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Fonction de masse de probabilité et fonction de densité de probabilité
Tu pourrais penser que les noms "fonction de masse de probabilité" et "fonction de densité de probabilité" sont si proches qu'ils décrivent vraiment la même chose. En effet, elles décrivent toutes deux des probabilités et sont toutes deux des fonctions. La grande différence réside dans le type de variable aléatoire avec laquelle elles sont utilisées :
Si \(X\) est une variable aléatoire discrète, utilise une fonction de masse de probabilité, qui est une somme.
Si \(X\) est une variable aléatoire continue, utilise une fonction de densité de probabilité, qui est une intégrale.
Tu trouveras plus loin des informations et des exemples concernant la fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue \(X\). Si tu es intéressé par les fonctions de masse de probabilité, consulte l'article Distributions de probabilités discrètes ou l'article sur la distribution de Poisson.
Graphique de la fonction de densité de probabilité
Tout d'abord, qu'est-ce qu'une fonction de densité de probabilité ?
La fonction de densité de probabilité, ou PDF, d'une variable aléatoire continue \(X\) est une fonction intégrable \(f_X(x)\) satisfaisant à ce qui suit :
- \(f_X(x) \ge 0\) pour tout \(x\) dans \(X\) ; et
- \N(\Ndisplaystyle \Nint_X f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x = 1\N).
Alors la probabilité que \N(X\N) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Cela semble plus compliqué que ça ne l'est en réalité. Faisons le lien avec le graphique d'une fonction.
Prenons la fonction
\[ f_X(x) = \n-{cases} 0,1 & 1 \n-{cases} x \n-{cases} 11 \n-{cases} 0 & \n-{cases} \n-{cases}) \Nfin{cases} \]
comme le montre le graphique ci-dessous.
Fig. 1 - Graphique d'une fonction de densité de probabilité potentielle.
Vérifions qu'elle possède bien les propriétés d'une fonction de densité de probabilité. Elle est certainement au moins toujours nulle. L'aire sous la courbe est \(1\) puisque cette aire est juste un rectangle de hauteur \(0,1\) et de largeur \(10\). Enfin, tu peux représenter la probabilité sous la forme d'une surface. Par exemple, si tu veux trouver \N(P(5<X<7)\N), tu peux le faire en trouvant la surface du rectangle dans le graphique ci-dessous, ce qui donne \N (P(5<X<7) = 0,2\N).
Fig. 2 - \(P(5<X<7) = 0,2\)
Ainsi, \(f_X(x)\) est une fonction de densité de probabilité. Si tu devais représenter graphiquement la courbe de probabilité, tu devrais l'intégrer, ce qui te donnerait
\[ P(a<X<b) = \begin{cases} 0 & a \text{ and } b \le 1 \\N- 0.2(b-1) & a<1<b \N- 11 \N- 0.2(b-a) & 1 \N- a \N- b \N- 11 \N- 0.2(11-a) & 1 <a <11 < b \N- 1 & 11 \N- a < b \N-end{cases} \]
Cela semble certainement faire beaucoup de cas, mais tu peux le constater beaucoup plus facilement en regardant le graphique ci-dessous.
Fig. 3 - Graphique des probabilités liées à \(f_X(x)\).
Remarque que la hauteur minimale du graphique ci-dessus est de \(0\N), et que la hauteur maximale du graphique est de \N(1\N). C'est logique car les probabilités sont toujours au moins égales à zéro et au plus égales à un.
Il s'avère que l'intégrale de la fonction de densité de probabilité est très utile, et on l'appelle la fonction de distribution cumulative.
Propriétés de la fonction de densité de probabilité
En utilisant la définition de la fonction de densité de probabilité, tu peux voir une propriété importante de ces fonctions :
\[P(X=a) = 0.\N-]
Cela n'a pas non plus d'importance si tu utilises des inégalités strictes avec des fonctions de densité continues :
\[ P(X<a) = P(X\le a).\]
Ces deux propriétés proviennent du fait que
\[ P(a<X<b) = \int_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N]
Tu pourrais te demander si la fonction de densité de probabilité peut être plus grande que \N(1\N). Bien sûr que oui ! L'intégrale de la fonction doit toujours être égale à \(1\), mais la fonction de densité de probabilité peut prendre des valeurs plus grandes que cela tant qu'elle est au moins égale à zéro. La fonction de densité de probabilité en est un exemple
\N[ f_X(x) = \Nbegin{cases} 2 & 0 \Nle x \Nle \Ndfrac{1}{2} \N- 0 & \N-text{autre} \NFin{cases} .\N]
Cette fonction est toujours au moins nulle, elle est intégrable et l'intégrale est \(1\), elle pourrait donc être une fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue \(X\). Ne confonds pas la fonction de densité de probabilité avec les probabilités réelles !
Fonction de densité de probabilité de la distribution normale
L'une des fonctions de densité de probabilité que tu verras souvent est la distribution normale. Tu peux voir ci-dessous le graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard.
Fig. 4 - La distribution normale standard.
Comme pour les autres fonctions de densité de probabilité, l'aire sous la courbe de la distribution normale standard est \(1\).
Exemple de fonction de densité de probabilité
Prenons quelques exemples.
Suppose que quelqu'un te dise que
\N[ f_X(x) = \Ndébut{cas} 2x & 0 \Nle x \Nle 1 \N0 & \Ntext{autre} \NFin{cases}\N]
est la fonction de densité de probabilité de la durée, en heures, que tu passeras à attendre dans le cabinet du médecin.
(a) Vérifie qu'il s'agit bien d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Trouve la probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure pour voir le médecin.
(c) Trouve la probabilité que tu attendes plus d'une demi-heure pour voir le médecin.
Solution
(a) Note d'abord que \(X\) est en fait une variable aléatoire continue. De plus, \(f_X(x)\) est toujours au moins égale à zéro. Elle est également intégrable, il ne reste donc plus qu'à vérifier que l'intégrale est égale à un. Effectue l'intégration,
\N- [\N- Début{align} \Nint_X f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x &= \Nint_0^1 2x \N, \Nmathrm{d} x \N &= \Nleft. 2\left(\frac{1}{2}\right)x^2\right|_0^1 \\N- &= 1^2-0^2 \N- &= 1.\Nend{align}\N]
Il s'agit donc bien d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Tu veux connaître la probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure. En d'autres termes, tu dois trouver \(P(X<0,5)\). Alors
\[\begin{align} P(X<0,5) &= \int_0^{0,5} 2x \, \mathrm{d} x \\ &= \left.\phantom{\frac{1}{2}} x^2 \Ndroite|_0^{0,5} \\ &= (0.5)^2 - 0^2 \\ &=0.25. \N- [end{align}\N]
La probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure est donc \N(0,25\N). Donc, dans \(25\%\) des cas, tu attendras moins d'une demi-heure pour voir le médecin.
(c) Tu veux maintenant trouver la probabilité que tu attendes plus d'une demi-heure pour voir le médecin. Rappelle-toi que l'aire sous la fonction de densité de probabilité est \(1\), donc
\N- P(X > 0,5) = 1 - P(X<0,5).\N- P(X<0,5).\N- P(X<0,5).
Ensuite, en utilisant la partie précédente du problème, \N(P(X> 0,5) =0,75\N). Cela signifie que dans 75 % des cas, tu attendras au moins une demi-heure pour voir le médecin !
Fonction de densité de probabilité - Principaux enseignements
- Une fonction de masse de probabilité est utilisée avec des variables aléatoires discrètes, et une fonction de densité de probabilité est utilisée avec des variables aléatoires continues.
La fonction de densité de probabilité, ou PDF, d'une variable aléatoire continue \(X\) est une fonction intégrable \(f_X(x)\) satisfaisant les conditions suivantes :
- \(f_X(x) \ge 0\) pour tout \(x\) dans \(X\) ; et
- \N(\Ndisplaystyle \Nint_X f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x = 1\N).
La probabilité qu'une variable aléatoire continue \N(X) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), \N(P(X=a) = 0\N), et cela n'a pas d'importance si tu utilises des inégalités strictes : \N( P(X<a) = P(x \le a)\N).
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