Fonction Génératrice de Probabilité

Supposons que la variable aléatoire discrète \(X\) ait une PGF donnée par

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Alors ,

$$G_X(1)=\frac{1}{8}{2}^3=1.$$

Soit \N(X\N) avec un PGF donné par

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Alors

\[\begin{align} G_X'(t)&=\frac{3}{8}(1+t)^2 \\N-G_X'(t)&=\frac{3}{8}(2)^2=\frac{3}{2} .\NFin{align}\N]

Par conséquent

\N[ \Nmathbb{E}(X)=\frac{3}{2}.\N]

Supposons que \(X\) ait une PGF donnée par

$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$

Alors

\[\begin{align} G_X'(1)&=\frac{3}{2} \\N- G_X''(t)&=\frac{3}{4}(1+x) \N- G_X''(1)&=\frac{3}{2} \N-END{align}\N] Par conséquent

\[ \begin{align}\text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2\\ &=\frac{3}{4} .\end{align}\]

Supposons qu'une variable aléatoire discrète \N(X\N) ait une PGF donnée par

$$G_X(t)=\frac{t^2}{(2-t)^5}$$

et une variable aléatoire discrète \(Y\) a une PGF donnée par

$$G_Y(t)=\frac{t}{(4-3t)^2}.$$

Etant donné que \N(X\N) et \N(Y\N), trouve la PGF de \N(Z=X+Y\N) :

Solution :

En utilisant la propriété 8,

\N- [\N- Début{align} G_Z(t)&=G_X(t) \cdot G_Y(t) \cdot &=\frac{t^2}{(2-t)^5} \cdot\frac{t}{(4-3t)^2} = \frac{t^3}{(2-t)^5(4-3t)^2}. \N- [end{align}\N]

La fonction génératrice de probabilité d'une variable aléatoire discrète \(X\) est donnée par

$$G_X(t)=z(1+2t+2t^2)^2.$$

a) Trouve la valeur de \(z\).

b) Donne la distribution de probabilité de \(X\).

Solution :

a) En utilisant la propriété 2 ci-dessus, tu sais que pour tout PGF,

\[\begin{align} G_X(1) &=\sum_{x} 1^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x}\mathbb{P}(X=x) \N &=1, \Nend{align}\N]

donc

\N- [\N- Début{align} G_X(1)&=z(1+2(1)+2(1)^2)^2 \N- 1&=z(1+2+2)^2 \N- z&=\frac{1}{25}. \N- [end{align}\N]

b) Tu as \(G_X(t)=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)^2.\N-)

En développant les parenthèses, on obtient

\[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)(1+2t+2t^2) \\N- &=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2+2t+4t^2+4t^3+2t^2+4t^3+4t^4) \N- &=\frac{1}{25}(1+4t+8t^2+8t^3+4t^4) \\ &=\frac{1}{25}+\frac{4t}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25} \\ &=\frac{1t^0}{25}+\frac{4t^1}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25}. \N- [end{align}\N]

Tu as maintenant une fonction qui te permet de lire les valeurs de \(x\N) avec les probabilités correspondantes de \N(x\N) en utilisant le fait que les coefficients de \N(t^x\N) sont les probabilités \N(\Nmathbb{P}(X = x)\N). Par conséquent, la distribution de probabilité de X est :

Supposons qu'une variable aléatoire \(X\) ait une PGF donnée par

$$G_X(t)=\frac{1}{10}(4t+3t^2+2t^3+t^4).$$

Trouve la variance de \(X\).

Solution :

En utilisant la propriété 7 ci-dessus, tu as

\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X) &=\mathbb{E}\gauche(X^2\droite)-(\mathbb{E}(X))^2 \\\N- &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2, \Nend{align}\N]

donc

\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align}} G_X'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} G_X(t) \N- &= \frac{1}{10}\Nà gauche(4+6t+6t^2+4t^3\Nà droite) \N- G_X'(1)&=2 \N- G_X''(t)&=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} G_X(t) \\N- &= \Nfrac{3\Ngauche(2t^2+2t+1\Ndroite)}{5} \N- G_X''(1)&=3. \N- [end{align}\N]

Par conséquent

\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\N- &=3+2-2^2\N- &=1. \N-{align}\N- [\N]

Le nombre de visiteurs du site Web est donné par un taux de \(4\) par heure. Etant donné que la variable aléatoire \(X\) est le nombre de visiteurs du site Web qui arrivent au cours d'une heure aléatoire, et que les visites sont indépendantes et aléatoires, montre, à partir des premiers principes, que la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est la suivante

$$G_X(t)=e^{4(t-1)}.$$

Solution :

D'après la description de l'événement, tu peux voir que la variable aléatoire a la propriété que \(X\sim Poi(4)\) puisque chaque visite indépendante les unes des autres, et se produisent dans une période de temps fixe (une heure) à un taux moyen constant \(4.\).

Par conséquent ,

\[\mathbb{P}(X=x)=\frac{e^{-4}4^x}{x!},\]

donc

\[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x) \\N &=\sum_{x=0}^{\infty} t^x\frac{e^{-4}4^x}{x!} \N- &=e^{-4}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{t^x 4^x}{x!} \\ &=e^{-4} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(4t)^x}{x!} \N- &=e^{-4}e^{4t}\N- &=e^{-4+4t} \N- &=e^{4(t-1)} . \N- [end{align}\N]

La dernière égalité découle de l'expansion de Maclaurin de \(e^x\) où \(x=4t\). De manière équivalente, tu peux utiliser la sommation exponentielle :

\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} =e^a.\N].

La probabilité qu'une graine germe est de \(0,35\). Soit la variable aléatoire \(X\) qui représente le nombre de graines qui ont germé sur \(4\) graines plantées.

a) Montre, à partir des premiers principes, que la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est

$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$

b) En utilisant ta réponse à a), détermine la moyenne de \(X\).

Solution :

a) Observe que \(X ∼ \text{Bin}(4, 0.35)\), donc

\[\mathbb{P}(X=x)= \binom{6}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x}\]

pour \(x=0,\dots ,6\).

En utilisant la formule de la fonction génératrice de probabilité :

\N[\N- Début{alignement} G_X(t)&=\sum_{x=0}^{4}t^x\mathbb{P}(X=x) \\ &=\sum_{x=0}^{4}t^x\binom{4}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x} \\ &=(0.65)^4+4(0.35)(0.65)^3t+6(0.35)^2(0.65)^2t^2+4(0.35)^3(0.65)t^3+(0.35)^4t^4 \\ &=(0.65)^4+4(0.65)^3(0.35t)+6(0.65)^2(0.35t)^2+4(0.65)(0.35t)^3+(0.35t)^4 \\ &=(0.65+0.35t)^4 ,\end{align}\]

où la dernière égalité découle de la formule binomiale :

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]

Par conséquent, la fonction génératrice de probabilité pour \(X\) est :

$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$

b) En utilisant la propriété 4 ci-dessus, tu as que \N(G_X'(t)=\mathbb{E}(X)\N), donc

\N- [\N- Début{alignement} G_X'(t)&=1.4(0.65+0.35t)^3 \N-G_X'(1)&=1.4 \Nend{align}\N]

Becky lance un dé à six faces. La variable aléatoire \(X\) représente le nombre de lancers nécessaires pour qu'elle obtienne un multiple de \(2\). Étant donné que chaque lancer est indépendant, trouve la fonction génératrice de probabilité de \(X\).

Solution :

Soit \(p\) la probabilité que Becky obtienne un nombre pair. Alors \(p=0.5\) et la variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(0.5).\).

Par conséquent, en utilisant la formule donnée ci-dessus, la fonction génératrice de probabilité de \(X\) est

\N- [\N- Début{align} G_X(t)&=\frac{pt}{1-(1-p)t} \\N- &=\frac{0,5t}{1-0,5t}. [\N-{align}\N]

Soit la variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(p)\), utilisons la PGF de \(X\) pour montrer que \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{p}\) et \(\text{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}.\).

Solution :

En utilisant les propriétés 4 et 7, on obtient que \N(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\Net que \N(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\n-) et

\[\text{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2.\]

D'après la définition ci-dessus, une variable aléatoire \(X\sim \text{Geo}(p)\) a la PGF donnée par

\[G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\]

Ainsi, en utilisant la règle du quotient, tu as que,

\[\N- Début{alignement} G_X'(t)&=\frac{(1-(1-p)t)(p)-(pt)(-(1-p))}{(1-(1-p)t)^2} \\ &=\frac{p(1-(1-p)t+(1-p)t)}{(1-(1-p)t)^2} \N- &=\frac{p}{(1-(1-p)t)^2} \\ G_X'(1)&=\frac{p}{(1-(1-p))^2} \N- &=\frac{p}{p^2} \N- &=\frac{1}{p}, \Nend{align} \]

donc

\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} .\]

En utilisant la règle de la chaîne, tu as que,

\[\N- Début{alignement} G_X''(t)&=\frac{-2(-(1-p))p}{(1-(1-p)t)^3} \\ &=\frac{2p(1-p)}{(1-(1-p)t)^3} \\ G_X''(1)&=\frac{2p(1-p)}{p^3} \N- &=\frac{2(1-p)}{p^2} .\Nend{align}\N]

Par conséquent,

\N- [\N- Début{align} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\left(\frac{1}{p}\right)^2 \\ &=\frac{2(1-p)+p-1}{p^2} \\ &=\frac{1-p}{p^2}.\end{align}\]