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Supposons que tu veuilles modéliser la probabilité qu'une personne passe au moins
Les fonctions de densité de probabilité sont utilisées avec les variables aléatoires ____.
Lequel des énoncés suivants est vrai à propos de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue ?
Vrai ou faux : La fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue ne peut pas être supérieure à un.
Vrai ou faux : La fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue doit être supérieure à zéro.
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), \N( P(a\le X \le b) = P(a<X <b)\N).
Lesquelles des propriétés suivantes sont celles de la fonction de densité de probabilité
Pour une fonction de densité de probabilité, quelle est la valeur de
Pour une fonction de masse de probabilité, quelle est la valeur de
Vrai ou faux : Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), \N( P(a\le X \le b) = P(a<X <b)\N).
Lesquelles des propriétés suivantes sont celles de la fonction de densité de probabilité
Pour une fonction de densité de probabilité, quelle est la valeur de
Pour une fonction de masse de probabilité, quelle est la valeur de
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Les fonctions de densité de probabilité sont utilisées avec les variables aléatoires ____.
Lequel des énoncés suivants est vrai à propos de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue ?
Vrai ou faux : La fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue ne peut pas être supérieure à un.
Vrai ou faux : La fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue doit être supérieure à zéro.
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Équipe enseignants Fonction de densité de probabilité
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Envoyer des commentairesTu pourrais penser que les noms "fonction de masse de probabilité" et "fonction de densité de probabilité" sont si proches qu'ils décrivent vraiment la même chose. En effet, elles décrivent toutes deux des probabilités et sont toutes deux des fonctions. La grande différence réside dans le type de variable aléatoire avec laquelle elles sont utilisées :
Si
Si
Tu trouveras plus loin des informations et des exemples concernant la fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue
Tout d'abord, qu'est-ce qu'une fonction de densité de probabilité ?
La fonction de densité de probabilité, ou PDF, d'une variable aléatoire continue
Alors la probabilité que \N(X\N) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Cela semble plus compliqué que ça ne l'est en réalité. Faisons le lien avec le graphique d'une fonction.
Prenons la fonction
comme le montre le graphique ci-dessous.
Fig. 1 - Graphique d'une fonction de densité de probabilité potentielle.
Vérifions qu'elle possède bien les propriétés d'une fonction de densité de probabilité. Elle est certainement au moins toujours nulle. L'aire sous la courbe est
Fig. 2 -
Ainsi,
Cela semble certainement faire beaucoup de cas, mais tu peux le constater beaucoup plus facilement en regardant le graphique ci-dessous.
Fig. 3 - Graphique des probabilités liées à
Remarque que la hauteur minimale du graphique ci-dessus est de \(0\N), et que la hauteur maximale du graphique est de \N(1\N). C'est logique car les probabilités sont toujours au moins égales à zéro et au plus égales à un.
Il s'avère que l'intégrale de la fonction de densité de probabilité est très utile, et on l'appelle la fonction de distribution cumulative.
En utilisant la définition de la fonction de densité de probabilité, tu peux voir une propriété importante de ces fonctions :
\[P(X=a) = 0.\N-]
Cela n'a pas non plus d'importance si tu utilises des inégalités strictes avec des fonctions de densité continues :
Ces deux propriétés proviennent du fait que
\[ P(a<X<b) = \int_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N]
Tu pourrais te demander si la fonction de densité de probabilité peut être plus grande que \N(1\N). Bien sûr que oui ! L'intégrale de la fonction doit toujours être égale à
\N[ f_X(x) = \Nbegin{cases} 2 & 0 \Nle x \Nle \Ndfrac{1}{2} \N- 0 & \N-text{autre} \NFin{cases} .\N]
Cette fonction est toujours au moins nulle, elle est intégrable et l'intégrale est
L'une des fonctions de densité de probabilité que tu verras souvent est la distribution normale. Tu peux voir ci-dessous le graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard.
Fig. 4 - La distribution normale standard.
Comme pour les autres fonctions de densité de probabilité, l'aire sous la courbe de la distribution normale standard est
Prenons quelques exemples.
Suppose que quelqu'un te dise que
\N[ f_X(x) = \Ndébut{cas} 2x & 0 \Nle x \Nle 1 \N0 & \Ntext{autre} \NFin{cases}\N]
est la fonction de densité de probabilité de la durée, en heures, que tu passeras à attendre dans le cabinet du médecin.
(a) Vérifie qu'il s'agit bien d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Trouve la probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure pour voir le médecin.
(c) Trouve la probabilité que tu attendes plus d'une demi-heure pour voir le médecin.
Solution
(a) Note d'abord que
\N- [\N- Début{align} \Nint_X f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x &= \Nint_0^1 2x \N, \Nmathrm{d} x \N &= \Nleft. 2\left(\frac{1}{2}\right)x^2\right|_0^1 \N- &= 1^2-0^2 \N- &= 1.\Nend{align}\N]
Il s'agit donc bien d'une fonction de densité de probabilité.
(b) Tu veux connaître la probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure. En d'autres termes, tu dois trouver
\[\begin{align} P(X<0,5) &= \int_0^{0,5} 2x \, \mathrm{d} x \ &= \left.\phantom{\frac{1}{2}} x^2 \Ndroite|_0^{0,5} \ &= (0.5)^2 - 0^2 \ &=0.25. \N- [end{align}\N]
La probabilité que tu attendes moins d'une demi-heure est donc \N(0,25\N). Donc, dans
(c) Tu veux maintenant trouver la probabilité que tu attendes plus d'une demi-heure pour voir le médecin. Rappelle-toi que l'aire sous la fonction de densité de probabilité est
\N- P(X > 0,5) = 1 - P(X<0,5).\N- P(X<0,5).\N- P(X<0,5).
Ensuite, en utilisant la partie précédente du problème, \N(P(X> 0,5) =0,75\N). Cela signifie que dans 75 % des cas, tu attendras au moins une demi-heure pour voir le médecin !
La fonction de densité de probabilité, ou PDF, d'une variable aléatoire continue
La probabilité qu'une variable aléatoire continue \N(X) soit dans l'intervalle \N([a,b]\N) est \N[ P(a<X<b) = \Nint_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N].
Pour une variable aléatoire continue \N(X\N), \N(P(X=a) = 0\N), et cela n'a pas d'importance si tu utilises des inégalités strictes : \N( P(X<a) = P(x \le a)\N).
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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