Imagine qu'un matin, tu décides de faire des toasts pour le petit déjeuner. Tu as mis le pain dans le grille-pain mais tu décides de monter à l'étage pour t'habiller. Malheureusement, tu oublies le pain grillé et le grille-pain prend feu.
C'est un exemple d'erreur de type II, que l'on appelle aussi faux négatif. Il y a un incendie mais l'alarme ne se déclenche pas. De même, dans les tests d'hypothèse, une erreur de type II se produit lorsque tu ne rejettes pas l'hypothèse nulle mais que celle-ci est en fait fausse.
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Qu'est-ce qu'une erreur de type II en statistiques ?
Supposons que tu aies effectué un test d'hypothèse et que tu ne rejettes pas l'hypothèse nulle .
Une erreur de type II se produit lorsque l'hypothèse nulle est en fait fausse ou que l'hypothèse alternative, , est vraie.
C'est différent d'une erreur de type I qui se produit lorsque tu rejettes l'hypothèse nulle, mais que l'hypothèse nulle est en fait vraie.
Ces deux erreurs peuvent être représentées dans le tableau suivant,
\N- (H_0\N) vrai
\N(H_1\N) vrai
Rejeter
Erreur de type I
Pas d'erreur
Ne pas rejeter
Pas d'erreur
Erreur de type II
Une erreur de type II est également connue sous le nom de faux négatif.
Une erreur de type II (faux négatif) se produit lorsque tu ne rejettes pas , mais que est en fait faux.
Un exemple de faux négatif est celui d'une personne qui fait un test de dépistage du coronavirus et qui reçoit un résultat indiquant qu'elle n'est pas infectée, alors qu'elle l'est en réalité.
Probabilité d'une erreur de type II
La probabilité d'une erreur de type II est notée et pour trouver la probabilité d'une erreur de type II, tu dois connaître la vraie valeur du paramètre testé, qui te sera généralement donnée dans la question.
La probabilité d'une erreur de type II est la probabilité d'accepter l'hypothèse nulle lorsqu'elle est fausse.
Elle peut également être considérée comme la probabilité de ne pas se trouver dans la région critique en supposant que l'hypothèse nulle est fausse, et est donnée par la formule suivante,
\[\N- Début{align} \mathbb{P}( \text{Type II error})&=\mathbb{P}(\text{acceptation } H_0 \text{ quand } H_0 \text{ est fausse}) \N &=\mathbb{P}(\text{ne pas être dans la région critique} \mid H_0 \text{ est fausse}) \end{align}\N]
Probabilité d'une erreur de type II Exemples
Considérons une variable avec une distribution de Poisson. Un échantillon est prélevé et un statisticien souhaite effectuer le test d'hypothèse suivant, v.s. , au niveau de signification de 5 %.
a) Trouve la région critique pour ce test.
b) Suppose que la vraie valeur de s'avère être 8, calcule la probabilité d'une erreur de type II.
Solution
a) Puisque v.s. , nous avons affaire à un test bilatéral.
Supposons que est vrai, c'est-à-dire supposons que .
Soit \N(X=c_1\N) la limite supérieure de la région critique inférieure. Nous voulons trouver tel que .
Soit \N(X=c_2\N) la limite inférieure de la région critique supérieure. Nous voulons trouver \N(c_2\N) de telle sorte que \N(\mathbb{P}(X \geq c_2)<0.0025\N).
b) Puisque nous avons la vraie valeur de \N(\Nlambda=8}), nous savons que l'hypothèse nulle est fausse et nous pouvons donc calculer la probabilité d'une erreur de type II.
\(\begin{align}) \mathbb{P}(\text{Type II error})&=\mathbb{P}(\text{accepting } H_0 \text{ when } H_0 \text{ is false}) \N &=\mathbb{P}(4\leq X\geq 15 \mid H_0 \text{ is false}) \Nend{align}\N)
Etant donné que la vraie valeur de ,
\N- (\N- début{align}) \mathbb{P}( \text{ Type II error })&=\mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) \mathbb{P}(X \geq 15 \mid \lambda=8)-\mathbb{P}(X \leq 3 \mid \lambda=8) \mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) \mathbb{P}=0.9918-0.0424=0.9494. \n-{align}\n-)
Prenons maintenant un autre exemple.
Supposons que quelqu'un affirme que la taille moyenne des hommes aux États-Unis est normalement distribuée avec une moyenne de 70 pouces et un écart type de 3 pouces.
Un statisticien décide alors de prendre un échantillon aléatoire de 36 hommes de la population des États-Unis afin de tester cette affirmation.
Soit la variable aléatoire représentant la taille d'un homme.
a) En utilisant un niveau de signification de 5 %, trouve la région critique pour ce test.
b) Étant donné que la taille moyenne était en fait de 65 pouces, trouve la probabilité que l'affirmation de la personne soit acceptée à tort.
Supposons que \(H_0), alors puisque \(X) représente la taille d'un homme, la taille moyenne des hommes aux États-Unis est distribuée de telle sorte que \(\bar{X} \sim N(70, 3^2/36)\N).
Puisque nous voulons faire le test en utilisant la moyenne d'une variable aléatoire normale, pour simplifier les choses, nous pouvons utiliser le résultat,
Si \(\bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2)\N), alors \(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}) \sim N(0,1)\N).
Normalise cette variable : où la variable aléatoire .
Avec un niveau de signification de 5 %, puisque nous avons un test d'hypothèse bilatéral, nous avons besoin de 2,5 % sur chaque queue.
D'après les tableaux statistiques, la région critique pour \N(Z\N) est la suivante
b) Si l'affirmation de la personne concernant la taille moyenne des hommes est acceptée alors que la taille moyenne réelle s'avère être différente, il s'agit d'une erreur de type II.
C'est cette probabilité qui intéresse les statisticiens, car plus la puissance est élevée, meilleur est le test. Par conséquent, un statisticien cherche à minimiser la probabilité d'une erreur de type II afin de maximiser la puissance du test.
En mettant à jour le tableau présenté précédemment, nous avons,
\N-(H_0\N) vrai
\N-(H_1\N) vrai
Rejeter
Erreur de type I
Ne pas rejeter \N(H_0\N)
Pas d'erreur
Erreur de type II
La puissance d'un test est atteinte lorsque est fausse et qu'une décision correcte a été prise.
Sa probabilité est donnée par ,
\[\N]
Supposons qu'une variable aléatoire ait une distribution géométrique. Un statisticien souhaite tester l'hypothèse en utilisant un niveau de signification de 1 %.
a) Trouve la région critique pour ce test.
b) Maintenant, étant donné que , trouve la puissance de ce test.
Solution
a) Supposons que nous soyons sous l'hypothèse nulle, \N(H_0), de sorte que \N(X \sim \text{Geo}(0.05)\N). Comme il s'agit d'un test bilatéral au niveau de signification de 1 %, si est la limite inférieure de la région critique supérieure, nous devons trouver de telle sorte que \[\mathbb{P}(X \geq c_1)<0,005.\N].
D'après la distribution d'une variable aléatoire géométrique, nous avons
Donc ce qui donne une région critique inférieure de
b) The power of the test can be calculated via, \[ \N]
Erreurs de type II et taille de l'échantillon
Le principal facteur déterminant d'une erreur de type II est la taille de l'échantillon. Plus la taille de l'échantillon est petite, plus la probabilité d'une erreur de type II est élevée.
En d'autres termes, plus la puissance souhaitée d'un test est grande, plus la taille de l'échantillon est importante.
Il peut être difficile de décider de la taille correcte de l'échantillon d'un test car les statisticiens veulent minimiser la probabilité d'une erreur de type II, mais l'augmentation de la taille de l'échantillon augmente le coût. Néanmoins, lemoyen le plus important de minimiser les erreurs de type II est d'augmenter la taille de l'échantillon.
Erreur de type II - Principaux enseignements
Une erreur de type II se produit lorsque tu ne rejettes pas , mais que est en fait fausse.
Une erreur de type II est également connue sous le nom de faux négatif et est désignée par .
\N- [\N- Début{align} \mathbb{P}( \text{Type II error})&=\mathbb{P}(\text{acceptation } H_0 \text{ quand } H_0 \text{ est fausse}) \N &=\mathbb{P}(\text{ne pas être dans la région critique} \mid H_0 \text{ est fausse}) \end{align}\N]
La puissance d'un test d'hypothèse est la probabilité que tu rejettes correctement l'hypothèse nulle et que l'hypothèse soit fausse.
L'erreur de type II est inversement proportionnelle à la puissance d'un test d'hypothèse, .
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Questions fréquemment posées en Erreurs de type II
Qu'est-ce qu'une erreur de type II ?
Une erreur de type II survient lorsque l'on ne rejette pas une hypothèse nulle qui est fausse.
Quelle est la différence entre une erreur de type I et de type II ?
L'erreur de type I est le rejet incorrect de l'hypothèse nulle, tandis que l'erreur de type II est de ne pas rejeter une hypothèse nulle qui est fausse.
Comment peut-on réduire les erreurs de type II ?
On peut réduire les erreurs de type II en augmentant la taille de l'échantillon ou en augmentant la puissance du test statistique.
Pourquoi les erreurs de type II sont-elles importantes ?
Les erreurs de type II sont importantes car elles peuvent conduire à la conclusion incorrecte qu'il n'y a pas d'effet ou de différence alors qu'il y en a un.
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Lily Hulatt
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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