Aperçu de l'erreur standard et symbole
L'erreur standard n'a pas de symbole propre en soi, elle est simplement désignée par la formule suivante
\N- [SE.\N]
Le calcul de l'erreur standard d'un échantillon est en fait très simple ! Il te suffit de te rappeler ce que tu as appris sur l'écart-type, \(\sigma\). La formule de l'erreur standard est simplement
\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Où \(n\) est la taille de l'échantillon.
Voici un petit rappel sur la façon de trouver l'écart-type. Tout ce dont tu as besoin, c'est d'une liste des points de données de l'ensemble.
La formule de l'écart type pour un échantillon de données est la suivante
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}.\]
Prenons un exemple pour voir comment tu peux trouver l'erreur standard d'un échantillon de données.
Trouve l'erreur standard pour l'ensemble de données suivant.
| 2 | 3 | 2 | 5 | 4 | 7 | 4 | 5 |
Solution :
Calcule d'abord la moyenne de l'ensemble des données.
\[\N- Début{alignement} \NBar{x} &= \Nfrac{2+3+2+5...}{8} \N- &= 4 \NFin{alignement}\N]
Calcule ensuite l'écart type.
\[\begin{align}\sigma &= \sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}} \sigma &= \sqrt{\frac{ (2-4)^2+(3-4)^2+(2-4)^2...}{7}} \N- &= 1.69 \Nend{align}\N]
Enfin, calcule l'erreur standard.
\N- [\N- Début{align} SE &= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \N- &= \frac{1.69}{\sqrt{8}} \N- &= 0.6 \N- [end{align}\N]
Interprétation de l'erreur standard
Que signifie l'erreur standard ? Imagine que tu prennes beaucoup d'échantillons d'une population. Tu constateras que chaque échantillon a une moyenne légèrement différente, et cette collection de moyennes formera elle-même une distribution. L'écart-type de cette distribution de moyennes est l'erreur-type de la population d'origine.
Ainsi, si tu découvres que l'erreur standard de la taille d'un groupe d'élèves est de \(15\N,\Ntext{cm}\N), cela signifie qu'il y a \N(68\N%\N) pour que la moyenne de ton échantillon se situe à \N(15\N,\Ntext{cm}\Nde la vraie moyenne du groupe d'élèves. Cela est dû à ce que l'on appelle la règle \(68\)-\(95\)-\(99,7\).
La règle \N(68\N)-\N(95\N)-\N(99,7\N) stipule que dans un ensemble de données normalement distribuées, \N(68\N%) des points de données se situent à moins d'un écart type de la moyenne, \N(95\N%) des points de données se situent à moins de deux écarts types de la moyenne, et \N(99,7\N%) des points de données se situent à moins de trois écarts types de la moyenne.
Erreur standard et écart standard
En quoi l'écart-type est-il différent de l'erreur-type ? L'écart type est une mesure de l'écart entre les points de données d'un ensemble de données et la moyenne. Plus les points de données sont dispersés, plus l'écart type est important.
L'erreur standard, quant à elle, comme nous l'avons décrit plus haut, est simplement une mesure de la proximité de la moyenne réelle de la population par rapport à la moyenne de ton échantillon. Plus l'erreur standard est grande, plus il est probable que ta moyenne soit éloignée de la vraie moyenne.
Exemple d'erreur standard
Prenons quelques exemples pour nous assurer que tu as tout compris.
Trouve l'erreur standard de l'échantillon de données suivant.
| 20 | 25 | 15 | 17 | 21 | 23 |
| 20 | 21 | 24 | 18 | 19 | 22 |
Solution :
Calcule d'abord la moyenne de l'échantillon.
\[\begin{align} \bar{x} &= \frac{20+25+15...}{12} \N- &= 20.42 \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Calcule ensuite l'écart-type de l'échantillon.
\N- [\N- Début de l'alignement \sigma&= \sqrt{\frac{\sum(x_1-\bar{x})^2}{n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{(20-20.42)^2+(25-20.42)^2+(15-20.42)^2...}{11}} \N- &= 2,91 \Nend{align}\N]
Enfin, calcule l'erreur standard.
\N- [\N- Début{align} SE&= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \N- &= \frac{2,91}{\sqrt{12}} \N- &= 0.84 \N- [end{align}\N]
Etant donné l'échantillon suivant, est-il probable que la moyenne de cet échantillon se situe à moins de \(0.1\) de la vraie moyenne de la population ?
| 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0 | 0.4 |
| 0.3 | 0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.2 |
Solution :
Calcule d'abord la moyenne de l'échantillon.
\[\begin{align} \bar{x} &= \frac{0.2+0.3+0.1...}{10} \N- &= 0.23 \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Calcule ensuite l'écart-type de l'échantillon.
\N- [\N- Début de l'alignement \sigma&= \sqrt{\frac{\sum(x_1-\bar{x})^2}{n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{(0.2-0.23)^2+(0.3-0.23)^2+(0.1-0.23)^2...}{10}} \N- &= 0,15 \Nend{align}\N]
Enfin, calcule l'erreur standard.
\N- [\N- Début{align} SE&= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\N- &= \frac{0,15}{\sqrt{10}} \N- &= 0.05 \N- [end{align}\N]
\N-(0,1\N) représente deux erreurs standard. Il y a donc une probabilité de \(95\%) que la moyenne se situe à l'intérieur de deux erreurs standard de la moyenne:
Oui, il est probable que la moyenne de cet échantillon se situe à moins de 0,1 de la véritable moyenne de la population.
Erreur standard - Points clés
- L'erreur standard est une mesure statistique de la précision avec laquelle un ensemble de données représente la population réelle.
- La formule de l'erreur standard est \(SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
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