Fonction de densité de probabilité

Graphique de la fonction de densité de probabilité

Tout d'abord, qu'est-ce qu'une fonction de densité de probabilité ?

Cela semble plus compliqué que ça ne l'est en réalité. Faisons le lien avec le graphique d'une fonction.

Prenons la fonction

\[ f_X(x) = \n-{cases} 0,1 & 1 \n-{cases} x \n-{cases} 11 \n-{cases} 0 & \n-{cases} \n-{cases}) \Nfin{cases} \]

comme le montre le graphique ci-dessous.

Fig. 1 - Graphique d'une fonction de densité de probabilité potentielle.

Vérifions qu'elle possède bien les propriétés d'une fonction de densité de probabilité. Elle est certainement au moins toujours nulle. L'aire sous la courbe est \(1\) puisque cette aire est juste un rectangle de hauteur \(0,1\) et de largeur \(10\). Enfin, tu peux représenter la probabilité sous la forme d'une surface. Par exemple, si tu veux trouver \N(P(5<X<7)\N), tu peux le faire en trouvant la surface du rectangle dans le graphique ci-dessous, ce qui donne \N (P(5<X<7) = 0,2\N).

Fig. 2 - \(P(5<X<7) = 0,2\)

Ainsi, \(f_X(x)\) est une fonction de densité de probabilité. Si tu devais représenter graphiquement la courbe de probabilité, tu devrais l'intégrer, ce qui te donnerait

\[ P(a<X<b) = \begin{cases} 0 & a \text{ and } b \le 1 \\N- 0.2(b-1) & a<1<b \N- 11 \N- 0.2(b-a) & 1 \N- a \N- b \N- 11 \N- 0.2(11-a) & 1 <a <11 < b \N- 1 & 11 \N- a < b \N-end{cases} \]

Cela semble certainement faire beaucoup de cas, mais tu peux le constater beaucoup plus facilement en regardant le graphique ci-dessous.

Fig. 3 - Graphique des probabilités liées à \(f_X(x)\).

Remarque que la hauteur minimale du graphique ci-dessus est de \(0\N), et que la hauteur maximale du graphique est de \N(1\N). C'est logique car les probabilités sont toujours au moins égales à zéro et au plus égales à un.

Propriétés de la fonction de densité de probabilité

En utilisant la définition de la fonction de densité de probabilité, tu peux voir une propriété importante de ces fonctions :

\[P(X=a) = 0.\N-]

Cela n'a pas non plus d'importance si tu utilises des inégalités strictes avec des fonctions de densité continues :

\[ P(X<a) = P(X\le a).\]

Ces deux propriétés proviennent du fait que

\[ P(a<X<b) = \int_a^b f_X(x) \N, \Nmathrm{d} x .\N]

Tu pourrais te demander si la fonction de densité de probabilité peut être plus grande que \N(1\N). Bien sûr que oui ! L'intégrale de la fonction doit toujours être égale à \(1\), mais la fonction de densité de probabilité peut prendre des valeurs plus grandes que cela tant qu'elle est au moins égale à zéro. La fonction de densité de probabilité en est un exemple

\N[ f_X(x) = \Nbegin{cases} 2 & 0 \Nle x \Nle \Ndfrac{1}{2} \N- 0 & \N-text{autre} \NFin{cases} .\N]

Cette fonction est toujours au moins nulle, elle est intégrable et l'intégrale est \(1\), elle pourrait donc être une fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue \(X\). Ne confonds pas la fonction de densité de probabilité avec les probabilités réelles !

Fonction de densité de probabilité de la distribution normale

L'une des fonctions de densité de probabilité que tu verras souvent est la distribution normale. Tu peux voir ci-dessous le graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard.

Fig. 4 - La distribution normale standard.

Comme pour les autres fonctions de densité de probabilité, l'aire sous la courbe de la distribution normale standard est \(1\).

Exemple de fonction de densité de probabilité

Prenons quelques exemples.