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Erreur standard

L'erreur standard est une mesure statistique de la précision avec laquelle un ensemble de données représente vraisemblablement la population réelle. Par exemple, si tu as prélevé un échantillon des notes d'examen des élèves, tu peux l'utiliser pour estimer les notes de tous les élèves du groupe. Quelle est la probabilité que ton estimation représente avec précision la distribution des notes dans l'ensemble du groupe ? C'est ce que nous dit l'erreur standard.

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Dernière mise à jour: 01.01.1970
Temps de lecture: 5 min

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Aperçu de l'erreur standard et symbole

L'erreur standard n'a pas de symbole propre en soi, elle est simplement désignée par la formule suivante

\N- [SE.\N]

Le calcul de l'erreur standard d'un échantillon est en fait très simple ! Il te suffit de te rappeler ce que tu as appris sur l'écart-type, $σ$ . La formule de l'erreur standard est simplement

$S E = \frac{σ}{\sqrt{n}}$

Où $n$ est la taille de l'échantillon.

Voici un petit rappel sur la façon de trouver l'écart-type. Tout ce dont tu as besoin, c'est d'une liste des points de données de l'ensemble.

La formule de l'écart type pour un échantillon de données est la suivante

$σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}} .$

Prenons un exemple pour voir comment tu peux trouver l'erreur standard d'un échantillon de données.

Trouve l'erreur standard pour l'ensemble de données suivant.

Solution :

Calcule d'abord la moyenne de l'ensemble des données.

\[\N- Début{alignement} \NBar{x} &= \Nfrac{2+3+2+5...}{8} \N- &= 4 \NFin{alignement}\N]

Calcule ensuite l'écart type.

\[\begin{align}\sigma &= \sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}} \sigma &= \sqrt{\frac{ (2-4)^2+(3-4)^2+(2-4)^2...}{7}} \N- &= 1.69 \Nend{align}\N]

Enfin, calcule l'erreur standard.

\N- [\N- Début{align} SE &= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \N- &= \frac{1.69}{\sqrt{8}} \N- &= 0.6 \N- [end{align}\N]

Interprétation de l'erreur standard

Que signifie l'erreur standard ? Imagine que tu prennes beaucoup d'échantillons d'une population. Tu constateras que chaque échantillon a une moyenne légèrement différente, et cette collection de moyennes formera elle-même une distribution. L'écart-type de cette distribution de moyennes est l'erreur-type de la population d'origine.

Ainsi, si tu découvres que l'erreur standard de la taille d'un groupe d'élèves est de $15 \N, \Ntext c m \N), c e l a s i g n i f i e q u^{'} i l y a \N (68 \N$ - $95$ - $99, 7$ .

La règle \N(68\N)-\N(95\N)-\N(99,7\N) stipule que dans un ensemble de données normalement distribuées, \N(68\N%) des points de données se situent à moins d'un écart type de la moyenne, \N(95\N%) des points de données se situent à moins de deux écarts types de la moyenne, et \N(99,7\N%) des points de données se situent à moins de trois écarts types de la moyenne.

Erreur standard et écart standard

En quoi l'écart-type est-il différent de l'erreur-type ? L'écart type est une mesure de l'écart entre les points de données d'un ensemble de données et la moyenne. Plus les points de données sont dispersés, plus l'écart type est important.

L'erreur standard, quant à elle, comme nous l'avons décrit plus haut, est simplement une mesure de la proximité de la moyenne réelle de la population par rapport à la moyenne de ton échantillon. Plus l'erreur standard est grande, plus il est probable que ta moyenne soit éloignée de la vraie moyenne.

Exemple d'erreur standard

Prenons quelques exemples pour nous assurer que tu as tout compris.

Trouve l'erreur standard de l'échantillon de données suivant.

20	25	15	17	21	23
20	21	24	18	19	22

Solution :

Calcule d'abord la moyenne de l'échantillon.

\[\begin{align} \bar{x} &= \frac{20+25+15...}{12} \N- &= 20.42 \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Calcule ensuite l'écart-type de l'échantillon.

\N- [\N- Début de l'alignement \sigma&= \sqrt{\frac{\sum(x_1-\bar{x})^2}{n-1}} \ &= \sqrt{\frac{(20-20.42)^2+(25-20.42)^2+(15-20.42)^2...}{11}} \N- &= 2,91 \Nend{align}\N]

Enfin, calcule l'erreur standard.

\N- [\N- Début{align} SE&= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \N- &= \frac{2,91}{\sqrt{12}} \N- &= 0.84 \N- [end{align}\N]

Etant donné l'échantillon suivant, est-il probable que la moyenne de cet échantillon se situe à moins de $0.1$ de la vraie moyenne de la population ?

0.2	0.3	0.1	0	0.4
0.3	0.5	0.2	0.1	0.2

Solution :

Calcule d'abord la moyenne de l'échantillon.

\[\begin{align} \bar{x} &= \frac{0.2+0.3+0.1...}{10} \N- &= 0.23 \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Calcule ensuite l'écart-type de l'échantillon.

\N- [\N- Début de l'alignement \sigma&= \sqrt{\frac{\sum(x_1-\bar{x})^2}{n-1}} \ &= \sqrt{\frac{(0.2-0.23)^2+(0.3-0.23)^2+(0.1-0.23)^2...}{10}} \N- &= 0,15 \Nend{align}\N]

Enfin, calcule l'erreur standard.

\N- [\N- Début{align} SE&= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \N- &= \frac{0,15}{\sqrt{10}} \N- &= 0.05 \N- [end{align}\N]

\N-(0,1\N) représente deux erreurs standard. Il y a donc une probabilité de \(95\%) que la moyenne se situe à l'intérieur de deux erreurs standard de la moyenne:

Oui, il est probable que la moyenne de cet échantillon se situe à moins de 0,1 de la véritable moyenne de la population.

Erreur standard - Points clés

L'erreur standard est une mesure statistique de la précision avec laquelle un ensemble de données représente la population réelle.
La formule de l'erreur standard est $S E = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ .

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Questions fréquemment posées en Erreur standard

Qu'est-ce que l'erreur standard en statistiques ?

L'erreur standard mesure la précision de l'estimation d'un paramètre, comme la moyenne, basé sur un échantillon de données.

Comment calcule-t-on l'erreur standard ?

Pour calculer l'erreur standard, divisez l'écart-type de l'échantillon par la racine carrée de la taille de l'échantillon.

Quelle est la différence entre l'erreur standard et l'écart-type ?

L'écart-type mesure la variabilité dans un échantillon, alors que l'erreur standard mesure l'incertitude de la moyenne échantillonnale.

Pourquoi l'erreur standard est-elle importante ?

L'erreur standard est cruciale pour évaluer la fiabilité des estimations faites à partir des données échantillonnées.

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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.

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