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Si tu ne regardes pas souvent sous ton lit, la poussière aura tendance à s'y accumuler. Avec le temps, la probabilité que toute la surface sous ton lit soit couverte de poussière s'approchera de \(1\). Les probabilités et l'accumulation sont liées dans les statistiques par le biais de la fonction de distribution cumulative. Même si la lecture de ce qui suit n'empêchera pas l'accumulation de poussière, elle t'aidera au moins à trouver une fonction qui pourrait décrire le processus !
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Inscris-toi gratuitementPour une variable aléatoire continue \(X\), si tu as la fonction de distribution cumulative, comment trouves-tu la fonction de densité de probabilité ?
Pour une variable aléatoire continue \(X\), si tu as la fonction de densité de probabilité, comment trouves-tu la fonction de distribution cumulative ?
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative ne peut pas être plus grande que \(1\).
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative ne peut pas être plus petite que \(0\).
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative doit être plus grande que \(0\) et plus petite que \(1\).
Pour une variable aléatoire continue \(X\), le ___ est défini en termes d'aire sous une courbe.
Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), la fonction \N[ f(x) = \Ndébut{cas} 2 & 0 \Nle x \Nle 1 \N0 & \Ntext{autre} \Nfin{cases} \N] ne peut pas être une fonction de distribution cumulative parce que ___.
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X < \dfrac{1}{4}\right)\) ?
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X = \dfrac{1}{4}\right)\N ?)
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X > \dfrac{1}{8}\right)\N ?)
Pour une variable aléatoire continue \(X\), si tu as la fonction de distribution cumulative, comment trouves-tu la fonction de densité de probabilité ?
Pour une variable aléatoire continue \(X\), si tu as la fonction de densité de probabilité, comment trouves-tu la fonction de distribution cumulative ?
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative ne peut pas être plus grande que \(1\).
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative ne peut pas être plus petite que \(0\).
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \(X\), la fonction de distribution cumulative doit être plus grande que \(0\) et plus petite que \(1\).
Pour une variable aléatoire continue \(X\), le ___ est défini en termes d'aire sous une courbe.
Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), la fonction \N[ f(x) = \Ndébut{cas} 2 & 0 \Nle x \Nle 1 \N0 & \Ntext{autre} \Nfin{cases} \N] ne peut pas être une fonction de distribution cumulative parce que ___.
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X < \dfrac{1}{4}\right)\) ?
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X = \dfrac{1}{4}\right)\N ?)
Supposons que tu saches que \N(X\N) est une variable aléatoire continue et que \N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x < 0 \N 2x & 0 \Nle x\Nle \Nfrac{1}{2}] est la fonction de distribution cumulative. \N- 1 & x >1 \Nend{cases}\N] est la fonction de distribution cumulative. Qu'est-ce que \(P\left(X > \dfrac{1}{8}\right)\N ?)
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Équipe enseignants Fonction de répartition cumulative
Tout d'abord, examinons la définition officielle d'une fonction de distribution cumulative pour une variable aléatoire \(X\).
Soit \(X\) une variable aléatoire. La fonction de distribution cumulative, ou FDC, \(F(x)\) est définie comme suit
\N[ F(x) = P(X \Nle x).\N]
En d'autres termes, la fonction de distribution cumulative est définie à l'aide de la probabilité de la variable aléatoire. Peu importe qu'il s'agisse d'une variable aléatoire continue ou discrète, la définition est la même dans les deux cas. Le reste de cet article se concentrera toutefois sur le cas où \(X\) est une variable aléatoire continue.
Rappelle la définition d'une fonction de densité de probabilité.
Lafonction de densité de probabilité , ou PDF, d'une variable aléatoire continue \(X\) est une fonction intégrable \(f_X(x)\) satisfaisant les conditions suivantes :
Alors la probabilité que \N(X\N) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Quel est le rapport avec la fonction de distribution cumulative ? Remarque que la probabilité \(P(a<X<b)\) apparaît dans la définition ci-dessus. Puisque la fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme \( F(x) = P(X \le x)\), tu peux réécrire la définition de la fonction de distribution cumulative en termes de fonction de densité de probabilité de la manière suivante :
Soit \(X\) une variable aléatoire continue. La fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\N- \N[ \N- \Ndébut{align} F(x) &= P(X \le x) \N &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \N, \Nmathrm{d} t ,\Nend{align}\N]
où \(f_X(x)\) est une fonction de densité de probabilité pour \(X\).
Cela signifie que tu peux passer d'une fonction de distribution cumulative à la fonction de densité de probabilité par différenciation, et de la fonction de densité de probabilité à la fonction de distribution cumulative par intégration.
Fig. 1 - Passage d'une fonction de distribution cumulative à une fonction de densité de probabilité.
Examinons maintenant les propriétés d'une fonction de distribution cumulative.
Tu connais déjà certaines des propriétés d'une fonction de distribution cumulative, simplement parce qu'elle est définie en termes de probabilité :
la fonction de distribution cumulative est toujours au moins égale à zéro ;
la fonction de distribution cumulative est au plus égale à un ; et
la fonction de distribution cumulative est l'aire sous la fonction de densité de probabilité.
Il s'avère que tu peux lire la probabilité d'une variable aléatoire continue directement sur le graphique de la fonction de distribution cumulative. Prenons un exemple rapide.
Pour une variable aléatoire continue \(X\), étant donné la fonction de distribution cumulative telle qu'elle est représentée dans le graphique ci-dessous, trouve \(P(X \le 3,5)\).
Fig. 2 - Graphique d'une fonction de distribution cumulative
Solution :
Ne te laisse pas abuser par le fait que le graphique est étiqueté de la façon suivante
\N[ \Nint f_X(x)\N, \Nmathrm{d}x.\N]
Rappelle-toi que pour une fonction de densité de probabilité \(f_X(x)\), l'intégrale écrite est la même chose que la fonction de densité cumulative \(F(x)\).
Il peut être utile de trouver l'équation de la fonction de distribution cumulative car on ne sait pas exactement ce qu'est \(F(3,5)\) d'après l'image. Étant donné le graphique, tu peux voir que les points \N((1,0)\N) et \N((11,1)\N) sont les deux extrémités de la ligne diagonale. L'équation de cette ligne est donc
\[y= \frac{1}{10}x-\frac{1}{10},\]
Tu peux donc écrire la formule de la fonction de distribution cumulative comme suit
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \dfrac{1}{10}x-\dfrac{1}{10} & 1 \le x \le 11 \\ 1 & x > 11 \end{cases}.\]
Maintenant
\[ F(3.5) = \frac{1}{10}(3.5)-\frac{1}{10} = 0.25.\]
En d'autres termes, \N (P(X \le 3,5) = 0,25\N).
La distribution normale est un exemple standard de variable aléatoire continue.
La fonction de distribution cumulative de la distribution normale est simplement l'intégrale de la fonction de densité de probabilité, comme tu t'y attends. Tu peux voir ci-dessous le graphique d'une distribution normale standard, puis la fonction de distribution cumulative qui lui est associée.
Fig. 3 - Graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard
Fig. 4 - Graphique de la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard
Bien sûr, il est toujours utile de regarder d'autres exemples !
Pour le premier exemple, voyons comment déterminer si une fonction est une fonction de distribution cumulative ou une fonction de densité de probabilité.
Définis
\N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x \le 0 \N \Nln x + 1 & x>0\Nend{cases}.\N]
(a) Est-ce que \(g(x)\) peut être une fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue ? Explique pourquoi ou pourquoi pas.
(b) Est-ce que \(g(x)\) peut être une fonction de distribution cumulative pour une variable aléatoire continue? Explique pourquoi ou pourquoi pas.
Solution :
(a) Pour que quelque chose soit une fonction de densité de probabilité, elle doit toujours être au moins égale à zéro. Cependant
\[\begin{align} g\left(\frac{1}{4}\right) &= \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \\ &= \ln 1 - \ln 4 + 1 \\ &\approx -0.39 \\ &< 0,\end{align} \]
Il ne peut donc pas s'agir d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Pour qu'une fonction soit une fonction de distribution cumulative, elle ne peut prendre aucune valeur supérieure à \(1\). Cependant
\N- [\N- début{align} g\Ngauche(3\Ndroite) &= \Nln\Ngauche(3\Ndroite) + 1 \N- &\Napprox 2.1 \N- &>1,\Nfin{align}] [\N- début{align}]. \]
Donc \N(g(x)\N) ne peut pas non plus être une fonction de distribution cumulative.
Ce n'est pas parce que quelque chose est écrit de manière fragmentaire que cela a quelque chose à voir avec les probabilités.
Si tu sais que quelque chose est une fonction de densité de probabilité, tu peux trouver la fonction de distribution cumulative.
Supposons que \N(X\N) soit une variable aléatoire continue, et que la fonction de densité de probabilité soit
\[f(x) = \begin{cases} k\sin x & 0 \le x \le \pi \\N 0 &\text{otherwise} \Nfin{cases}.\N]
(a) Trouve la valeur de \(k\) qui permet d'obtenir ce résultat.
(b) Trouve la fonction de distribution cumulative associée.
(c) Trouver \(P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\right)\N).
Solution :
(a) Rappelle-toi que pour que quelque chose soit une fonction de densité de probabilité, l'aire sous la courbe doit être égale à un. En d'autres termes, tu as besoin de
\N[ \Nint_{-\infty}^{\infty} f(x) \N, \Nmathrm{d}x = 1.\N].
En introduisant la fonction, tu obtiens
\[ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \N, \mathrm{d}x &= \int_0^\pi k \sin x \N, \mathrm{d}x \N &=\left. -k\cos x \phantom{\frac{}{}}} \N-right|_0^\pi \N &= -k\cos \Npi - (-k\cos 0) \N &= -k(-1) + k(1)\N &= 2k. [\N-{align}\N]
Donc pour que \(f(x)\Nsoit une fonction de densité de probabilité, il faut que \N(2k = 1\N), donc \N(k = \Ndfrac{1}{2}\N).
(b) D'après la première partie du problème, tu sais que
\N[f(x) = \Ndébut{cases} \dfrac{1}{2}\sin x & 0 \le x \le \pi \0 &\text{otherwise} \NFin{cases}.\N]
Grâce aux propriétés de la fonction de distribution cumulative, tu sais aussi que \(F(x)=0\) pour \(x \le 0\), et \(F(x)=1\) pour \(x \ge \pi\). Tout ce qui reste, c'est la partie gênante entre \N(0\N) et \N(\Npi\N). Si tu intègres,
\[\begin{align} F(x) &= \int \dfrac{1}{2}\sin x \, \mathrm{d}x \N &= -\frac{1}{2}\cos x + C \Nend{align}\N]
où \(C\) est la constante d'intégration. Puisque \(F(0)=0\),
\[ \begin{align} -\frac{1}{2}\cos x + C &= -\frac{1}{2}\cos 0 + C \\ &= -\frac{1}{2} + C, \end{align} \]
et il doit être le cas que \(C = \dfrac{1}{2}\). La fonction de distribution cumulative est donc :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\\N -\Ndfrac{1}{2}\Ncos x + \Ndfrac{1}{2} & 0 \Nx \Npi \Nend{cases}.\N]
(c) Pour trouver \ (P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\right)\N il suffit d'évaluer \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \N), ce qui donne
\[ \begin{align} P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\r}right) &= F\left( \dfrac{\pi}{4}\rright) \\\N &= -\dfrac{1}{2}\cos \left( \dfrac{\pi}{4}\rright) + \dfrac{1}{2} \N- -\Nfrac{1}{2}\Nà gauche(\Nfrac{\Nsqrt{2}}{2}\Nà droite) + \Nfrac{1}{2} \N- & \N- environ 0,145. \N- [Fin{align}\N-]
Pour toute variable aléatoire \(X\), la fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\N[ F(x) = P(X \Nle x).\N]
Pour une variable aléatoire continue \(X) avec une fonction de densité de probabilité\ (f_X(x)\), lafonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) \N &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \N, \Nmathrm{d} t .\Nend{align}\N]
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