Considère le tableau suivant :
Nombre de pizzas consommées en janvier (x) | Nombre de personnes (fréquence) |
0 | 3 |
1 | 1 |
2 | 4 |
3 | 2 |
4 | 0 |
5 | 2 |
Le tableau de fréquence ci-dessus peut nous indiquer combien de personnes ont eu un certain nombre de pizzas en janvier. Par exemple, le nombre de personnes qui ont eu exactement 2 pizzas en janvier est de 4. Supposons maintenant que nous voulions savoir combien de personnes ont eu un maximum de 2 pizzas en janvier. Cela serait représenté par la fréquence cumulée à x = 2, qui serait égale à la somme du nombre de personnes qui ont eu 0, 1 et 2 pizzas en janvier, c'est-à-dire \(3 +1 +4 = 8\).
Tableau des fréquences cumulées
Un tableau de fréquences cumulées est un outil statistique très utile pour nous aider à traiter les fréquences et les fréquences cumulées. Pour construire un tableau de fréquences cumulées à partir de l'exemple ci-dessus, il suffit d'ajouter une autre colonne pour la fréquence cumulée. La fréquence cumulée pour chaque valeur de x est égale à la somme de la fréquence pour cette valeur de x et de la fréquence cumulée pour la valeur précédente de x (la fréquence cumulée pour la première valeur de x sera la même que la fréquence).
Ainsi, nous obtenons le tableau de fréquences cumulées suivant :
Nombre de pizzas consommées en janvier (x) | Nombre de personnes (fréquence) | Fréquence cumulée |
0 | 3 | 3 |
1 | 1 | 3 + 1 = 4 |
2 | 4 | 4 + 4 = 8 |
3 | 2 | 8 + 2 = 10 |
4 | 0 | 10 + 0 = 10 |
5 | 2 | 10 + 2 = 12 |
Graphique des fréquences cumulées
Un autre outil très couramment utilisé pour traiter les fréquences cumulées est le graphique des fréquences cumulées.
Dessine le graphique des fréquences cumulées pour l'exemple ci-dessus. La valeur de x est représentée sur l'axe des x et la fréquence cumulée sur l'axe des y.
Exemple de graphique de fréquence cumulée, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals
Fréquence cumulée pour une distribution de fréquences groupées
En statistiques, les données sont très souvent regroupées en classes qui représentent une plage continue de valeurs. C'est une pratique très courante dans le cas de la distribution de fréquences.
Par exemple, considère le tableau de distribution de fréquences suivant :
Notation des restaurants (x) | Nombre de restaurants (fréquence) |
0.0 - 1.0 | 12 |
1.0 - 2.0 | 28 |
2.0 - 3.0 | 45 |
3.0 - 4.0 | 40 |
4.0 - 5.0 | 35 |
Pour obtenir le tableau des fréquences cumulées à partir des données ci-dessus, nous pouvons suivre les mêmes étapes que pour l'exemple précédent avec des valeurs discrètes.
Notes des restaurants (x) | Note de la classe | Nombre de restaurants (fréquence) | Fréquence cumulée (y) |
0.0 - 1.0 | 0.5 | 12 | 12 |
1.0 - 2.0 | 1.5 | 28 | 40 |
2.0 - 3.0 | 2.5 | 45 | 85 |
3.0 - 4.0 | 3.5 | 40 | 125 |
4.0 - 5.0 | 4.5 | 35 | 160 |
Maintenant, pour créer le graphique des fréquences cumulées, nous devons utiliser la marque de classe pour chaque classe. La note de classe est la valeur moyenne de chaque classe. Par conséquent, la note de la classe 1,0 - 2,0 sera \(\frac{1,0 + 2,0}{2} = 1,5\). De même, la note de la classe 4,0 - 5,0 sera de 4,5.
Ainsi, le graphique des fréquences cumulées obtenu sera le suivant :
La courbe de fréquence cumulée pour la distribution de fréquences donnée, Nilabhro Datta - Study Smart Originals.
Comme tu peux le voir, le graphique a été tracé en utilisant la note respective de chaque classe (0,5, 1,5, 2,5...). Note que la plus petite valeur possible est 0, le graphique commence donc à (0, 0).
Pour le tableau de fréquences suivant indiquant la masse des mangues en grammes, construis le tableau de fréquences cumulées et le graphique de fréquences cumulées.
Masse en grammes (x) | Fréquence |
50 ≤ x < 70 | 22 |
70 ≤ x < 90 | 23 |
90 ≤ x < 110 | 47 |
110 ≤ x < 130 | 18 |
130 ≤ x < 150 | 7 |
Solution
Crée le tableau de fréquences cumulées résultant.
Masse en grammes (x) | Marque de la classe | Fréquence | Fréquence cumulée |
50 ≤ x < 70 | 60 | 22 | 22 |
70 ≤ x < 90 | 80 | 23 | 45 |
90 ≤ x < 110 | 100 | 47 | 92 |
110 ≤ x < 130 | 120 | 18 | 110 |
130 ≤ x < 150 | 140 | 7 | 117 |
Tu peux maintenant dessiner le graphique des fréquences cumulées correspondant.
La courbe des fréquences cumulées pour la distribution de fréquences groupées donnée, Nilabhro Datta - Study Smarter Originals.
Estimation des médianes, quartiles et centiles à l'aide de la fréquence cumulée.
Dans le cas d'une distribution de fréquences groupées, il n'est généralement pas possible de calculer les valeurs exactes des médianes, des quartiles et des centiles. À l'aide des graphiques de fréquences cumulées, il est possible d'estimer ces valeurs.
Conseil : les valeurs obtenues sont des approximations et ne seront pas des valeurs exactes.
Voici un aperçu de la procédure que tu peux suivre pour obtenir la valeur des médianes, des quartiles et des centiles d'une distribution de fréquences groupées à l'aide de graphiques de fréquences cumulées.
Étapes :
1) Étant donné un tableau de distribution de fréquences groupées, obtiens le tableau des fréquences cumulées.
2) Sur le graphique, reporte les points obtenus à partir du tableau de fréquences cumulées en utilisant la limite supérieure de la classe (et non la note de la classe), et la fréquence cumulée correspondante.
3) Trace une courbe approximative de meilleur ajustement à travers les points tracés.
4) Estime les valeurs médianes/quartiles/percentiles requises à partir du graphique. Par exemple, dans un graphique tracé à partir d'une distribution de fréquences avec 200 résultats notés :
\(\frac{200}{2}\) = 100ème valeur est la moyenne.
\(\frac{200}{4}\) = la 50ème valeur est le quartile inférieur et \(200 \cdot \frac{3}{4}\) = la 150ème valeur est le quartile supérieur.
\(200 \cdot \frac{90}{100}\) = 180ème valeur est le 90ème percentile et \(200 \cdot \frac{30}{100}\) = 60ème valeur est le 30ème percentile.
Considère le tableau de fréquences suivant indiquant la masse des mangues en grammes, construis le tableau de fréquences cumulées et le graphique de fréquences cumulées.
Estime la ou les valeurs de a) la médiane b) les quartiles supérieur et inférieur c) le 43e percentile d) le 85e percentile.
Masse en grammes (x) | Fréquence |
50 ≤ x < 70 | 17 |
70 ≤ x < 90 | 23 |
90 ≤ x < 110 | 30 |
110 ≤ x < 130 | 18 |
130 ≤ x < 150 | 12 |
Solution
Crée le tableau de fréquences cumulées résultant.
Masse en grammes (x) | Fréquence | Fréquence cumulée |
50 ≤ x < 70 | 17 | 17 |
70 ≤ x < 90 | 23 | 40 |
90 ≤ x < 110 | 30 | 70 |
110 ≤ x < 130 | 18 | 88 |
130 ≤ x < 150 | 12 | 100 |
Reporte maintenant les points sur un graphique prenant la masse en abscisse et la fréquence cumulée en ordonnée, et trace la courbe de meilleur ajustement passant par ces points.
Exemple de courbe de fréquence cumulée de meilleur ajustement pour estimer la médiane, les quartiles et les centiles, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals.
À partir du graphique ci-dessus, nous pouvons obtenir nos estimations pour la médiane, les quartiles et les centiles nécessaires.
Médiane = valeur du (\(\frac{100}{2}\) = 50) ème point de données = 95,78
Quartile supérieur = valeur du (\(100 \cdot \frac{3}{4}\) = 75) ème point de données = 115,53 Quartile inférieur = valeur du (\(100 \cdot \frac{1}{4}\) = 25) ème point de données = 77,88
Valeur du 43e percentile = valeur de (\(100 \cdot \frac{43}{100}\) = 43) e point de données = 90,87
Valeur du 85e percentile = valeur de (\(100 \cdot \frac{85}{100}\) = 85)e point de données = 125,95
Fréquence cumulée - Principaux enseignements
La fréquence désigne le nombre de fois qu'un événement ou un résultat se produit. La fréquence cumulée à un point x est la somme des fréquences individuelles jusqu'au point x et au point x.
Deux méthodes couramment utilisées pour représenter les informations sur les fréquences cumulées sont les graphiques de fréquences cumulées et les tableaux de fréquences cumulées.
Pour les distributions de fréquences groupées, il n'est généralement pas possible de calculer les valeurs exactes des médianes, des quartiles et des centiles. En utilisant les graphiques de fréquences cumulées, il est possible d'estimer ces valeurs.
Les valeurs des médianes, des quartiles et des centiles obtenues à partir des graphiques de fréquences cumulées sont généralement les meilleures approximations et non des valeurs exactes.
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