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Définition de la fonction de distribution cumulative
Tout d'abord, examinons la définition officielle d'une fonction de distribution cumulative pour une variable aléatoire \(X\).
Soit \(X\) une variable aléatoire. La fonction de distribution cumulative, ou FDC, \(F(x)\) est définie comme suit
\N[ F(x) = P(X \Nle x).\N]
En d'autres termes, la fonction de distribution cumulative est définie à l'aide de la probabilité de la variable aléatoire. Peu importe qu'il s'agisse d'une variable aléatoire continue ou discrète, la définition est la même dans les deux cas. Le reste de cet article se concentrera toutefois sur le cas où \(X\) est une variable aléatoire continue.
Fonction de distribution cumulative à partir de la fonction de densité de probabilité
Rappelle la définition d'une fonction de densité de probabilité.
Lafonction de densité de probabilité , ou PDF, d'une variable aléatoire continue \(X\) est une fonction intégrable \(f_X(x)\) satisfaisant les conditions suivantes :
- \(f_X(x) \ge 0\) pour tout \(x\) dans \(X\) ; et
- \N(\Ndisplaystyle \Nint_X f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x = 1\N).
Alors la probabilité que \N(X\N) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Quel est le rapport avec la fonction de distribution cumulative ? Remarque que la probabilité \(P(a<X<b)\) apparaît dans la définition ci-dessus. Puisque la fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme \( F(x) = P(X \le x)\), tu peux réécrire la définition de la fonction de distribution cumulative en termes de fonction de densité de probabilité de la manière suivante :
Soit \(X\) une variable aléatoire continue. La fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\N- \N[ \N- \Ndébut{align} F(x) &= P(X \le x) \N &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \N, \Nmathrm{d} t ,\Nend{align}\N]
où \(f_X(x)\) est une fonction de densité de probabilité pour \(X\).
Cela signifie que tu peux passer d'une fonction de distribution cumulative à la fonction de densité de probabilité par différenciation, et de la fonction de densité de probabilité à la fonction de distribution cumulative par intégration.
Fig. 1 - Passage d'une fonction de distribution cumulative à une fonction de densité de probabilité.
Examinons maintenant les propriétés d'une fonction de distribution cumulative.
Propriétés de la fonction de distribution cumulative
Tu connais déjà certaines des propriétés d'une fonction de distribution cumulative, simplement parce qu'elle est définie en termes de probabilité :
la fonction de distribution cumulative est toujours au moins égale à zéro ;
la fonction de distribution cumulative est au plus égale à un ; et
la fonction de distribution cumulative est l'aire sous la fonction de densité de probabilité.
Il s'avère que tu peux lire la probabilité d'une variable aléatoire continue directement sur le graphique de la fonction de distribution cumulative. Prenons un exemple rapide.
Pour une variable aléatoire continue \(X\), étant donné la fonction de distribution cumulative telle qu'elle est représentée dans le graphique ci-dessous, trouve \(P(X \le 3,5)\).
Fig. 2 - Graphique d'une fonction de distribution cumulative
Solution :
Ne te laisse pas abuser par le fait que le graphique est étiqueté de la façon suivante
\N[ \Nint f_X(x)\N, \Nmathrm{d}x.\N]
Rappelle-toi que pour une fonction de densité de probabilité \(f_X(x)\), l'intégrale écrite est la même chose que la fonction de densité cumulative \(F(x)\).
Il peut être utile de trouver l'équation de la fonction de distribution cumulative car on ne sait pas exactement ce qu'est \(F(3,5)\) d'après l'image. Étant donné le graphique, tu peux voir que les points \N((1,0)\N) et \N((11,1)\N) sont les deux extrémités de la ligne diagonale. L'équation de cette ligne est donc
\[y= \frac{1}{10}x-\frac{1}{10},\]
Tu peux donc écrire la formule de la fonction de distribution cumulative comme suit
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \dfrac{1}{10}x-\dfrac{1}{10} & 1 \le x \le 11 \\ 1 & x > 11 \end{cases}.\]
Maintenant
\[ F(3.5) = \frac{1}{10}(3.5)-\frac{1}{10} = 0.25.\]
En d'autres termes, \N (P(X \le 3,5) = 0,25\N).
La distribution normale est un exemple standard de variable aléatoire continue.
Fonction de distribution cumulative de la distribution normale fonction de densité de probabilité
La fonction de distribution cumulative de la distribution normale est simplement l'intégrale de la fonction de densité de probabilité, comme tu t'y attends. Tu peux voir ci-dessous le graphique d'une distribution normale standard, puis la fonction de distribution cumulative qui lui est associée.
Fig. 3 - Graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard
Fig. 4 - Graphique de la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard
Bien sûr, il est toujours utile de regarder d'autres exemples !
Exemple de fonction de distribution cumulative
Pour le premier exemple, voyons comment déterminer si une fonction est une fonction de distribution cumulative ou une fonction de densité de probabilité.
Définis
\N[g(x) = \Nbegin{cases} 0 & x \le 0 \N \Nln x + 1 & x>0\Nend{cases}.\N]
(a) Est-ce que \(g(x)\) peut être une fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue ? Explique pourquoi ou pourquoi pas.
(b) Est-ce que \(g(x)\) peut être une fonction de distribution cumulative pour une variable aléatoire continue? Explique pourquoi ou pourquoi pas.
Solution :
(a) Pour que quelque chose soit une fonction de densité de probabilité, elle doit toujours être au moins égale à zéro. Cependant
\[\begin{align} g\left(\frac{1}{4}\right) &= \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \\ &= \ln 1 - \ln 4 + 1 \\ &\approx -0.39 \\ &< 0,\end{align} \]
Il ne peut donc pas s'agir d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Pour qu'une fonction soit une fonction de distribution cumulative, elle ne peut prendre aucune valeur supérieure à \(1\). Cependant
\N- [\N- début{align} g\Ngauche(3\Ndroite) &= \Nln\Ngauche(3\Ndroite) + 1 \N- &\Napprox 2.1 \N- &>1,\Nfin{align}] [\N- début{align}]. \]
Donc \N(g(x)\N) ne peut pas non plus être une fonction de distribution cumulative.
Ce n'est pas parce que quelque chose est écrit de manière fragmentaire que cela a quelque chose à voir avec les probabilités.
Si tu sais que quelque chose est une fonction de densité de probabilité, tu peux trouver la fonction de distribution cumulative.
Supposons que \N(X\N) soit une variable aléatoire continue, et que la fonction de densité de probabilité soit
\[f(x) = \begin{cases} k\sin x & 0 \le x \le \pi \\N 0 &\text{otherwise} \Nfin{cases}.\N]
(a) Trouve la valeur de \(k\) qui permet d'obtenir ce résultat.
(b) Trouve la fonction de distribution cumulative associée.
(c) Trouver \(P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\right)\N).
Solution :
(a) Rappelle-toi que pour que quelque chose soit une fonction de densité de probabilité, l'aire sous la courbe doit être égale à un. En d'autres termes, tu as besoin de
\N[ \Nint_{-\infty}^{\infty} f(x) \N, \Nmathrm{d}x = 1.\N].
En introduisant la fonction, tu obtiens
\[ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \N, \mathrm{d}x &= \int_0^\pi k \sin x \N, \mathrm{d}x \N &=\left. -k\cos x \phantom{\frac{}{}}} \N-right|_0^\pi \N &= -k\cos \Npi - (-k\cos 0) \N &= -k(-1) + k(1)\N &= 2k. [\N-{align}\N]
Donc pour que \(f(x)\Nsoit une fonction de densité de probabilité, il faut que \N(2k = 1\N), donc \N(k = \Ndfrac{1}{2}\N).
(b) D'après la première partie du problème, tu sais que
\N[f(x) = \Ndébut{cases} \dfrac{1}{2}\sin x & 0 \le x \le \pi \0 &\text{otherwise} \NFin{cases}.\N]
Grâce aux propriétés de la fonction de distribution cumulative, tu sais aussi que \(F(x)=0\) pour \(x \le 0\), et \(F(x)=1\) pour \(x \ge \pi\). Tout ce qui reste, c'est la partie gênante entre \N(0\N) et \N(\Npi\N). Si tu intègres,
\[\begin{align} F(x) &= \int \dfrac{1}{2}\sin x \, \mathrm{d}x \N &= -\frac{1}{2}\cos x + C \Nend{align}\N]
où \(C\) est la constante d'intégration. Puisque \(F(0)=0\),
\[ \begin{align} -\frac{1}{2}\cos x + C &= -\frac{1}{2}\cos 0 + C \\ &= -\frac{1}{2} + C, \end{align} \]
et il doit être le cas que \(C = \dfrac{1}{2}\). La fonction de distribution cumulative est donc :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\\N -\Ndfrac{1}{2}\Ncos x + \Ndfrac{1}{2} & 0 \Nx \Npi \Nend{cases}.\N]
(c) Pour trouver \ (P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\right)\N il suffit d'évaluer \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \N), ce qui donne
\[ \begin{align} P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}\r}right) &= F\left( \dfrac{\pi}{4}\rright) \\\N &= -\dfrac{1}{2}\cos \left( \dfrac{\pi}{4}\rright) + \dfrac{1}{2} \N- -\Nfrac{1}{2}\Nà gauche(\Nfrac{\Nsqrt{2}}{2}\Nà droite) + \Nfrac{1}{2} \N- & \N- environ 0,145. \N- [Fin{align}\N-]
Fonction de distribution cumulative - Principaux enseignements
Pour toute variable aléatoire \(X\), la fonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\N[ F(x) = P(X \Nle x).\N]
Pour une variable aléatoire continue \(X) avec une fonction de densité de probabilité\ (f_X(x)\), lafonction de distribution cumulative \(F(x)\) est définie comme suit
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) \N &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \N, \Nmathrm{d} t .\Nend{align}\N]
- La fonction de distribution cumulative est toujours au moins égale à zéro, au plus égale à un, et correspond à l'aire sous la fonction de densité de probabilité.
- Pour obtenir une fonction de distribution cumulative à partir d'une fonction de densité de probabilité, intègre la fonction de densité de probabilité. Pour obtenir une fonction de densité de probabilité à partir d'une fonction de distribution cumulative, différencie la fonction de densité de probabilité.
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