\right)=0.3$ et $P\left(Y\right)=0.4$.

La probabilité que les deux se produisent est $P\left(X\cap Y\right)=0.1$.

On nous demande de trouver la probabilité de X ou de Y qui n'est rien d'autre que la probabilité de leur union$P\left(X\cup Y\right)$.

Nous pouvons donc utiliser la règle de l'addition pour la trouver,

$P\left(X\cup Y\right)=P\left(X\right)+P\left(Y\right)-P\left(X\cap Y\right)$

En substituant les valeurs appropriées, nous obtenons

$P\left(X\cup Y\right)=0.3+0.4-0.1=0.6$

La probabilité que l'événement X ou Y se produise est donc de 0,6.

Un dé est lancé deux fois et les résultats sont notés. Trouve la probabilité que le premier résultat soit 1 et que le deuxième résultat soit un nombre pair.

Solution

Note que 1 n'est pas un nombre pair, donc les deux événements sont disjoints dans ce cas. La raison en est que les résultats de l'apparition d'un nombre pair ne se chevauchent pas avec le résultat de l'apparition de 1 lors du premier lancer.

Soit les deux événements A et B respectivement,

$P\left(A\right)=\frac{1}{6}$

puisque 1 est un résultat parmi 6 possibilités, et,

puisqu'il y a 3 nombres pairs parmi les 6 possibilités.

Nous voulons trouver $P\left(A\cup B\right)$. On utilise donc la formule d'addition pour des événements disjoints puisque la réalisation d'un événement n'affecte pas la réalisation de l'autre. On a donc ,

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

$P\left(A\cup B\right)=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2}{3}$

Ainsi, la probabilité d'obtenir 1 au premier lancer et un nombre pair au second lancer est de $\frac{2}{3}$.

On considère 2 sacs, un sac orange et un sac noir. Il y a 4 bonbons dans le sac orange et 5 bonbons dans le sac noir. Il y a aussi 2 chocolats dans le sac orange et 3 chocolats dans le sac noir. Un bonbon est choisi au hasard dans l'un des sacs, que peut-on dire de la probabilité que le bonbon choisi soit un bonbon ?

Solution

Soit A l'événement que le bonbon choisi est un bonbon et soit B l'événement que le bonbon a été choisi dans le sac orange. Soit C l'évènement que le sac choisi était le sac noir.

On voit ici que la probabilité d'obtenir un bonbon dépend du sac choisi. Si le bonbon est choisi dans le sac noir, la probabilité est différente s'il a été choisi dans le sac orange.

Diagramme de l'arbre de tous les événements, StudySmarter Originals

Considère le diagramme ci-dessus, ici tous les événements possibles sont ramifiés afin de mieux comprendre les probabilités.

(i) Si le bonbon a été choisi dans le sac noir, on dit que la "probabilité d'obtenir le bonbon étant donné qu'il provient de la boîte orange".

Selon les événements que nous avons définis, la probabilité de cet événement est notée $P\left(A|B\right)$ et se lit comme "A étant donné que B s'est produit".

(ii) Si le bonbon a été choisi dans la boîte orange, la probabilité d'obtenir un bonbon est notée $P\left(A|C\right)$ et se lit comme "A étant donné que C s'est produit".

Reprenons l'exemple que nous avons vu plus tôt et calculons la probabilité à l'aide de la règle du produit.

Il y a 2 sacs, un sac orange et un sac noir. Il y a 4 bonbons dans le sac orange et 5 bonbons dans le sac noir. Il y a aussi 2 chocolats dans le sac orange et 3 chocolats dans le sac noir. Un bonbon est choisi au hasard, trouve la probabilité que le bonbon choisi soit un bonbon et qu'il provienne du sac noir.

Solution

Soit A l'événement que le bonbon choisi est un bonbon et soit B l'événement que le bonbon a été choisi dans le sac orange. Soit C l'événement selon lequel le sac choisi était le sac noir.

Le diagramme en arbre signifiant les probabilités conditionnelles pertinentes, StudySmarter Originals

Nous voulons trouver la probabilité que le bonbon choisi soit un bonbon étant donné que le sac est noir, donc nous voulons trouver $P\left(A\cap C\right)$.

En utilisant la règle du produit, on obtient ,

$P\left(A\cap C\right)=P\left(A|C\right)P\left(C\right)$

La probabilité que le bonbon provienne du sac noir est de

$P\left(A\cap C\right)=\frac{candiesintheblackbag}{totalsweetsinblackbag}=\frac{5}{8}$

et la probabilité de choisir le sac noir est de 1/2 puisqu'il n'y a que deux sacs,

$P\left(C\right)=\frac{1}{2}$

En substituant ces valeurs, nous obtenons ,

$P\left(A\cap C\right)=\frac{5}{8}·\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$

Par conséquent, la probabilité que le bonbon soit un bonbon et qu'il provienne du sac noir est de $\frac{5}{16}$.

Jason et William jouent aux cartes, Jason demande à William de tirer une carte au hasard. William tire une reine et la remet dans le jeu. Jason lui demande de tirer une autre carte et lui demande la probabilité que cette carte soit un roi suivi de la reine précédente. Quelle devrait être la réponse de William ?

Solution

Soit A l'événement que la carte tirée soit une reine et B que la deuxième carte tirée soit un roi.

Il convient de noter que le choix de William comme première carte n'a pas d'importance, les deux événements sont complètement indépendants l'un de l'autre.

En calculant les probabilités individuelles, on obtient

$P\left(A\right)=P\left(B\right)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

Comme il y a quatre reines et quatre rois dans un jeu de 52 cartes, nous voulons trouver la probabilité de l'intersection des deux événements, en utilisant le fait que les événements sont indépendants.

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)=\frac{1}{13}\frac{1}{13}=\frac{1}{169}$.

Les deux événements suivants sont-ils indépendants ?

A : Le lever du soleil

B : Tirer à pile ou face et obtenir un résultat positif.

Solution

OUI !

Les événements A et B sont indépendants car ils n'ont aucun rapport entre eux et la survenue de l'un n'affecte pas l'autre. Le lever du soleil est sans aucun doute indépendant du résultat du jeu de pile ou face.

Un espace d'échantillonnage est défini par l'ensemble S = {1,2,5,7,8,9} et un sous-ensemble de S est donné par

A = {2,5,8}. Trouve le complément de l'ensemble A.

Solution

D'après la définition du complément d'un ensemble, tous les éléments qui sont dans S mais pas dans A forment l'ensemble^Ac, qui forme ici l'ensemble {1,7,9}.

Le complément de A est donc^Ac = {1,7,9}.

On lance deux fois une pièce de monnaie et on observe le résultat. Quelle est la probabilité qu'au moins une tête soit observée ?

Solution

L'espace d'échantillonnage est donné par S = {HH,HT,TH,TT} et prenons A comme l'ensemble (ou l'événement) constitué des éléments lorsqu'on a plus d'une tête.

Le complément de cet événement sera "l'événement où l'on a moins d'une tête". D'où $A^c$ sera donné par l'ensemble {TT} car c'est le seul élément de l'espace d'échantillonnage où nous avons moins d'une tête (aucune tête).

Par conséquent, nous pouvons maintenant utiliser la règle du complément pour calculer sa probabilité

$P\left(A\right)=1-P\left(A^C\right)$

$P\left(A\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

La probabilité d'obtenir au moins 1 tête est donc de $\frac{3}{4}$.