Séries statistiques
Nous rappelons ici les termes propres aux séries statistiques que nous utiliserons tout au long de cette explication à l'aide des exemples. Considérons la série statistique suivante, issue d'un sondage de 40 élèves sur leurs moyens à se rendre au collège.
Moyen de transport | Vélo | Marche | Bus | Trottinette | Voiture |
| Effectif | 9 | 2 | 15 | 9 | 5 |
| Fréquence | 0,225 | 0,05 | 0,375 | 0,225 | 0,125 |
Le caractère statistique étudié ici est le moyen de transport. Les effectifs correspondent au nombre d'élèves utilisant ce moyen de transport. La fréquence est la proportion des personnes enquêtées ayant utilisé ce mode de transport. \[ fr\acute{e}quence = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\] Les fréquences sont parfois exprimées en pourcentage. Comparons ce tableau à celui ci-dessous, qui présente les tailles des élèves qui ont participé dans le même sondage.
| Taille en cm | 140-150 | 150-160 | 160-170 | 170-180 | 180-190 |
| Effectif | 4 | 9 | 14 | 11 | 2 |
Dans ce tableau, le caractère statistique étudié est un nombre : il s'agit d'un caractère quantitatif. Dans le tableau précédent, nous avions un caractère qualitatif. Si nous étudions une série statistique dont le caractère est quantitatif, il peut être discret ou continu. Il est discret si le caractère peut prendre un nombre fini (que nous pouvons facilement compter) de valeurs. Sinon, il est continu.
Histogramme : définition
Un histogramme est un diagramme qui présente des données statistiques continues. Sur l'axe horizontal, nous trouvons les classes de valeurs que peut prendre le caractère statistique étudié. Par exemple, dans l'histogramme ci-dessous les classes représentent les tailles de 40 élèves. Ainsi, onze élèves font entre 170 cm et 180 cm.
L'amplitude d'une classe \([s,t[\) est \(t-s\).
Il n'est pas nécessaire d'avoir des classes de même amplitude.
Les hauteurs peuvent représenter les effectifs ou les fréquences de chaque classe. Or, dans des situations qui requièrent plus de finesse mathématique, il faut assurer que l'aire de chaque rectangle soit proportionnelle à l'effectif de la classe.
Fig. 1 - Histogramme des tailles de 40 élèves
Histogramme ou diagramme en bâtons ?
Les histogrammes et les diagrammes en bâtons (ou diagrammes à barres) sont des diagrammes similaires. Pourtant, il y a quelques différences.
Fig. 2 - La différence entre un histogramme et un diagramme en bâtons
La principale différence entre un histogramme et un diagramme en bâtons est qu'un histogramme est utilisé pour des données groupées, alors qu'un diagramme en bâtons est utilisé pour des valeurs spécifiques. Autrement dit, les histogrammes illustrent des séries statistiques de caractère continu, et les diagrammes en bâtons sont pour des données discrètes.
Fig. 3 - Les diagrammes en bâtons peuvent être orientés horizontalement ou verticalement
Autre détail : les histogrammes sont toujours orientés dans le même sens, alors que les diagrammes en bâtons peuvent être horizontaux ou verticaux.
Comment faire un histogramme ?
Même si les hauteurs des rectangles dans un triangle représentent souvent l'effectif de la classe, elles peuvent représenter également les fréquences. Il est également possible de faire en sorte que les aires représentent les effectifs. Comme ce dernier cas est plus délicat, voyons comment faire un histogramme dans ce contexte. Comme l'aire représente l'effectif et l'amplitude de la classe est la largeur, la hauteur est donnée par : \[ hauteur = \frac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\]
Voyons comment faire un histogramme à partir du tableau de données suivant, qui recueille les temps en minutes pris par des élèves pour terminer un mini-marathon.
| classe | effectif |
| \([30,40[\) | \(6\) |
| \([40,45[\) | \(16\) |
| \([45,55[\) | \(18\) |
| \([55,60[\) | \(12\) |
| \([60,65[\) | \(8\) |
Pour chaque classe, nous devons déterminer son amplitude, qui nous permettra de déterminer la hauteur du rectangle sur l'histogramme.
| classe | amplitude | effectif | hauteur |
| \([30,40[\) | \(40-30 = 10\) | \(6\) | \(\frac{6}{10} = 0{,}6\) |
| \([40,45[\) | \(45-40 = 5\) | \(16\) | \(\frac{16}{5} = 3{,}2\) |
| \([45,55[\) | \(55-45 = 10\) | \(18\) | \(\frac{18}{10} = 1{,}8\) |
| \([55,60[\) | \(60-55 = 5\) | \(12\) | \(\frac{12}{5} = 2{,}4\) |
| \([60,65[\) | \(65-60 = 5\) | \(8\) | \(\frac{8}{5} = 1{,}6\) |
Nous pouvons donc construire l'histogramme associé.
Fig. 4 - Comment faire un histogramme
En pratique, les histogrammes sont construits à l'aide d'un tableur comme Microsoft Excel ou Google Sheets. Il est également possible de créer des histogrammes avec des langages de programmation, tels que Python.
Histogramme : exemple
À part savoir comment construire un histogramme, il faut aussi savoir comment l'interpréter. Voici quelques exemples des questions qui peuvent t'être posées.
L'histogramme ci-dessous présente les notes d'une évaluation en mathématiques.
Fig. 5 - Un exemple de comment interpréter un histogramme
Nous allons répondre aux questions suivantes.
- Combien d'élèves ont passé cet examen ?
- Quelle proportion d'élèves ont eu plus que \(13\) ?
1. Pour déterminer le nombre total d'élèves qui ont passé cet examen, il faut additionner les effectifs (hauteurs des rectangles) de toutes les classes. Comme \(7 + 6 + 11 + 7 + 3 + 6 = 40\), nous pouvons en déduire que \(40\) élèves ont passé cet examen.
2. Pour calculer la proportion d'élèves qui ont eu plus que \(13\), il faut d'abord trouver combien d'élèves ont eu plus que \(13\). Pour cela, il faut additionner les effectifs des trois dernières classes. Comme \(7 + 3 + 6 = 16\), nous pouvons en déduire que \(16\) élèves ont eu plus que \(13\). Ainsi, la proportion d'élèves qui ont eu plus que \(13\) est \( \frac{16}{40} = 0{,}4\).
Histogramme - Points clés
- Un histogramme est un diagramme qui présente des séries statistiques dont le caractère est continu, à l'opposition des diagrammes en bâtons qui présentent des données discrètes.
- Sur l'axe horizontal, il y a la variable statistique étudiée.
- Sur l'axe vertical, il y a souvent l'effectif ou la fréquence.
- Or, quand plus de précision mathématique est nécessaire, nous devons faire en sorte que les aires représentent les effectifs.
- Pour construire un histogramme à partir d'un tableau de données groupées, il faut déterminer les hauteurs des rectangles.
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