Formule d'interpolation linéaire
La formule d'interpolation linéaire est la méthode la plus simple utilisée pour estimer la valeur d'une fonction entre deux points connus quelconques. Cette formule est également utile pour l'ajustement des courbes à l'aide de polynômes linéaires. Cette formule est souvent utilisée pour la prévision des données, la prédiction des données et d'autres applications mathématiques et scientifiques. L'équation d'interpolation linéaire est donnée par :
\[y = y_1 + (x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\]
où :
x1 et y1 sont les premières coordonnées.
x2 et y2 sont les secondes coordonnées.
x est le point où l'on effectue l'interpolation.
y est la valeur interpolée.
Exemple résolu d'interpolation linéaire
La meilleure façon de comprendre l'interpolation linéaire est d'utiliser un exemple.
Trouve la valeur de y si x = 5 et si un ensemble de valeurs données sont (3,2), (7,9).
Étape 1 : Attribue d'abord à chaque coordonnée la bonne valeur
x = 5 (note que cette valeur est donnée)
x1 = 3 et y1 = 2
x2 = 7 et y2 = 9
Étape 2 : Substitue ces valeurs dans les équations, puis obtiens la réponse pour y.
\(y = 2 +(5-3)\frac{(9-2)}{(7-3)} \quad y = \frac{11}{2}\)
Comment faire de l'interpolation linéaire ?
Il existe quelques étapes utiles qui te permettront de calculer la valeur souhaitée comme la médiane, le1er quartile et le3e quartile. Nous allons passer en revue chaque étape à l'aide d'un exemple pour que ce soit clair.
Dans cet exemple, nous allons examiner des données groupées avec des intervalles de classe.
| Classe | Fréquence |
| 0-10 | 5 |
| 11-20 | 10 |
| 21-30 | 1 |
| 31-40 | 8 |
| 41-50 | 18 |
| 51-60 | 6 |
| 61-70 | 20 |
Lafréquence est la fréquence à laquelle une valeur d'une classe spécifique apparaît dans les données.
Étape 1 : Étant donné la classe et la fréquence, tu dois créer une autre colonne appelée fréquence cumulée (également connue sous le nom de FC).
Lafréquence cumulée est donc définie comme le total courant des fréquences.
| Classe | Fréquence | FC |
| 0-10 | 5 | 5 |
| 11-20 | 10 | 15 |
| 21-30 | 1 | 16 |
| 31-40 | 8 | 24 |
| 41-50 | 18 | 42 |
| 51-60 | 6 | 48 |
| 61-70 | 20 | 68 |
Étape 2 : Trace le graphique des fréquences cumulées. Pour cela, tu traceras la limite supérieure de la classe en fonction de la fréquence cumulée.
Trouver la médiane
La médiane est la valeur située au milieu des données.
La position de la médiane se situe à la valeur \(\Big( \frac{n}{2} \Big)^{th}\), où n est la fréquence cumulée totale.
Dans cet exemple, n = 68
Étape 1 : Trouver la position de la médiane \(\frac{68}{2} = 34^{th} \space position\)
Étape 2 : Cherche où se trouve la 34e position dans les données à l'aide de la fréquence cumulée.
D'après la fréquence cumulée, la 34e valeur se situe dans l'intervalle de classe 41-50.
Étape 3 : Étant donné le graphique, utilise l'interpolation linéaire pour trouver la valeur médiane spécifique.
Nous considérons le segment du graphique où se trouve l'intervalle de classe comme une ligne droite et utilisons la formule du gradient pour nous aider.
\(\text{Gradient} = \frac{(\text{Médiane cf - cf précédente})}{(\text{limite supérieure - limite inférieure})} =\frac{(42-24)}{(50-41)} = 2\)
Nous pouvons manipuler cette formule et substituer la valeur de la médiane (m) comme la borne supérieure et la position de la médiane comme la cf médiane qui est également égale au gradient.
\(\text{Gradient} = \frac{(34-24)}{(m-41)}\)
Il s'ensuit donc que,
\(2 = \frac{(34-24)}{(m-41)} \quad 2 = \frac{10}{m-41} \quad m-41 = \frac{10}{2} \quad m-41 = 5 \quad m = 46\)
La médiane est donc de 46.
Trouver le premier quartile
Le1er quartile est également connu sous le nom de quartile inférieur. C'est là que se trouvent les premiers 25 % des données.
La position du1er quartile est la valeur \(\Big(\frac{n}{4} \Big)^{th}\).
Les étapes pour trouver le1er quartile sont très similaires aux étapes pour trouver la médiane.
Étape 1 : déterminer la position du1er quartile \(\frac{68}{4} = 17^{th} \text{ position}\)
Étape 2 : cherche où se situe la17e position dans les données à l'aide de la fréquence cumulée.
D'après la fréquence cumulée, la17e valeur se situe dans l'intervalle de classe 31-40.
Étape 3 : Étant donné le graphique, utilise l'interpolation linéaire pour trouver la valeur spécifique du1er quartile.
Nous traitons le segment du graphique où se trouve l'intervalle de classe comme une ligne droite et utilisons la formule du gradient pour nous aider.
\(\text{Gradient} = \frac{(1^{st}\text{quartile cf - cf précédent})}{(\text{limite supérieure - limite inférieure})} =\frac{(24-16)}{(40-31)} = \frac{8}{9}\)
Nous pouvons manipuler cette formule et y substituer la valeur du1er quartile (Q1) comme borne supérieure et la position du1er quartile comme1er quartile cf qui est également égal au gradient.
\(\text{Gradient} = \frac{(17-16)}{(Q_1-31)}\)
Il s'ensuit que,
\(\frac{8}{9} = \frac{(17-16)}{(Q_1 - 31)} \quad \frac{8}{9} = \frac{1}{Q_1 - 31} \quad Q_1 - 31 = \frac{9}{8} \quad Q_1 = 32.125\)
Le1er quartile est donc 32,125.
Trouver le troisième quartile
Le1er quartile est également connu sous le nom de quartile inférieur. C'est là que se trouvent les premiers 25 % des données.
La position du3e quartile est la valeur \(\Big(\frac{3n}{4} \Big)^{th}\).
Étape 1 : résoudre la position du3ème quartile \(\frac{3(68)}{4} = 51^{st} \text{ position}\)
Étape 2 : cherche où se trouve la 51e position dans les données à l'aide de la fréquence cumulée.
D'après la fréquence cumulée, la 51e valeur se situe dans l'intervalle de classe 61-70.
Étape 3 : Étant donné le graphique, utilise l'interpolation linéaire pour trouver la valeur spécifique du3e quartile.
Nous traitons le segment du graphique où se trouve l'intervalle de classe comme une ligne droite et nous utilisons la formule du gradient pour nous aider.
\(\text{Gradient} = \frac{3^{rd} \text{quartile cf - cf précédent}}{\text{limite supérieure - limite inférieure}} = \frac{(68-48)}{(70-61)} = \frac{20}{9}})
Nous pouvons manipuler cette formule et y substituer la valeur du3e quartile (Q3) comme limite supérieure et la position du3e quartile comme3e quartile cf qui est également égale au gradient.
\(\text{Gradient} = \frac{(51-48)}{(Q_3 -61)}\)
Il s'ensuit que \(\frac{20}{9} = \frac{(51-48)}{(Q_3 - 61)} \quad \frac{20}{9} = \frac{3}{Q_3 - 61}) \quad Q_3 - 61 = \frac{27}{20} \quad Q_3 = 62.35\)
Le3e quartile est donc 32,125.
Interpolation linéaire - Principaux enseignements
- L'interpolation linéaire est utilisée pour trouver une valeur inconnue d'une fonction entre deux points connus.
- La formule de l'interpolation linéaire est la suivante : \(y = y_1 +(x-x_1) \frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}\).
- L'interpolation linéaire peut également être utilisée pour trouver la médiane, le1er quartile et le3e quartile.
- La position de la médiane est \(\frac{n}{2}\)
- La position du1er quartile est \(\frac{n}{4}\)
- La position du3ème quartile est \(\frac{3n}{4}\)
- Un graphique des limites supérieures de chaque intervalle de classe tracé en fonction de la fréquence cumulée peut être utilisé pour localiser la médiane, le1er quartile et le3e quartile.
- La formule du gradient peut être utilisée pour trouver la valeur spécifique de la médiane, du1er quartile et du3ème quartile.
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