Erreurs de type II

Un exemple de faux négatif est celui d'une personne qui fait un test de dépistage du coronavirus et qui reçoit un résultat indiquant qu'elle n'est pas infectée, alors qu'elle l'est en réalité.

Considérons une variable \(X\) avec une distribution de Poisson. Un échantillon est prélevé et un statisticien souhaite effectuer le test d'hypothèse suivant, \(H_0 : \lambda=9\) v.s. \(H_1:\lambda\neq9\), au niveau de signification de 5 %.

a) Trouve la région critique pour ce test.

b) Suppose que la vraie valeur de \(\lambda\) s'avère être 8, calcule la probabilité d'une erreur de type II.

Solution

a) Puisque \(H_0 : \lambda=9\) v.s. \(H_1:\lambda\neq9\), nous avons affaire à un test bilatéral.

Supposons que \(H_0\) est vrai, c'est-à-dire supposons que \(X\sim \text{Poi}(9)\).

Soit \N(X=c_1\N) la limite supérieure de la région critique inférieure. Nous voulons trouver \(c_1\) tel que \(\mathbb{P}(X \leq c_1)<0.0025\).

D'après les tableaux statistiques,

\[\begin{align} \mathbb{P}(X \leq 4)&=0.0550>0.0025 \\mathbb{P}(X \leq 3)&=0.0212<0.0025 \n- end{align}\n-]

Par conséquent, \(c_1=3\).

Soit \N(X=c_2\N) la limite inférieure de la région critique supérieure. Nous voulons trouver \N(c_2\N) de telle sorte que \N(\mathbb{P}(X \geq c_2)<0.0025\N).

D'après les tableaux statistiques,

\[\small{\begin{align} \mathbb{P}(X \geq 15)&=1-\mathbb{P}(X \leq 14)=1-0.9585=0.0415>0.0025 \mathbb{P}(X \geq 16)&=1-\mathbb{P}(X \leq 15)=1-0.9780=0.0220<0.0025 \end{align}}\]

Par conséquent, \(c_2=16\).

La région critique pour ce test est donc \({X \leq3}\) et \({X \geq 16}\).

b) Puisque nous avons la vraie valeur de \N(\Nlambda=8}), nous savons que l'hypothèse nulle est fausse et nous pouvons donc calculer la probabilité d'une erreur de type II.

\(\begin{align}) \mathbb{P}(\text{Type II error})&=\mathbb{P}(\text{accepting } H_0 \text{ when } H_0 \text{ is false}) \\N &=\mathbb{P}(4\leq X\geq 15 \mid H_0 \text{ is false}) \Nend{align}\N)

Etant donné que la vraie valeur de \(\lambda=8\),

\N- (\N- début{align}) \mathbb{P}( \text{ Type II error })&=\mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) \mathbb{P}(X \geq 15 \mid \lambda=8)-\mathbb{P}(X \leq 3 \mid \lambda=8) \mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) \mathbb{P}=0.9918-0.0424=0.9494. \n-{align}\n-)

Supposons que quelqu'un affirme que la taille moyenne des hommes aux États-Unis est normalement distribuée avec une moyenne de 70 pouces et un écart type de 3 pouces.

Un statisticien décide alors de prendre un échantillon aléatoire de 36 hommes de la population des États-Unis afin de tester cette affirmation.

Soit la variable aléatoire \(X\) représentant la taille d'un homme.

a) En utilisant un niveau de signification de 5 %, trouve la région critique pour ce test.

b) Étant donné que la taille moyenne était en fait de 65 pouces, trouve la probabilité que l'affirmation de la personne soit acceptée à tort.

Solution

a) Nous définissons l'hypothèse nulle

\H_0 : \mu=70 \quad \text{v.s.} H_1 : \mu\neq70.\N]

Supposons que \(H_0), alors puisque \(X) représente la taille d'un homme, la taille moyenne des hommes aux États-Unis est distribuée de telle sorte que \(\bar{X} \sim N(70, 3^2/36)\N).

Puisque nous voulons faire le test en utilisant la moyenne d'une variable aléatoire normale, pour simplifier les choses, nous pouvons utiliser le résultat,

Si \(\bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2)\N), alors \(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}) \sim N(0,1)\N).

Normalise cette variable \(\bar{X}\) : \( Z=\frac{\bar{X}-70}{\frac{3}{\sqrt(36)}} = \frac{\bar{X}-70}{\frac{1}{2}}=2(\bar{X}-70)\) où la variable aléatoire \(Z \sim N(0, 1)\).

Avec un niveau de signification de 5 %, puisque nous avons un test d'hypothèse bilatéral, nous avons besoin de 2,5 % sur chaque queue.

D'après les tableaux statistiques, la région critique pour \N(Z\N) est la suivante

\N(Z > 1.9600\N) ou \N(Z<-1.9600\N)

Les valeurs critiques de \(\bar{X}\) sont donc données par

\[2(\bar{X}-70)=\pm 1,96\]

\N- Par conséquent, \Nbar{X} = 69,02 \Net \Ncertainement \Nbar{X} = 70,98 \N]

La région critique pour \(\bar{X}\) est donc \(\bar{X} <69.02\) ou \(\bar{X} >70.98\).

b) Si l'affirmation de la personne concernant la taille moyenne des hommes est acceptée alors que la taille moyenne réelle s'avère être différente, il s'agit d'une erreur de type II.

\[\begin{align} \mathbb{P}(\text{Type II error})&=\mathbb{P}(69.02 \leq \bar{X} \leq 70.98 \mid \mu=65) \\N- &=\mathbb{P}(\bar{X} \leq 70.98 \mid \mu=65)-\mathbb{P}(\bar{X} \leq 69.02 \mid \mu=65) \N &=0.9769-0.9099\&=0.067. \N- [Fin{align}\N-]

Supposons qu'une variable aléatoire \(X\) ait une distribution géométrique. Un statisticien souhaite tester l'hypothèse \[H_0 : p=0,05\quad \text{v.s.} \quad H_1 : p\neq0,05\] en utilisant un niveau de signification de 1 %.

a) Trouve la région critique pour ce test.

b) Maintenant, étant donné que \(p=0,03\), trouve la puissance de ce test.

Solution

a) Supposons que nous soyons sous l'hypothèse nulle, \N(H_0), de sorte que \N(X \sim \text{Geo}(0.05)\N). Comme il s'agit d'un test bilatéral au niveau de signification de 1 %, si \(X=c_1\) est la limite inférieure de la région critique supérieure, nous devons trouver \(c_1\) de telle sorte que \[\mathbb{P}(X \geq c_1)<0,005.\N].

D'après la distribution d'une variable aléatoire géométrique, nous avons

\[\N- (1-0.05)^{c_1-1}&<0.005 \N- c_1-1&>\frac{\Nln(0.005)}{\Nln(0.95)} \N- c_1&>104.29454 \N- fin{align}\N].

Donc \(c_1=104\) ce qui donne une région critique supérieure de \(X \geq 104.\)

Si \(X=c_2\) est la limite supérieure de la région critique inférieure, nous devons trouver \(c_2\) de telle sorte que

\N-[\N-Mathbb{P}(X \N-c_2)<0.005.\N]

\[\N- 1-(1-0.05)^{c_2}&<0.005 \N- 0.95^c_2&>0.995 \N- c_2&<\Nfrac{\Nln(0.995)}{\Nln(0.95)} \N- c_2&<0.0977 \N- end{align}\N].

Donc \(c_2=0.1\) ce qui donne une région critique inférieure de \(X \leq 0.01.\)

b) The power of the test can be calculated via, \[ \begin{align} \text{Power }&= \mathbb{P}(H_0 \text{ est rejetée} \mid p=0.03) \\ &=\mathbb{P}(X \leq 0.1 \mid p=0.03)+\mathbb{P}(X \geq 104 \mid p=0.03) \\N &=1-(1-0.03)^{0.1}+(1-0.03)^{104}=0.04513 \end{align}\N]