En statistiques, l'interpolation linéaire est souvent utilisée pour trouver la médiane, les quartiles ou les centiles estimés d'un ensemble de données et en particulier lorsque les données sont présentées dans un tableau de fréquence de groupe avec des intervalles de classe. Dans cet article, nous allons voir comment faire un calcul d'interpolation linéaire à l'aide d'un tableau et d'un graphique pour trouver la médiane, le1er quartile et le3e quartile.
La formule d'interpolation linéaire est la méthode la plus simple utilisée pour estimer la valeur d'une fonction entre deux points connus quelconques. Cette formule est également utile pour l'ajustement des courbes à l'aide de polynômes linéaires. Cette formule est souvent utilisée pour la prévision des données, la prédiction des données et d'autres applications mathématiques et scientifiques. L'équation d'interpolation linéaire est donnée par :
\[y = y_1 + (x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\]
où :
x1 et y1 sont les premières coordonnées.
x2 et y2 sont les secondes coordonnées.
x est le point où l'on effectue l'interpolation.
y est la valeur interpolée.
Exemple résolu d'interpolation linéaire
La meilleure façon de comprendre l'interpolation linéaire est d'utiliser un exemple.
Trouve la valeur de y si x = 5 et si un ensemble de valeurs données sont (3,2), (7,9).
Étape 1 : Attribue d'abord à chaque coordonnée la bonne valeur
x = 5 (note que cette valeur est donnée)
x1 = 3 et y1 = 2
x2 = 7 et y2 = 9
Étape 2 : Substitue ces valeurs dans les équations, puis obtiens la réponse pour y.
\(y = 2 +(5-3)\frac{(9-2)}{(7-3)} \quad y = \frac{11}{2}\)
Comment faire de l'interpolation linéaire ?
Il existe quelques étapes utiles qui te permettront de calculer la valeur souhaitée comme la médiane, le1er quartile et le3e quartile. Nous allons passer en revue chaque étape à l'aide d'un exemple pour que ce soit clair.
Dans cet exemple, nous allons examiner des données groupées avec des intervalles de classe.
Classe
Fréquence
0-10
5
11-20
10
21-30
1
31-40
8
41-50
18
51-60
6
61-70
20
Lafréquence est la fréquence à laquelle une valeur d'une classe spécifique apparaît dans les données.
Étape 1 : Étant donné la classe et la fréquence, tu dois créer une autre colonne appelée fréquence cumulée (également connue sous le nom de FC).
Lafréquence cumulée est donc définie comme le total courant des fréquences.
Classe
Fréquence
FC
0-10
5
5
11-20
10
15
21-30
1
16
31-40
8
24
41-50
18
42
51-60
6
48
61-70
20
68
Étape 2 : Trace le graphique des fréquences cumulées. Pour cela, tu traceras la limite supérieure de la classe en fonction de la fréquence cumulée.
Trouver la médiane
La médiane est la valeur située au milieu des données.
La position de la médiane se situe à la valeur \(\Big( \frac{n}{2} \Big)^{th}\), où n est la fréquence cumulée totale.
Dans cet exemple, n = 68
Étape 1 : Trouver la position de la médiane \(\frac{68}{2} = 34^{th} \space position\)
Étape 2 : Cherche où se trouve la 34e position dans les données à l'aide de la fréquence cumulée.
D'après la fréquence cumulée, la 34e valeur se situe dans l'intervalle de classe 41-50.
Étape 3 : Étant donné le graphique, utilise l'interpolation linéaire pour trouver la valeur médiane spécifique.
Nous considérons le segment du graphique où se trouve l'intervalle de classe comme une ligne droite et utilisons la formule du gradient pour nous aider.
Nous pouvons manipuler cette formule et substituer la valeur de la médiane (m) comme la borne supérieure et la position de la médiane comme la cf médiane qui est également égale au gradient.
Nous pouvons manipuler cette formule et y substituer la valeur du1er quartile (Q1) comme borne supérieure et la position du1er quartile comme1er quartile cf qui est également égal au gradient.
Le1er quartile est également connu sous le nom de quartile inférieur. C'est là que se trouvent les premiers 25 % des données.
La position du3e quartile est la valeur \(\Big(\frac{3n}{4} \Big)^{th}\).
Étape 1 : résoudre la position du3ème quartile \(\frac{3(68)}{4} = 51^{st} \text{ position}\)
Étape 2 : cherche où se trouve la 51e position dans les données à l'aide de la fréquence cumulée.
D'après la fréquence cumulée, la 51e valeur se situe dans l'intervalle de classe 61-70.
Étape 3 : Étant donné le graphique, utilise l'interpolation linéaire pour trouver la valeur spécifique du3e quartile.
Nous traitons le segment du graphique où se trouve l'intervalle de classe comme une ligne droite et nous utilisons la formule du gradient pour nous aider.
Nous pouvons manipuler cette formule et y substituer la valeur du3e quartile (Q3) comme limite supérieure et la position du3e quartile comme3e quartile cf qui est également égale au gradient.
L'interpolation linéaire est utilisée pour trouver une valeur inconnue d'une fonction entre deux points connus.
La formule de l'interpolation linéaire est la suivante : \(y = y_1 +(x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\).
L'interpolation linéaire peut également être utilisée pour trouver la médiane, le1er quartile et le3e quartile.
La position de la médiane est \(\frac{n}{2}\)
La position du1er quartile est \(\frac{n}{4}\)
La position du3ème quartile est \(\frac{3n}{4}\)
Un graphique des limites supérieures de chaque intervalle de classe tracé en fonction de la fréquence cumulée peut être utilisé pour localiser la médiane, le1er quartile et le3e quartile.
La formule du gradient peut être utilisée pour trouver la valeur spécifique de la médiane, du1er quartile et du3ème quartile.
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Questions fréquemment posées en Interpolation linéaire
Qu'est-ce que l'interpolation linéaire ?
L'interpolation linéaire est une méthode pour estimer la valeur d'une fonction entre deux points connus en supposant que la fonction varie linéairement entre ces points.
Comment appliquer l'interpolation linéaire ?
Pour appliquer l'interpolation linéaire, utilisez la formule y = y1 + (x - x1) * ((y2 - y1) / (x2 - x1)), où (x1, y1) et (x2, y2) sont les points connus.
Pourquoi utilise-t-on l'interpolation linéaire ?
L'interpolation linéaire est utilisée pour estimer des valeurs intermédiaires dans un ensemble de données où les points sont organisés suivant une tendance simple.
Quelle est la différence entre interpolation linéaire et extrapolation ?
L'interpolation linéaire estime les valeurs entre les points de données connus, tandis que l'extrapolation estime les valeurs en dehors de la plage des points connus.
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Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.